王宗堯,姜紅燕,朱紅波
(淮陰工學院數(shù)理學院,江蘇 淮安223003)
矩估計法是最古老的求估計的方法之一,它是由英國統(tǒng)計學家K.Pearson 在1900年提出的.其基本思想是用樣本矩及其函數(shù)估計相應的總體矩及其函數(shù),理論依據(jù)是辛欽大數(shù)定律.
定理1[1](辛欽大數(shù)定律)設隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立,服從同一分布,且具有數(shù)學期望E(Xi)=μ(i=1,2…),則對于任意正數(shù)ε,有:
辛欽大數(shù)定律告訴我們,樣本1 階原點矩依概率收斂于總體1 階原點矩.
定理2[2]設隨機變量X1,X2,…,Xn,…相互獨立,服從同一分布,且具有數(shù)學期望E()=μk(k=1,2,…),則對于任意正數(shù)ε,有:
由定理2 可知,樣本k 階原點矩依概率收斂于總體k 階原點矩.這樣,樣本k 階原點矩是總體k 階原點矩的相合估計.根據(jù)依概率收斂的序列的性質,可以得到,其中g為連續(xù)函數(shù),.因此樣本k 階原點矩的函數(shù)也是總體k 階原點矩的函數(shù)的相合估計,故矩估計一般都具有相合性.所以矩估計法在統(tǒng)計學中具有廣泛的應用.
用樣本k 階原點矩作為總體k 階原點矩的估計量,建立含有待估參數(shù)的方程并解出待估參數(shù).一般分布中有幾個未知參數(shù),就求到幾階矩.例如:
例1 設總體X 的數(shù)學期望μ和方差σ2都存在,試求μ,σ2的矩估計量.
解 設X1,X2,…,Xn為總體X 的樣本,由題設:
解得μ=μ1,σ2=μ2-.用A1,A2分別替換式中的μ1,μ2,即求得μ,σ2的矩估計量:
矩估計法的優(yōu)點非常明顯,簡單易行,眾人都能接受,使用場合甚廣,且在總體分布未知時也可使用,如上述例1.一般來講,若總體中的未知參數(shù)有k 個,則要求總體的前k 階矩存在.當然,矩估計法的不足也有很多,本文在文獻[3]的基礎上,進行更加具體深入的討論如下.
1)矩估計有時會得到不合理的解
例2[4]設總體X 服從區(qū)間[0,θ]上的均勻分布,其中θ >0 是未知參數(shù),求θ 的矩估計量.
解 設X1,X2,…,Xn為總體X 的樣本,由題設:
若抽取了一個容量為3 的樣本,觀測值分別為1,2,9.代入到后可得=8,,即總體X 服從區(qū)間[0,8]上的均勻分布.這樣,樣本值都應在區(qū)間[0,8]中,它們取值的上界不應超過8.但注意到樣本觀測值中的9 已落在[0,8]外,這顯然是不合理的.這道題里,未知參數(shù)出現(xiàn)在總體所有可能取值的邊界上,即未知參數(shù)界定了總體取值的范圍.這一類問題稱之為門檻參數(shù)問題.對于這類問題,一般來說用矩估計法求出的參數(shù)估計量往往不太合理.用極大似然估計法可以有效解決此類問題.
2)矩估計量不惟一
例3 設總體X 服從指數(shù)分布,密度函數(shù)為f(x)=λe-λx(x >0),求λ 的矩估計量.
解 設X1,X2,…,Xn為總體X 的樣本,由題設:
當矩估計不惟一時,涉及到的矩的階數(shù)應盡可能小,從而對總體的要求也盡可能少.常用的矩估計一般只涉及一、二階矩.當然,有時總體的一階矩雖然存在,但是不含有待估參數(shù),這時就要計算總體的二階矩了(見例題4).
解 設X1,X2,…,Xn為總體X 的樣本,由題設:
不含待估參數(shù)θ,為此,又有:
3)矩估計法不一定可行
矩估計法在使用時要求總體的k 階矩存在(這里k 小于等于待估參數(shù)的個數(shù)).然而有些分布的總體矩并不存在,這樣矩估計法就失效了.例如柯西分布的概率密度為,總體的各階矩皆不存在,因此不能用矩估計法來估計參數(shù)θ.事實上,柯西分布概率密度更一般的形式為:
柯西分布以數(shù)學期望和方差均不存在而著名.
1)如前所述,矩估計法的基本思想是用樣本矩及其函數(shù)估計相應的總體矩及其函數(shù),這里的矩是原點矩.然而由于總體的k 階中心矩
總可以展開成總體的不超過階的原點矩的函數(shù),而樣本的k 階中心矩
可展成樣本不超過k 階原點矩的同樣函數(shù),因此可以用樣本的k 階中心矩作為總體k 階中心矩的估計量.例如前面的例1,要估計總體的方差σ2,也即總體的二階中心矩,就可以用樣本二階中心距來估計σ2,即:
這個結果和前面是一樣的.因此矩估計法的基本思想可以重新闡述成“用樣本k 階原點矩(或中心矩)及其函數(shù)估計相應的總體k 階原點矩(或中心矩)及其函數(shù)”.上述例3 中,由于總體二階中心矩,故可以用樣本二階中心距來替換D(X),從而得到λ 的又一個矩估計.
2)當矩估計不惟一時,就必須對這些估計的好壞給出評價標準.有一個基本標準是所有的估計都應該滿足的,它是衡量一個估計是否可行的必要條件,這就是矩估計的相合性.前面已經(jīng)提到,矩估計一般都具有相合性.在這個基礎上,評價一個點估計的好壞使用的度量指標總是點估計值與參數(shù)真值θ 的距離的函數(shù),由此可以得到均方誤差MSE()=E(-θ)2的概念.自然,我們希望估計的均方誤差越小越好.然而,可以證明:使均方誤差一致達到最小的最優(yōu)估計是不存在的.所以,通常是先對估計提出一些合理性要求,然后在滿足這種合理性要求的估計類中尋找好的估計.無偏性便是一種最常用的合理性要求[5].如果是θ 的無偏估計,則MSE()=D(),此時用均方誤差評價點估計與用方差是完全一樣的,這也說明了用方差考察無偏估計有效性是合理的.當不是θ 的無偏估計時,就要看其均方誤差.當然,在均方誤差的含義下,有些有偏估計優(yōu)于無偏估計[6],這里不再贅述.
[1]郭躍華,朱月萍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2011:132.
[2]范光,李廣明.矩估計法的理論注釋[J].十堰職業(yè)技術學院學報,2012,25(1):98-100.
[3]張永利.矩估計的基本原理及其解題方法[J].巢湖學院學報,2005,7(3):47-49.
[4]夏寧茂,秦衍,倪中新.新編概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].上海:華東理工大學出版社,2006:179-181.
[5]茆詩松,王靜龍,濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,1998:87.
[6]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2004:295.