劉樹堂，侯貫澤

（1.廣州大學(xué) 土木工程學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.廣東博意建筑設(shè)計院有限公司，廣東 佛山 528312）

0 引 言

張弦桁架的形狀參數(shù)有跨度、矢跨比、垂跨比、撐桿數(shù)等；對于上部拱形桁架為倒三角形的張弦桁架結(jié)構(gòu)，上弦拱梁的橫向間距和縱向間距也是重要的結(jié)構(gòu)參數(shù)。對于這些形狀參數(shù)，一般來說跨度是確定的，而其他參數(shù)發(fā)生改變。文獻(xiàn)［1］～［4］中已經(jīng)研究分析了矢跨比、垂跨比、撐桿數(shù)等形狀參數(shù)的變化對結(jié)構(gòu)應(yīng)力與變形的影響，得出了一些結(jié)論。但是由于應(yīng)力、變形等與構(gòu)件截面尺寸大小及結(jié)構(gòu)上的荷載有關(guān)，對這些參數(shù)的研究缺乏普遍意義，也就是說，只對某個特定張弦桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行形狀參數(shù)分析，缺乏統(tǒng)一的衡量標(biāo)準(zhǔn)。另外，已有文獻(xiàn)對于這些形狀參數(shù)的分析并沒有在優(yōu)化理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行，因此若把形狀參數(shù)分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)合起來，則對指導(dǎo)實(shí)際工程更有意義。

本文中筆者所進(jìn)行的張弦桁架形狀參數(shù)分析是以離散變量截面優(yōu)化為基礎(chǔ)，以最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量作為統(tǒng)一衡量標(biāo)準(zhǔn)，探討了不同跨度下矢高、垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的相互關(guān)系，從而根據(jù)給定的跨度來選取最優(yōu)的矢高、垂度，所得結(jié)論有利于減小工程造價，對工程設(shè)計有較大的參考價值。

1 Fibonacci搜索法

文獻(xiàn)［5］中詳細(xì)分析了采用Fibonacci法搜索張弦桁架最優(yōu)矢高、垂度的可行性?，F(xiàn)采用Fibonacci搜索法，以跨度L為100m、垂度為2.8m的上弦為倒三角形桁架的張弦桁架結(jié)構(gòu)為例，其中，恒荷載取1.38kPa?；詈奢d取0.3kPa，風(fēng)荷載取0.7kPa，溫度荷載取40℃。Fibonacci法搜索最優(yōu)矢高的具體計算步驟［6－7］為：

（1）參數(shù)初始化。文獻(xiàn)［8］～［12］中的計算分析結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)的矢跨比最好大于0.12，這時結(jié)構(gòu)的受力和位移都在比較合理的范圍內(nèi)，并且矢跨比對縱向位移和支座反力的影響不明顯。據(jù)此確定出矢高的初始搜索區(qū)間為［0.10L，0.17L］，因此本算例中矢高的初始搜索區(qū)間左端點(diǎn)a＝10m，搜索區(qū)間右端點(diǎn)b＝17m。初定矢高允許誤差ε為0.01 m，計算目標(biāo)函數(shù)值的次數(shù)n，則函數(shù)值Fn＋1＞（ba）／ε＝700，從Fibonacci數(shù)列可知，F(xiàn)15＝987，F(xiàn)14＝610，故取n＝14。

（2）初始2個搜索點(diǎn)，第1次搜索區(qū)間左、右端點(diǎn)函數(shù)值fa（1），fb（1）分別為

調(diào)入張弦桁架離散變量截面優(yōu)化程序，經(jīng)過計算得到第1次搜索區(qū)間左、右端點(diǎn)矢高所對應(yīng)的最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量分別為 wtmina（1）＝88.51t，wtminb（1）＝86.255t。

（3）保留區(qū)間和保留點(diǎn)的選擇。由于最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量wtmina（1）＞wtminb（1），因此保留區(qū)間為［12.68，17］，保留點(diǎn)為xr＝fb（1）＝14.33。取

再比較wtmina（2）與wtminb（2），決定第2次保留區(qū)間和保留點(diǎn)。為了簡化計算，本文中略去后面步驟說明，根據(jù)計算結(jié)果得到的矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系見圖1。

圖1 矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系Fig.1 Relation Between Rise and Minimum Structure Weight

從圖1可以看出，矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線大致呈拋物線形狀。在結(jié)構(gòu)其他參數(shù)不變，滿足相同荷載和拓?fù)湫问降那闆r下，在矢高較小時，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量較大。這是因?yàn)槠鸸拜^小時，豎向剛度較小，為了達(dá)到結(jié)構(gòu)的位移要求，必須加大桿件截面來提高結(jié)構(gòu)整體剛度。隨著矢高的增大，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐漸減小，當(dāng)矢高為14.87m時，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量處于拋物線最低點(diǎn)，結(jié)構(gòu)的用鋼量達(dá)到最小。隨著矢高的繼續(xù)增大，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量又有所增大，這是因?yàn)槠鸸按?，拱長增加，導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的用鋼量增加。顯然，本特定算例中，最優(yōu)矢高為14.87m，對應(yīng)的最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量為85.401t，最優(yōu)矢跨比為0.148 7。

2 張弦桁架矢高優(yōu)化分析

2.1 各垂度的張弦桁架矢高優(yōu)化

上述研究只探討了跨度為100m、垂度為2.8 m的張弦桁架矢高優(yōu)化，而相同跨度情況下，不同垂度的張弦桁架最優(yōu)矢跨比是否相同，這是值得研究的問題。采用筆者編寫的形狀參數(shù)優(yōu)化程序?qū)Σ煌苟鹊膹埾诣旒苓M(jìn)行矢高優(yōu)化分析，以80，100m的張弦桁架為例，荷載與其他參數(shù)設(shè)置與第1節(jié)中的算例相同，探討相同跨度下最優(yōu)矢跨比隨垂度變化的規(guī)律。

圖2中給出了跨度分別為80，100m的張弦桁架在不同垂度下，矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線。

從圖2可以看出：相同跨度情況下，垂度較小時，最優(yōu)矢高相對較小，但結(jié)構(gòu)的用鋼量較大。這主要是因?yàn)槠鸸拜^小時，索與撐桿夾角較小，施加了預(yù)應(yīng)力的索給撐桿提供的豎向力較小，導(dǎo)致?lián)螚U無法提供給拱很大的豎向力，起不到增加豎向剛度的作用，為了滿足結(jié)構(gòu)的位移要求，必須加大索截面面積以提供索拉力，從而為撐桿提供更大的豎向力，這樣就導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的用鋼量增加。而垂度較大時，索弧長和撐桿長度有所增加，同時為了滿足壓桿穩(wěn)定，撐桿截面面積需要增加，導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的用鋼量增加。隨著垂度的增加，所對應(yīng)的最優(yōu)矢高逐漸增加，而結(jié)構(gòu)的用鋼量逐漸減小，當(dāng)垂跨比在0.07左右時，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量達(dá)到最小，即結(jié)構(gòu)用鋼量最小；隨著垂度的繼續(xù)增加，所對應(yīng)的最優(yōu)矢高反而變小，結(jié)構(gòu)用鋼量又有所增大。由此可知，當(dāng)垂跨比在0.07左右時，才會得到最優(yōu)矢高與結(jié)構(gòu)用鋼量最小。

2.2 各跨度的張弦桁架矢高優(yōu)化

不同跨度的張弦桁架最優(yōu)矢跨比是否相同，這是值得研究的問題。根據(jù)研究結(jié)果，垂跨比在0.07左右時才會得到最優(yōu)矢高與結(jié)構(gòu)用鋼量最小?；谠摻Y(jié)論，擬定了60，80，100，125，150m 五種常用跨度的張弦桁架計算模型參數(shù)，如表1所示，荷載與其他參數(shù)設(shè)置與第1節(jié)中的算例相同，分別對其進(jìn)行矢高優(yōu)化分析。

圖2 不同垂度下矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線Fig.2 Relation Curves Between Rise and Minimum Structure Weight Under Different Sags

表1 各跨度張弦桁架結(jié)構(gòu)的模型參數(shù)Tab.1 Model Parameters of Different Spans for Truss String Structure m

圖3為5種常用跨度的張弦桁架矢高優(yōu)化結(jié)果。其中，圖3（a）為5種跨度的矢高優(yōu)化曲線匯總，圖3（b）～（f）分別為5種跨度的矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量關(guān)系曲線。從圖3可以看出：

圖3 不同跨度下矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線Fig.3 Relation Curves Between Rise and Minimum Structure Weight Under Different Spans

（1）隨著跨度的增加，張弦桁架最優(yōu)矢高逐漸增大［圖3（a）］。這主要是因?yàn)殡S著跨度的增加，為了滿足結(jié)構(gòu)位移條件等要求，起拱必須有所增加，即矢高必須相應(yīng)增加，這必然會導(dǎo)致最優(yōu)矢高隨著跨度的增大而增加。

（2）各跨度的矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線大致呈拋物線形狀［圖3（b）～（f）］。各跨度在矢高很小時，結(jié)構(gòu)的用鋼量都較大；隨著矢高增加，結(jié)構(gòu)的用鋼量逐漸減??；隨著矢高繼續(xù)增加，結(jié)構(gòu)的用鋼量又有所增加。

把張弦桁架各跨度對應(yīng)的最優(yōu)矢高繪制成圖4。從圖4可以看出，最優(yōu)矢高隨著跨度增大而幾乎呈線性增加。表2中給出了各跨度所對應(yīng)的最優(yōu)矢高與矢跨比。從表2可以看出：當(dāng)垂跨比為0.07時，各跨度的最優(yōu)矢跨比出現(xiàn)在0.132～0.159之間；跨度越大時，最優(yōu)矢跨比稍微偏大，如當(dāng)跨度為150m時，最優(yōu)矢跨比為0.154。而最優(yōu)矢跨比與垂跨比之和為0.22時，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小。

圖4 最優(yōu)矢高與跨度的關(guān)系曲線Fig.4 Relation Curve Between Optimum Rise and Span

表2 各跨度對應(yīng)的最優(yōu)矢高與矢跨比Tab.2 Optimum Rises and Rise－span Ratios of Different Spans

3 張弦桁架垂度優(yōu)化分析

3.1 各矢高的張弦桁架垂度優(yōu)化

實(shí)際工程中，相同跨度、垂度的張弦桁架也有多種矢高可以選取。在相同跨度情況下，最優(yōu)垂跨比隨著矢高的不同將有著怎樣的變化規(guī)律，這是值得研究的問題。以跨度80，100m的張弦桁架為例，對不同矢高的張弦桁架進(jìn)行垂度形狀參數(shù)優(yōu)化分析，探討在相同跨度情況下，最優(yōu)垂跨比隨著矢高變化的規(guī)律。

圖5中給出了跨度分別為80，100m的張弦桁架在不同矢高下，垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線。

圖5 不同矢高下垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線Fig.5 Relation Curves Between Sag and Minimum Structure Weight Under Different Rises

從圖5可以看出，相同跨度情況下，矢高較小時，最優(yōu)垂度相對較大，而且最小結(jié)構(gòu)用鋼量也較大。這主要是因?yàn)槭父咻^小時，起拱較小，豎向剛度較小，為了達(dá)到結(jié)構(gòu)的位移要求，必須加大桿件截面來提高結(jié)構(gòu)整體剛度。而當(dāng)矢高較大時，起拱較大，拱長增加，這又導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的用鋼量增加。隨著矢高的增加，所對應(yīng)的最優(yōu)垂度逐漸減小，而且結(jié)構(gòu)的用鋼量逐漸減小，當(dāng)矢跨比在0.14左右時，最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量達(dá)到最小，即結(jié)構(gòu)的用鋼量最小；隨著矢高的繼續(xù)增加，所對應(yīng)的最優(yōu)矢高反而變大，結(jié)構(gòu)的用鋼量又有所增大。由此可知，當(dāng)矢跨比在0.14左右時，才會得到最優(yōu)垂度與結(jié)構(gòu)的用鋼量最小。

3.2 各跨度的張弦桁架垂度優(yōu)化

張弦桁架的最優(yōu)垂度隨跨度變化的規(guī)律如何，而且不同跨度的張弦桁架最優(yōu)垂跨比是否相同，這是值得進(jìn)一步研究的問題。根據(jù)研究結(jié)果，矢跨比在0.14左右時才會得到最優(yōu)垂度與最小結(jié)構(gòu)用鋼量。基于該結(jié)論，筆者擬定了60，80，100，125，150 m五種常用跨度的張弦桁架計算模型參數(shù)（表1），并分別對其進(jìn)行垂度形狀優(yōu)化分析。

圖6為5種常用跨度的張弦桁架垂度優(yōu)化結(jié)果。其中，圖6（a）為5種跨度的垂度優(yōu)化曲線匯總，圖6（b）～（f）分別為5種跨度的垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量關(guān)系曲線。

圖6 不同跨度下垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線Fig.6 Relation Curves Between Sag and Minimum Structure Weight Under Different Spans

從圖6可以看出：

（1）隨著跨度的增加，最優(yōu)垂度逐漸增大。這主要是因?yàn)殡S著跨度的增加，為了滿足結(jié)構(gòu)位移約束條件，起拱必須有所增加，這樣才能使施加了預(yù)應(yīng)力的索給撐桿提供足夠大的豎向力，即垂度必須相應(yīng)增加，這必然會導(dǎo)致最優(yōu)垂度也將隨著跨度的增大而增加［圖6（a）］。

（2）各跨度的垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量的關(guān)系曲線大致呈拋物線形狀［圖6（b）～（f）］。各跨度在垂度較小時，結(jié)構(gòu)的用鋼量都較大；隨著垂度增加，結(jié)構(gòu)的用鋼量逐漸減?。浑S著垂度繼續(xù)增加，結(jié)構(gòu)的用鋼量又有所增加。

把張弦桁架各跨度對應(yīng)的最優(yōu)垂度繪制成圖7。從圖7可以看出，最優(yōu)垂度隨著跨度增大而幾乎呈線性增加。表3中給出了各跨度對應(yīng)的最優(yōu)垂度與垂跨比。從表3可知：當(dāng)矢跨比在0.14左右時，各跨度的最優(yōu)垂跨比出現(xiàn)在0.07左右；最優(yōu)的垂跨比與矢跨比之和為0.22，此時結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小。

4 結(jié)語

（1）對張弦桁架的矢高、垂度進(jìn)行了優(yōu)化分析。優(yōu)化分析結(jié)果表明，當(dāng)垂跨比在0.07左右時，才會得到最優(yōu)矢高與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量，各跨度的最優(yōu)矢跨比出現(xiàn)在0.132～0.159之間，跨度越大，最優(yōu)矢跨比稍有增加。最優(yōu)的矢跨比與垂跨比之和為0.22，此時結(jié)構(gòu)的質(zhì)量最小。

圖7 最優(yōu)垂度與跨度的關(guān)系曲線Fig.7 Relation Curve Between Optimum Sag and Span

表3 各跨度對應(yīng)的最優(yōu)垂度與垂跨比Tab.3 Optimum Sags and Sag－span Ratios of Different Spans

（2）當(dāng)矢跨比在0.14左右時，才會得到最優(yōu)垂度與最小結(jié)構(gòu)質(zhì)量。隨著跨度的增加，最優(yōu)垂度隨著跨度增大而幾乎呈線性增加；各跨度在垂度很小時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量都較大，隨著垂度增加，結(jié)構(gòu)質(zhì)量逐漸減小，隨著垂度繼續(xù)增加，結(jié)構(gòu)質(zhì)量又有所增加；當(dāng)矢跨比在0.14左右時，各跨度的最優(yōu)垂跨比出現(xiàn)在0.07左右。

［1］XUE W C，LIU S.Design Optimization and Experimental Study on Beam String Structures［J］.Journal of Constructional Steel Research，2009，65（1）：70－80.

［2］楊 睿.預(yù)應(yīng)力張弦梁結(jié)構(gòu)的形態(tài)分析及新體系的靜力性能研究［D］.杭州：浙江大學(xué)，2001.

YANG Rui.Shape Analysis of Prestressed BSS and Study of Mechanical Behavior for a New System［D］.Hangzhou：Zhejiang University，2001.

［3］陳 侃.預(yù)應(yīng)力張弦拱結(jié)構(gòu)的理論分析和受力特性研究［D］.杭州：浙江大學(xué)，2000.

CHEN Kan.Theoretical Analysis and Mechanics Property Study of Prestressed Beam String Structure［D］.Hangzhou：Zhejiang University，2000.

［4］馬美玲.張弦梁結(jié)構(gòu)找形和受力性能研究［D］.杭州：浙江大學(xué)，2004.

MA Mei－ling.Study of Form－finding and Mechanical Behavior for Beam String Structure［D］.Hangzhou：Zhejiang University，2004.

［5］曹春陽，劉紅艷，董錦坤.離散變量結(jié)構(gòu)優(yōu)化的斐波那契算法［J］.遼寧工學(xué)院學(xué)報，2005，25（1）：34－36.

CAO Chun－yang，LIU Hong－yan，DONG Jin－kun.Fibonacci Design Method for Structure Optimization with Discrete Variables［J］.Journal of Liaoning Institute of Technology，2005，25（1）：34－36.

［6］SUBASI M，YILDIRIM N，YILDIZ B.An Improvement on Fibonacci Search Method in Optimization Theory［J］.Applied Mathematics and Computation，2004，147（3）：893－901.

［7］YILDIZ B，KARADUMAN E.On Fibonacci Search Method with k－Lucas Numbers［J］.Applied Mathe－matics and Computation，2003，143（2／3）：523－531.

［8］王秀麗，劉永周.矢跨比和垂跨比對張弦立體桁架性能的影響分析［J］.空間結(jié)構(gòu)，2005，11（1）：35－39.

WANG Xiu－li，LIU Yong－zhou.Influences of Rise－tospan Ratio and Sag－to－span Ratio on the Prestressed Spatial Truss String Structure［J］.Spatial Structures，2005，11（1）：35－39.

［9］姚國紅，劉樹堂，康麗萍.單榀張弦桁架結(jié)構(gòu)各因數(shù)的影響分析［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29（2）：65－70.

YAO Guo－h(huán)ong，LIU Shu－tang，KANG Li－ping.Influence Analysis of Factors of Single Truss String Structure［J］.Journal of Henan University of Science ＆Technology：Natural Science，2008，29（2）：65－70.

［10］柯友華，陳 波.張弦桁架結(jié)構(gòu)的非線性地震響應(yīng)及其參數(shù)分析［J］.鋼結(jié)構(gòu)，2010，25（3）：37－44.

KE You－h(huán)ua，CHEN Bo.The Nonlinear Seismic Response and Parametric Analysis of Truss String Structure［J］.Steel Construction，2010，25（3）：37－44.

［11］韓萬水，王 濤，李永慶，等.大跨鋼桁架懸索橋有限元模型實(shí)用修正方法［J］.交通運(yùn)輸工程學(xué)報，2011，11（5）：18－27.

HAN Wan－shui，WANG Tao，LI Yong－qing，et al.Practical Updating Method of Finite Element Model for Long－span Steel Truss Suspension Bridge［J］.Journal of Traffic and Transportation Engineering，2011，11（5）：18－27.

［12］高 亮，劉健新，張 丹.桁架橋主梁三分力系數(shù)試驗(yàn)［J］.長安大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，32（1）：52－56.

GAO Liang，LIU Jian－xin，ZHANG Dan.Experimental Study on Three－component Force Coefficients of Truss Girder Cross－section［J］.Journal of Chang’an University：Natural Science Edition，2012，32（1）：52－56.