中山大學公共衛(wèi)生學院醫(yī)學統(tǒng)計與流行病學系(510080) 周 倩 張晉昕

時間序列是按時間順序根據(jù)一定采樣間隔對客觀事物進行動態(tài)觀察得到的一組數(shù)據(jù)，由于每次采樣存在隨機因素的作用，各次觀察指標都是隨機的，因此時間序列被稱作隨機過程的一次樣本實現(xiàn)。周期成分常常是一個時間序列具有的特征，如生物醫(yī)學信號處理中的心電圖、腦電圖、醫(yī)院月度門診量等都具有一定的周期性。準確地把握時間序列的周期特征對于揭示動態(tài)數(shù)據(jù)蘊含的客觀信息具有重要意義。一方面通過檢測序列所具有的真實周期，用于序列的信息特征分析;另一方面，一些研究不局限于發(fā)現(xiàn)序列的周期成分，而是進一步利用具有周期特性的時間序列作為前提進行預測與預報、檢測不規(guī)則波動、發(fā)現(xiàn)序列異同、判斷移動假日效應等〔1〕。

時間序列通常由豐富的信息疊加而成，如序列按照時間變化的趨勢、序列的周期或者季節(jié)波動、序列的隨機波動等。具有明顯周期成分的時間序列也會在圖中顯示出周期性質來，但時間序列的一些周期信息常常蘊含于序列內部，通過肉眼對時序圖的判讀不能發(fā)現(xiàn)它，需要通過特定的方法將這種周期信息提取出來。早在1929年統(tǒng)計學家Fisher就對時間序列周期性檢驗方法進行過研究〔2〕，他運用傅立葉變換獲得時間序列周期圖并提出基于周期圖法的Fisher g統(tǒng)計量用于檢測周期圖峰值，并判斷序列是否存在周期成分，該方法被研究者廣泛引用〔3〕。但時間序列有不同特點，如序列長短不同、背景噪聲大小不同，這些都在一定程度上影響了Fisher方法的周期性檢驗效果〔4〕;特別是針對取值為屬性、類別的時間序列(定性時間序列)，F(xiàn)isher方法更是顯現(xiàn)出較弱的檢驗能力。Stoffer等人〔5〕研究發(fā)現(xiàn)若將定性時間序列進行定量化處理，不同的量化方式會影響周期圖的形式，從而對同一序列歸納出截然不同的周期特征。因此，有必要研究針對定性資料的時間序列周期性檢驗的方法。本文將對時間序列周期性檢驗方法進行綜述。

定量時間序列周期性檢測方法

1．傅立葉變換周期圖檢驗法改進

定量資料周期性檢驗方法以傅立葉變換后周期圖Fisher g統(tǒng)計量檢驗為主，但是g統(tǒng)計量只能檢測出時間序列周期圖有統(tǒng)計學意義的最大峰值，Whittle將其推廣到檢驗第二大峰值g2;Granger和Rosenblatt進一步推廣到檢驗第r大峰值gr，這樣就可以依次檢測出多個周期成分〔6〕。此外 Chin(1989)〔7〕、Liavas(1998)〔8〕等人也基于周期圖各自構造了不同的統(tǒng)計量用于檢驗時間序列的周期性。檢驗統(tǒng)計量的重新構造為應用者提供了有力的周期圖峰值檢驗工具，但是構造的統(tǒng)計量需要推導其概率分布或者給出計算P值的方法，理論性強，因此只在數(shù)理統(tǒng)計領域有所使用。

周期圖Ij在統(tǒng)計量的構造中起著重要的作用。周期圖Ij是功率譜f(λ)估計的一種，并且是f(λ)的漸進無偏估計，不是一致估計，即當N→∞時 E(I(λ)－f(λ))2不趨于0。改進功率譜估計方法，利用譜窗周期圖估計、時窗周期圖估計、平均周期圖法等，是周期性檢驗過程中采用較多的一系列改進嘗試〔3〕。

2．小波分析法

近年來，小波分析在信號分析、圖像處理、語音識別等領域的廣泛應用推動了其數(shù)學理論的發(fā)展，小波函數(shù)的形式越來越豐富。小波分析基于小波函數(shù)，它能夠探索周期的局部變化。Benedetto等(1998，2002)〔9〕用基于小波變換的算法來檢測心電圖、腦電圖周期成分。Broutin(2005)〔10〕對21個國家的百日咳數(shù)據(jù)進行小波分析探討發(fā)病的周期特點。

小波分析與傅立葉分析適用范圍最大的不同在于前者對于分析非平穩(wěn)時間序列周期性有較好的效果?！?1〕傅立葉分析方法在處理復雜分布的時間序列時不適用，因為它不能考慮序列周期行為的變化即序列的非平穩(wěn)性。小波分析對于識別隨著時間推移序列周期的局部變化比較適合，除了可以提取時間序列的周期信息外，還能夠提供周期成分隨時間變化的演變過程。如決定序列的周期成分是不是在某變異發(fā)生前后有變化。Yi等(2010)〔12〕、George 等(2010)〔13〕、Ruhua等(2010)〔14〕基于小波變換的方法進行改進提出新的分析方法以及算法來實現(xiàn)對不同特征時間序列周期成分的檢測，大大推進了非平穩(wěn)時間序列周期性檢驗技術的發(fā)展。此外，當序列長度較短、噪聲不明確時，F(xiàn)isher統(tǒng)計量的檢驗效能較低，因此 Alan(2009)〔15〕、Ptitsyn(2006)〔16〕、Tominaga(2010)〔17〕等人討論了針對短序列的周期性檢測改進方法，Miew(2006)〔18〕、Niemisto(2007)〔19〕等人提出了針對噪聲的周期性檢測改進方法，這些方法在特定的序列如基因表達水平時間序列中的應用取得了較好的效果。貝葉斯方法在定量時間序列周期性檢驗中的應用也在不斷發(fā)展〔20〕?，F(xiàn)代譜估計方法如最大熵譜估計法，為克服經典譜估計檢驗效能的不足，近年來也運用到周期性檢測〔21〕。

定性時間序列周期性檢測方法

定性時間序列又稱分類時間序列，是指觀測值的取值范圍為有限狀態(tài)空間的時間序列，其取值只能表示狀態(tài)或者類別。定性時間序列廣泛存在于各個領域，圖1是一個定性時間序列實例，該序列記錄了一個正常足月嬰兒的每分鐘睡眠狀態(tài)，共128分鐘(睡眠狀態(tài)包括六類:①輕度睡眠-微量交替，②輕度睡眠-高壓，③中度睡眠，④活躍睡眠/REM-低壓，⑤活躍睡眠-混合型，⑥清醒)。將各個狀態(tài)賦值是為了描述的方便，每個狀態(tài)取值可以是任意的，如果在當前賦值下進行傅立葉分析則只能測得這一種情況下序列的周期性，當賦值改變以后傅立葉周期圖也將隨之改變。此外，傅立葉變換將序列分解為不同正弦波之和，但從波形分解的角度看定性時間序列實際上是由不同于正弦波形的直方波型疊加而成，Stoffer等人〔22〕通過對圖1所示分類時間序列研究發(fā)現(xiàn)，如果對其進行傅立葉變換周期圖分析，只能發(fā)現(xiàn)一個長度為45分鐘的周期，而該序列從實際意義的角度看還存在一個長度為9分鐘的周期。這說明傅立葉分析對定性時間序列周期信息挖掘不充分，這將嚴重影響人們對定性時間序列結構的認識和以之為依據(jù)的后續(xù)研究。因此定性時間序列的周期性檢驗不能直接運用定量資料時間序列周期性檢驗的辦法，需要尋找更適合的檢驗方法，但可以借鑒用于定量時間序列周期性檢驗方法的原理。

圖1 正常足月嬰兒睡眠狀態(tài)時間序列圖

1．譜封(spectral envelop)分析法

定量資料的時間序列分析采用傅立葉變換轉為頻域正弦波的疊加，得到傅立葉周期圖。定性資料時間序列的頻域分析則最早由 Stoffer等人(1991，1998)〔5，23〕進行系統(tǒng)研究，并提出譜封分析法用于檢測平穩(wěn)、定性時間序列的周期性。

將定性時間序列變換為與多元時間序列相聯(lián)系的數(shù)值序列，進而應用傅立葉分析進行周期性檢驗是該方法的出發(fā)點。由于對定性時間序列不同類別賦值不同會導致周期信息發(fā)生改變，該方法提出在各個頻率下探討所有賦值方式的功率譜，其最大功率所占全部功率的比例即譜封，如果超過給定界值，則認為其對應賦值下的序列存在此頻率的周期信息，于是基于所有可能賦值方法找到序列潛在的全部周期。由于該方法包羅了序列全部賦值情況下任何可能的標準功率譜，因此被命名為譜封分析法。盡管定性時間序列仍然是一維時間序列，但是譜封法首先不是對序列賦值而是對序列進行指示向量變換，即將每個類別獨立成一個取值為0、1的時間序列，根據(jù)類別數(shù)最終將一個定性序列變換成類別數(shù)減1的多維0-1變量時間序列。然后運用該多維序列的功率譜密度作為媒介求出每個頻率下的最優(yōu)賦值組合。該方法對基因堿基序列bnrf1ebv(EBV)數(shù)據(jù)進行了檢驗，發(fā)現(xiàn)在長度為4000的序列上有且只有一個3的周期，并給出了其對應的賦值。根據(jù)譜封分析法思想，對原始序列進行此賦值后進行傅立葉分析即可發(fā)現(xiàn)這個周期，且進行任何其他賦值將無法找到周期。

2．小波分析法

由于功率譜分析法要求定性時間序列是平穩(wěn)的，但是對于長時間序列，特別是DNA序列，除了考察整個序列的周期性外，還需要檢測局部周期信息，這些周期信息可能會暗示序列潛在的結構規(guī)律，功率譜分析則無法達到此目的。Wang(2002)〔24〕等人在此問題上提出解決非平穩(wěn)定性時間序列的周期性檢驗方法。該方法運用譜封法的思想并結合小波分析用于非平穩(wěn)序列周期性檢驗，產生功率譜圖(spectragram)和尺度譜圖(scalograms)用于檢測定性時間序列的周期。

3．其他功率譜分析法

功率譜分析是最常用于檢驗定性時間序列周期性的有效方法。Berger(2003)〔25〕等人對三種功率譜分析方法進行了比較，它們是DFT(離散傅立葉變換)、WDFT(反常離散傅立葉變換)和 WHT(沃爾什變換)。用DNA序列進行分析發(fā)現(xiàn)由于WDFT允許頻率分辨率不斷增加，WDFT能夠觀察到DFT不能觀察到的周期行為，而對于已知周期T=2的行為的DNA序列用WHT有較好的表現(xiàn)。

由于沃爾什(Walsh)函數(shù)更符合定性資料時間序列的波形特征，因此沃爾什傅立葉變換周期圖檢驗法有較多的應用。沃爾什傅立葉變換利用沃爾什函數(shù)的特點(直方波且只取值1和－1)對進行指示變量變換后的定性時間序列進行譜分析，得到沃爾什傅立葉變換周期圖(Walsh-Fourier periodogram，WFP)。參考定量時間序列周期圖峰值檢驗的Fisher統(tǒng)計量檢驗法，McGee(1998，2007)〔26〕構造出多個用于檢驗沃爾什傅立葉周期圖峰值的統(tǒng)計量，包括檢驗最大峰值及第k個峰值，來判斷序列對應的周期是否為有統(tǒng)計學意義的周期。通過比較分析，證實各個統(tǒng)計量均有相近且不錯的檢驗效能。

醫(yī)學領域應用展望

時間序列周期性檢驗一直以來都很受研究者重視，特別是對生物醫(yī)學信號處理中的心電圖、腦電圖序列，以及近年來研究的熱點DNA堿基序列，其周期性特征為病因診斷、發(fā)現(xiàn)異常提供了有力支持。Stoffer(1988)〔27〕等人收集了24名新生嬰兒的睡眠狀態(tài)定性時間序列(12名來自母親在孕期戒酒的嬰兒總體(非暴露組)，12名來自母親在孕期適度飲酒的總體(暴露組))進行沃爾什傅立葉變換，比較暴露組與非暴露組平均沃爾什變換周期圖，發(fā)現(xiàn)兩組在小周期處差異有統(tǒng)計學意義，在大周期處未檢出差異。暴露組與非暴露組睡眠周期的差異反映了嬰兒中樞神經系統(tǒng)發(fā)育的不同;暴露組嬰兒睡眠狀態(tài)失調可能揭示多種神經遞質的改變，提示母親孕期飲酒可能影響嬰兒神經系統(tǒng)發(fā)育。由于樣本量不夠大以及檢驗方法發(fā)現(xiàn)差異的能力不足，因此無法做出因果推斷，需做進一步研究。

DNA序列不是嚴格的時間序列，但是從廣義角度來看它具有定性時間序列的特點，因此常借助定性時間序列分析的方法。對DNA序列的周期性研究，是為了揭示序列結構和功能的特征，廣泛的研究發(fā)現(xiàn)DNA序列普遍存在3的周期〔28〕，但不同的序列各自也存在特定的周期特點，并且對于非正常人某基因片段的周期性可能異于正常人，因此周期性檢驗特別是周期圖可以為疾病診斷提供依據(jù)〔31〕。

時間序列周期性的挖掘在醫(yī)學領域有著廣泛的應用價值，我國一直少有該方面的深入應用研究，特別是對定性時間序列的研究有待加強。因此將該方法引入醫(yī)學研究并對方法進行適當改進以適應醫(yī)學時間序列的特點，為疾病診斷、病因探討提供一種新的方法和思路是有價值的。

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