張 偉 馮 萍 趙永紅 袁佳英 李 梅

在醫(yī)學(xué)研究過程中缺失數(shù)據(jù)現(xiàn)象是普遍存在的〔1－3〕，目前實(shí)際應(yīng)用中對(duì)缺失值處理的方法主要采用缺失值的刪失以及單一填補(bǔ)〔4－5〕。隨著統(tǒng)計(jì)軟件相關(guān)程序的實(shí)現(xiàn)，更有效的缺失值處理方法逐漸引起研究者的關(guān)注，如基于多重填補(bǔ)的方法，基于參數(shù)似然的方法以及基于加權(quán)估計(jì)的方法〔6－7〕。weighted estimating equations(WEE)法是加權(quán)估計(jì)法中的一種，是廣義估計(jì)方程(gerneralized estimating equations，GEE)方法的推廣，被認(rèn)為估計(jì)效率高，穩(wěn)健性好，尤其在模型假定錯(cuò)誤的情況下，仍可以獲得更接近真實(shí)值的無偏估計(jì)。目前，國際對(duì)于缺失數(shù)據(jù)處理方法的理論應(yīng)用研究熱點(diǎn)多為WEE法〔8－10〕，而國內(nèi)相對(duì)集中于多重填補(bǔ)的研究〔10－14〕，對(duì)于 WEE法的研究應(yīng)用相對(duì)較少。因此本文對(duì)WEE法的理論框架進(jìn)行詳細(xì)介紹。

WEE法最早是由 Robins〔15〕等人于1994年提出的一種與極大似然估計(jì)有相似性質(zhì)的缺失數(shù)據(jù)處理方法，多用于處理可忽略缺失(ignorable missingness)的情況，也有研究將WEE法用于處理不可忽略缺失數(shù)據(jù)〔16〕。WEE法的原理是采用某種方式把缺失單元的權(quán)數(shù)分解到非缺失單元上，通過增大樣本觀測(cè)值的權(quán)數(shù)以減少由于缺失對(duì)估計(jì)量可能帶來的偏差。

WEE法是在結(jié)局變量與協(xié)變量間存在線性關(guān)系的前提下進(jìn)行模型構(gòu)建的，故假設(shè)在回歸模型中，令Yi表示結(jié)局變量，Xi為協(xié)變量，i=1，2…n表示樣本量，故結(jié)局的均值模型為:U=Ui(Xi，β)=E(Yi|Xi，β)，其中β為參數(shù)。當(dāng)沒有缺失值時(shí)，采用樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體結(jié)局均值進(jìn)行估計(jì)，則有，式中wi為第i個(gè)單元的權(quán)數(shù)，是樣本單元入樣概率φi的倒數(shù);參數(shù)估計(jì)方程為|xi))。令u(β)=0，就可得到β的無偏估計(jì)。

當(dāng)存在缺失時(shí)，對(duì)原權(quán)數(shù)wi進(jìn)行調(diào)整，以表示調(diào)整后權(quán)數(shù)，則，均值模型變?yōu)椋渲衝obs表示已觀測(cè)單元的樣本量，εi為調(diào)整因子，協(xié)變量完全觀測(cè)到的概率πi的倒數(shù)，是缺失機(jī)制的體現(xiàn)。當(dāng)缺失機(jī)制為完全隨機(jī)缺失時(shí)，πi既不依賴于已觀測(cè)變量 Xobs，i，也不依賴于缺失變量 xmis，i，即 πi=Pr(ri=1|yi);當(dāng)缺失機(jī)制為隨機(jī)缺失時(shí)，πi僅依賴于 xobs，i，即 πi=Pr(ri=1|yi，xobs，i);當(dāng)缺失機(jī)制為非隨機(jī)缺失時(shí)，πi既依賴于Xobs，i，也依賴于 Xmis，i，即 πi=Pr(ri=1|yi，xobs，i，xmis，i)，其中ri為指示變量，當(dāng)ri=1表示Xi全部觀測(cè)，ri=0表示Xi部分觀測(cè)。

假定在給定(yi，xi)下，ri=1的概率為πi，則有πi= πi(θ)=Pr(ri=1|mi;θ)，其中mi是(yi，xi)的某種函數(shù)，以(yi，xi)表示mi，θ為缺失指示變量ri的參數(shù)。

當(dāng)存在缺失時(shí)，若僅用觀測(cè)到的數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)β，則似然估計(jì)方程為－u)，上述方程為0時(shí)可獲得參數(shù)的估計(jì)，但由于估計(jì)方程僅用觀測(cè)到的數(shù)據(jù)，因此對(duì)β的估計(jì)是有偏的。假設(shè)協(xié)變量全部觀測(cè)到時(shí)的概率πi已知或者可以有效估計(jì)出，將 ri替換為 ri/πi，權(quán)重變?yōu)閞i/πi，加權(quán)估計(jì)方程則變?yōu)閡i);在隨機(jī)缺失情形下，上述估計(jì)方程的期望對(duì)0是無偏的，即

因此令uWEE(β)=0時(shí)，可以得到參數(shù)β的無偏估計(jì)。

在上述估計(jì)方程中同時(shí)加入未觀測(cè)數(shù)據(jù)的信息以提高估計(jì)效率獲得更有效的無偏估計(jì)，若πi能被正確估 計(jì)， 則1成立，同時(shí)也可得=0。則更有效的無偏估計(jì)方程可寫為:

其中 q(yi，xobs，i;β，α)是已觀測(cè)數(shù)據(jù)(yi，xobs，i)、β和 α 的一個(gè)特定函數(shù):q(yi，xobs，i;β，α)=E［ui(β)|與前述相比，該法增加了部分信息，提高了效率，被認(rèn)為是更有效的估計(jì)方程。但該方程的無偏估計(jì)是基于加入缺失信息的準(zhǔn)確性，因此需要另一種估計(jì)方程來估計(jì)α。令 r=(β，α，φ)，則加權(quán)估計(jì)方程為:

其中 u1i(β)= u1i(β;yi，xobs，i，xmis，i)，u2i(β)=u2i(α;xobs，i，xmis，i)，φ 是 ri的參數(shù)。如果缺失變量 xmis，i

為分類時(shí)，則:

其 中 wi，Xmis，i= P(xmis，i| xos，i，yi，γ) =，為缺失變量 xmis，i在已觀測(cè)數(shù)據(jù)(xobs，i，yi)下的條件概率。當(dāng)缺失變量xmis，i為連續(xù)型變量時(shí):

由于上述估計(jì)方程與極大似然估計(jì)得分方程相似，故 Lipsitz、Ibrahim ＆Zhao〔18〕提出采用 EM 算法或蒙特卡洛EM算法求解S()=0，獲得r的無偏估計(jì)。具體步驟如下:

(1)設(shè)定一個(gè)γ初始值，γ=γ(1)，例如以已觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得。在t步時(shí)，有γ(t)。

(2)令 wi，Xmis，i(t)為給定 γ=γ(t)時(shí)缺失變量的條件概率，并用 γ(t)計(jì)算

(3)將 wi，Xmis，i(t)作為固定值，用可加權(quán)的廣義線性方程對(duì)γ(t+1)求解S(γ(t+1)|γ(t))。

(4)反復(fù)上述步驟，迭代至收斂，當(dāng)γ(t+1)=γ(t)=時(shí)，得到)=0的解。

上述加權(quán)估計(jì)方程公式中包含有三個(gè)模型:①目標(biāo)參數(shù)模型:E(yi|xi)=ui(β)，Var(yi)= φVi(β);②缺失機(jī)制模型:p(ri|φ;(yi，xi')')=πi;③在給定已觀測(cè)值下，缺失變量的條件分布模型:p(xmis，i|xobs，i，α)。其中任一個(gè)模型被假定正確時(shí)，另一模型無論是否正確，對(duì)參數(shù)的估計(jì)是漸近無偏的。對(duì)上述方程的性質(zhì)，有學(xué)者〔17，19〕進(jìn)行了理論證明，結(jié)果顯示上述加權(quán)估計(jì)方程具有雙重穩(wěn)健性。

WEE方法是基于加權(quán)的處理方法，該法的優(yōu)勢(shì)在于其穩(wěn)健性，能同時(shí)實(shí)現(xiàn)以下兩個(gè)目標(biāo):①在不完全數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上通過權(quán)數(shù)調(diào)整實(shí)現(xiàn)無偏或近似無偏的點(diǎn)估計(jì);②通過權(quán)數(shù)調(diào)整提高點(diǎn)估計(jì)的效率，較大限度地降低估計(jì)誤差。WEE估計(jì)方法不需依賴總體參數(shù)分布，在一般總體分布下表現(xiàn)良好及穩(wěn)健。當(dāng)缺失模型假定錯(cuò)誤時(shí)，基于參數(shù)似然的方法以及基于多重填補(bǔ)的方法的估計(jì)結(jié)果可能出現(xiàn)偏倚，此時(shí)WEE法可以提供穩(wěn)健結(jié)果，但穩(wěn)健性的代價(jià)是參數(shù)估計(jì)效率會(huì)有所降低。但與當(dāng)總體參數(shù)模型假定正確情況的參數(shù)似然及多重填補(bǔ)方法相比，WEE法不依據(jù)總體分布的估計(jì)率卻是偏低的。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，如果缺失機(jī)制能準(zhǔn)確假定，如缺失機(jī)制為實(shí)際上，缺失數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法的有效性很大程度上依賴于數(shù)據(jù)缺失是否與數(shù)據(jù)集完全隨機(jī)缺失(missing completely at random，MCAR)時(shí)，何種缺失數(shù)據(jù)處理方法均可，可以采用單一填補(bǔ)或是多重填補(bǔ)等簡(jiǎn)單方法實(shí)現(xiàn)填補(bǔ);當(dāng)缺失機(jī)制為隨機(jī)缺失(missing at random，MAR)時(shí)，如果對(duì)于數(shù)據(jù)總體分布能準(zhǔn)確估計(jì)，如總體滿足多元正態(tài)分布時(shí)，基于參數(shù)似然的方法以及基于多重填補(bǔ)的方法能獲得更為有效的估計(jì);當(dāng)缺失機(jī)制為非隨機(jī)缺失(not missing at random，MCAR)時(shí)，基于參數(shù)似然的方法以及基于多重填補(bǔ)的方法不能獲得有效估計(jì)，此時(shí)WEE卻能獲得穩(wěn)健結(jié)果。所以無論何種缺失處理方法在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)綜合考慮資料類型、變量類型，以及不同缺失機(jī)制等條件下的數(shù)據(jù)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，以達(dá)到較高估計(jì)效率，得到漸近無偏估計(jì)。

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