涂光輝 蔣 華

(桂林電子科技大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

1 引言

機器學(xué)習(xí)是人工智能的核心研究領(lǐng)域之一， 其最初的研究動機是為了讓計算機系統(tǒng)具有人的學(xué)習(xí)能力以便實現(xiàn)人工智能，因為眾所周知，沒有學(xué)習(xí)能力的系統(tǒng)很難被認為是具有智能的。目前被廣泛采用的機器學(xué)習(xí)的定義是：“機器學(xué)習(xí)是研究計算機算法，并通過經(jīng)驗提高其自動性“[1]?！被跀?shù)據(jù)的機器學(xué)習(xí)是現(xiàn)代智能技術(shù)中的重要方面，研究從觀測數(shù)據(jù)（樣本）出發(fā)尋找規(guī)律，利用這些規(guī)律對未來數(shù)據(jù)或無法觀測的數(shù)據(jù)進行預(yù)測[2]“（張學(xué)工）。包括模式識別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等在內(nèi)，現(xiàn)有機器學(xué)習(xí)方法共同的重要理論基礎(chǔ)之一是統(tǒng)計學(xué)。

統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論（Statistical Learning Theory或SLT）是一種專門研究小樣本情況下機器學(xué)習(xí)規(guī)律的理論。V.Vapnik等人從六、七十年代開始致力于此方面研究[3]。隨著其理論的不斷發(fā)展和成熟，在這一理論基礎(chǔ)上發(fā)展了一種新的通用學(xué)習(xí)方法——支持向量機（Support Vector Machine或SVM）。SVM為解決基于數(shù)據(jù)的非線性建模問題提供了一個新思路，是一種具有嚴密理論基礎(chǔ)的計算機學(xué)習(xí)的新方法，它已經(jīng)成為計算機學(xué)習(xí)、模式識別、計算智能、預(yù)測預(yù)報等領(lǐng)域的熱點技術(shù)，受到國內(nèi)外的廣泛關(guān)注。

機器學(xué)習(xí)的目的是根據(jù)給定的訓(xùn)練樣本求對某系統(tǒng)輸入輸出之間依賴關(guān)系的估計，使它能夠?qū)ξ粗敵鲎鞒霰M可能準確的預(yù)測[2]。本文通過使用支持向量機算法，對上證指數(shù)進行預(yù)測。所得的預(yù)測結(jié)果對現(xiàn)實生活中的股票投資有一定的參考作用。

2 算法描述

2.1 支持向量機

支持向量機建立在結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則(SRM)[4]基礎(chǔ)之上，是統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論中最年輕的內(nèi)容，也是最實用的內(nèi)容。其核心內(nèi)容是在1992到1995年間提出的[5,6,7,8]，目前仍處在不斷發(fā)展階段。具有很強的學(xué)習(xí)能力和泛化性能，能夠較好地解決小樣本、高維數(shù)，非線性、局部極小等問題，可以有效地進行分類、回歸、密度估計等[9]。另外支持向量機在處理非線性問題時 首先將非線性問題轉(zhuǎn)化為高維空間中的線性問題然后用一個核函數(shù)來代替高維空間中的內(nèi)積運算從而巧妙地解決了復(fù)雜計算問題并且有效地克服了維數(shù)災(zāi)難及局部極小問題。由于有這些優(yōu)點，支持向量機已成為機器學(xué)習(xí)領(lǐng)域的研究熱點。目前，支持向量機已經(jīng)已經(jīng)廣泛用于解決分類和回歸問題[10,11]。

2.2 回歸問題的數(shù)學(xué)描述

回歸問題[12]的數(shù)學(xué)提法是：已知訓(xùn)練集T ={(x1, y1),( x2, y2), …,( xl, yl)}∈(X *Y)，其中 xi∈X=Rn是輸入指標(biāo)向量，或稱輸入，或稱模式，yi∈Y=R是輸出指標(biāo)，或稱輸出，i = 1,2,… ,l。假定訓(xùn)練集是按X*Y上的某個概率分布P( x, y)選取的獨立同分布的樣本點，又設(shè)給定損失函數(shù)L( x, y, f)。試尋求一個函數(shù)f( x)，使得期望風(fēng)險R( f ) =∫L( x, y, f) d P( x, y )達到極小。此處概率分布P( x, y)是未知的，已知的僅僅是訓(xùn)練集T。

2.3 支持向量回歸與核函數(shù)

設(shè)給定的訓(xùn)練樣本[13]為：首先用一個非線性映射φ把數(shù)據(jù)映射到一個高維特征空間，然后在高維特征空間中進行線性回歸設(shè)回歸函數(shù)為：f( x) =＜ w, φ(x) ＞+b 。優(yōu)化問題是最小化

式(1)中第一項使函數(shù)更為平坦，從而提高泛化能力，第二項則為減小誤差，常數(shù)C對兩者做出折中。ε為一正常數(shù)，f( xi)與yi的差別小于ε時不計入誤差，大于ε時誤差計為|f( xi) -yi|-ε。

這是一個二次優(yōu)化問題， 其對偶問題為：

解這個二次優(yōu)化，可以得到a的值，ω的表達式為：

于是回歸函數(shù) f( x)的表達式為：

可以看到 在上面的優(yōu)化中需要計算高維特征空間中的內(nèi)積運算，如果找一個核函數(shù)k( x, y)代替高維空間中的內(nèi)積，就可以避免復(fù)雜的高維計算問題。已經(jīng)證明 ＜φ( x),φ(y)＞，對稱函數(shù)k( x, y)只要滿足 Mercer 條件，即可滿足要求，這樣就避免了明確知道φ(x)，從而巧妙地解決了在高維空間中的運算。按照Kuhn-Tucker 定理，可得b的計算式如下：

可以通過任意一個滿足條件的樣本計算出b的值。

核函數(shù)的選擇是支持向量機理論研究的一個核心問題。在實際的應(yīng)用中，最常用的核函數(shù)[14]有以下4種：

式中σ為核參數(shù)，它隱式地定義了從原始空間到高維特征空間中的非線性映射。

（4）Sigmoid函數(shù)

在這四種核函數(shù)中，應(yīng)用最廣泛的是RBF核，無論是低維、高維、小樣本、大樣本等情況，RBF核函數(shù)均適用，具有較寬的收斂域，是較為理想的分類依據(jù)函數(shù)[15]。本論文使用的是RBF核函數(shù)。

2.4 LS_SVM的數(shù)學(xué)原理

最小二乘支持向量機是支持向量機的一種改進，它是將傳統(tǒng)支持向量機中的不等式約束改為等式約束，且將誤差平方和( Sum Squares Error)損失函數(shù)作為訓(xùn)練集的經(jīng)驗損失，這樣就把解二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問題，提高求解問題的速度和收斂精度。設(shè)樣本為n維向量, 某區(qū)域的l個樣本及其表示為：首先用一非線性映射ψ(·)把樣本從源空間 Rn映射到特征空間φ ( xi)，在這個高維特征空間中構(gòu)造最優(yōu)決策函數(shù)∶

這樣非線性估計函數(shù)轉(zhuǎn)化為高維特征空間的線性估計函數(shù)。利用結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，尋找ω，b就是最小化：

其中，‖ ω ‖2控制模型的復(fù)雜度，c是正規(guī)化參數(shù)，控制對超出誤差樣本的懲罰程度。Remp為誤差控制函數(shù)，也即ε不敏感損失函數(shù)。常用的損失函數(shù)有線性ε損失函數(shù)，二次ε損失函數(shù)，Huber損失函數(shù)。選取了不同的損失函數(shù)，可構(gòu)造不同形式的支持向量機。最小二乘支持向量機在優(yōu)化目標(biāo)失函數(shù)為誤差ξi的二次項。故優(yōu)化問題為

式中，iξ為松弛因子。用拉格朗日法求解這個優(yōu)化問題∶

其中：αi( i =1,…, l )是拉格朗日乘子。

其中：αi=c ·ξi, ω · φ( xi) +b + ξi- yi=0。

定義核函數(shù) K( xi, yi) = φ( xi) ·φ( xj)是滿足條件的對稱函數(shù)。優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)化為求解線性方程[18]：

最后用最小二乘法求出a與b，最小二乘支持向量機也由此得名，并且得到非線性預(yù)模型：

3 數(shù)據(jù)集描述

本論文使用的數(shù)據(jù)集是太陽黑子。太陽黑子（sunspot）是在太陽的光球?qū)由习l(fā)生的一種太陽活動，是太陽活動中最基本、最明顯的。黑子看上去像一些深暗色的斑點，很少單獨活動，常是成群出現(xiàn)。黑子的活動周期為11.2年，活躍時會對地球的磁場產(chǎn)生影響，主要是使地球南北極和赤道的大氣環(huán)流作經(jīng)向流動，從而造成惡劣天氣，使氣候轉(zhuǎn)冷。嚴重時會對各類電子產(chǎn)品和電器造成損害。

當(dāng)太陽上有大群黑子出現(xiàn)的時候，地球上的指南針會亂抖動，不能正確地指示方向；平時很善于識別方向的信鴿會迷路；無線電通訊也會受到嚴重阻礙，甚至?xí)蝗恢袛嘁欢螘r間，這些反常現(xiàn)象將會對飛機、輪船和人造衛(wèi)星的安全航行、還有電視傳真等方面造成很大的威脅。黑子還會引起地球上氣候的變化，從而對農(nóng)作物的生長和人的身體造成不可忽視的影響。

黑子的活動是有規(guī)律的，對人類活動有重要影響。我們很有必要對它進行必要的研究，掌握一些基本的規(guī)律以指導(dǎo)人類的活動。本文對1780～1979年的黑子活動進行了實驗。分別將1879～1958年和1780～1958年間的太陽黑子的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，相應(yīng)的年份作為 X，而太陽黑子數(shù)作為Y;1959-1979期間的數(shù)據(jù)作為測試集，其中的年份作為Xt，太陽黑子數(shù)作為tY。

4 LS_SVM工具箱介紹自編程序說明

最小二乘支持向量機（LSSVM）是標(biāo)準的支持向量機的改進形式。LSSVM與正規(guī)化網(wǎng)絡(luò)[16]和高斯函數(shù)緊密相關(guān)，但它更加重視對偶問題的求解。它將經(jīng)典的模式識別算法，如核Fisher判別分析和擴展的無監(jiān)督學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)聯(lián)系到一起[17]。LSSVM是一類基于核的學(xué)習(xí)方法，它最基本的目標(biāo)是解決分類問題和回歸問題。

LS_SVM工具箱用于函數(shù)回歸主要用到 3個函數(shù)，trainlssvm函數(shù)用來訓(xùn)練建立模型，simlssvm函數(shù)用于預(yù)估模型，plotlssvm函數(shù)是LS2SVMlab工具箱的專用繪圖函數(shù)。高版本的LS2SVMlab工具箱還有貝葉斯框架下的最小二乘支持向量機，固定大小的最小二乘支持向量機等。

本論文使用SVR算法，對太陽黑子的活動進行回歸預(yù)測。具體代碼如下：

%讀取數(shù)據(jù)

t=textread('E∶數(shù)據(jù)集.txt');

%提取訓(xùn)練集

X=t(1∶80,1);%（X=t(1∶180,1)）

Y=t(1∶80,2);% (X=t(1∶180),1)

%提取測試集

Xt=t(81∶100,1);

Yt=t(81∶100,2);

%初始化參數(shù)

gam = 10;

sig2 = 0.5;

fold = 5;

type = 'function estimation';

costfun = 'rcrossvalidate';

costfun_args = {X,Y,fold};

optfun = 'gridsearch';

%生成最優(yōu)參數(shù)

[gam, sig2] = tunelssvm({X,Y,type,gam,sig2}, [],optfun, {}, costfun, costfun_args);

%交叉驗證

performance = rcrossvalidate({X,Y,type,gam,sig2},costfun_args);

%算法訓(xùn)練,建立模型

[alpha,b] = robustlssvm({X,Y,type,gam,sig2});

%進行模型的預(yù)測

Yt = simlssvm({X,Y,type,gam,sig2},{alpha,b},Xt);

%輸出曲線

plotlssvm({X,Y,type,gam,sig2},{alpha,b});

5 實驗結(jié)果及分析

經(jīng)過調(diào)試程序，用1879-1958年的太陽黑子數(shù)訓(xùn)練后得到的測試結(jié)果如圖（1）示。用1780～1958年的太陽黑子數(shù)訓(xùn)練后得到的測試結(jié)果如圖（2）所示。其中實線表示預(yù)測的太陽黑子數(shù)，點表示實際的太陽黑子數(shù)。

從圖（1）中容易觀察到黑字數(shù)的真實值與預(yù)測值的在頂點時有一定的誤差，但總體的擬合程度還是比較高。這說明用SVR算法來預(yù)估太陽黑子數(shù)能得到較好的預(yù)估效果。從圖（2）容易發(fā)現(xiàn)黑字數(shù)的真實值與預(yù)測值的在頂點時有比較大的誤差。從這兩個測試結(jié)果的比較中，我們可以得出這樣的結(jié)果：實驗所用的訓(xùn)練黑子數(shù)的時間越靠前，所得的測試結(jié)果越準確。

圖1

圖2

6 結(jié)論

最小二乘支持向量機是用等式約束代替?zhèn)鹘y(tǒng)支持向量機中的不等式約束，求解過程從解QP問題編程一組等式方程，提高求解問題的速度和收斂精度。針對最小二乘支持向量機在回歸預(yù)測方面的應(yīng)用，使用SVR算法建立了太陽黑子數(shù)的預(yù)測模型。預(yù)測結(jié)果表明最小二乘支持向量機建立的非線性模型是可行有效的，具有很好的泛化能力，計算速度快。

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