孫佳龍，焦明連，梁青科

(1.淮海工學(xué)院測繪工程學(xué)院，江蘇連云港222001;2.山東里能魯西礦業(yè)有限公司，山東濟(jì)寧272053)

一、引 言

隨著GPS測量技術(shù)的不斷發(fā)展和完善，求取高精度的高程異常在實(shí)際工程應(yīng)用中越來越重要［1］。目前常用的高程異常擬合方法主要有多項(xiàng)式擬合法、移動(dòng)二次曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法等［2-3］。在擬合區(qū)域較小的情況下，一般擬合方法可以達(dá)到較高的精度，但由于這些方法未顧及似大地水準(zhǔn)面的物理性質(zhì)，擬合出的曲面只是高程異常的趨勢面，與高程異常的實(shí)際數(shù)值存在一定差異［4］。多面函數(shù)在理論上可以以任意精度逼近任意復(fù)雜曲面，因此可以更加逼近實(shí)際的高程異常曲面［5］。但由于多面函數(shù)中心點(diǎn)的個(gè)數(shù)及中心點(diǎn)的選擇對擬合精度影響較大，而其選擇目前又尚無可靠的理論依據(jù)，為此本文提出了基于聚類分析的多面函數(shù)擬合法，對中心點(diǎn)的個(gè)數(shù)和中心點(diǎn)進(jìn)行有效選取，使不同的中心點(diǎn)建立不同的多面函數(shù)模型，并從中選取最優(yōu)模型作為最后的擬合模型。

二、多面函數(shù)

多面函數(shù)的理論依據(jù)是：任意數(shù)學(xué)表面與任意不規(guī)則的圓滑表面，總可以利用一系列的有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面總和，以任意精度逼近。因此，由多面函數(shù)表示的殘差高程異常為［4-5］

式中，aj是待定系數(shù);q(x，y，xj，yj)是x和y的二次函數(shù)，其中心點(diǎn)在(xj，yj)處;n是中心點(diǎn)的個(gè)數(shù);ζ可由二次式的和確定，故稱多面函數(shù)。

用一組簡單的解析函數(shù)的線性組合對這個(gè)曲面進(jìn)行逼近，通常選擇多元二次函數(shù)作為解析函數(shù)，其形式為［6］

式中，δ為圓滑因子，也稱光滑系數(shù)，通?？扇∫恍≌龜?shù)或零;b可選取某個(gè)非零實(shí)數(shù)，通常為或。

將式(2)寫成誤差方程，并用矩陣表示為

待定系數(shù)A可根據(jù)已知GPS/水準(zhǔn)數(shù)據(jù)和地球重力場模型得到的殘差高程異常，按最小二乘法計(jì)算，即

由此可根據(jù)系數(shù)A和式(1)求解其他點(diǎn)的殘差高程異常。

三、基于聚類分析的多面函數(shù)

在式(1)中，由于選擇的中心點(diǎn)個(gè)數(shù)n小于或等于已知的高程異常值的個(gè)數(shù)，因此需要對所有的高程異常值進(jìn)行選取。人為選取高程異常值既耗時(shí)又費(fèi)力，且容易出錯(cuò)。因此，合理有效地選取高程異常值，使這些高程異常能很好地表示該區(qū)域的高程異常變化就顯得尤為必要。聚類分析是對樣本進(jìn)行分類的一種多元統(tǒng)計(jì)方法，是從樣本中發(fā)現(xiàn)有用信息的一種有效手段［7-8］。由于聚類分析能夠發(fā)現(xiàn)全局的分布模式及數(shù)據(jù)屬性之間相互關(guān)系，因此，本文利用聚類分析方法，以歐氏距離作為相似性統(tǒng)計(jì)量。考慮到高程異常曲面不僅與樣本點(diǎn)的地理位置有關(guān)，還與該點(diǎn)的高程異常值的大小有關(guān)，因此，本文以三維歐氏距離作為相似性統(tǒng)計(jì)量［7］，即

式中，xi、yi、ξi為Pi點(diǎn)的坐標(biāo)和高程異常;d 為距離。由于高程異常的單位與坐標(biāo)單位不同，在進(jìn)行聚類分析之前需將高程異常數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)格化處理［9-10］

式中，i=1、2、3;P為規(guī)格化處理后的高程異常所對應(yīng)的坐標(biāo)和高程異常值。以某地區(qū)12個(gè)高程異常數(shù)據(jù)點(diǎn)為例，規(guī)格化處理后的各點(diǎn)的坐標(biāo)和高程異常值如圖1所示。

圖1 規(guī)格化后的高程異常

從圖1中可以看出，1、2和8號(hào)點(diǎn)的高程異常圖形基本一致，4、5和6號(hào)點(diǎn)的殘差高程異常圖形也基本一致，而9和10號(hào)點(diǎn)的殘差高程異常值的變化趨勢也基本相同。因此，將以上幾類數(shù)據(jù)分別聚類是合適的。11、12號(hào)點(diǎn)的殘差高程異常與其他各點(diǎn)差異較大，當(dāng)分類數(shù)較多時(shí)不宜歸入其他類中。利用聚類分析，得到的聚類結(jié)果如圖2所示。

圖2 高程異常聚類樹

從高程異常聚類樹圖中可以看出，1、2，4、5和9、10被首先歸入一類，說明這幾組數(shù)據(jù)相似性較大;8號(hào)點(diǎn)與1和2號(hào)點(diǎn)相似性也較大，因此8號(hào)點(diǎn)也被歸入1和2號(hào)點(diǎn)這一類中;6號(hào)點(diǎn)與4和5號(hào)點(diǎn)也較為相似，因此6號(hào)點(diǎn)也被歸入到4和5號(hào)點(diǎn)這一類;11和12號(hào)點(diǎn)相似性較小，直到最后所有數(shù)據(jù)被分為兩類時(shí)，這兩點(diǎn)才被歸入一類。由此可以看出，聚類分析的結(jié)果與實(shí)際各點(diǎn)的相似情況基本吻合，因此利用聚類分析可以有效地對高程異常數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。

四、算例分析

某地區(qū)D級(jí)GPS控制網(wǎng)布設(shè)了17個(gè)觀測點(diǎn)，對其進(jìn)行了GPS觀測和三等水準(zhǔn)測量，利用GPS獲得的大地高和水準(zhǔn)測量得到正常高，以及17個(gè)GPS/水準(zhǔn)點(diǎn)的高程異常。利用其中12個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析，得到的分類數(shù)作為多面函數(shù)中心點(diǎn)的個(gè)數(shù);從每個(gè)聚類中選取歐氏距離最長的高程異常作為多面函數(shù)中心點(diǎn)，構(gòu)建多面函數(shù)。以另外5個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)作為外部檢核。外符合精度為

式中，νi為檢核點(diǎn)實(shí)測高程異常與擬合高程異常的差值;m為檢核點(diǎn)個(gè)數(shù)。檢核結(jié)果見表1。

表1 基于聚類分析的多面函數(shù)外部檢核結(jié)果 mm

從表1中可以看出，分類數(shù)從2開始增大時(shí)，多面函數(shù)擬合的精度有所提高;當(dāng)分類數(shù)為5時(shí)，精度最高，達(dá)到3.5 mm;隨著分類數(shù)繼續(xù)增加，精度又開始下降;當(dāng)分類數(shù)為11時(shí)，精度最低，為152.8 mm。由此說明，通過對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行有效分類，并依此選取多面函數(shù)的中心點(diǎn)，可以有效地提高多面函數(shù)的擬合精度。為了綜合評價(jià)基于聚類分析的多面函數(shù)的擬合精度，本文還利用同樣的數(shù)據(jù)，以多項(xiàng)式曲面擬合、移動(dòng)曲面擬合和多面函數(shù)擬合這3種常用的曲面擬合模型作為參考模型，比較各種模型之間的擬合精度(見表2)。

表2 擬合結(jié)果殘差比較m

從表2中可以看出，移動(dòng)二次曲面擬合的結(jié)果中，殘差最大值為0.15 m，為各種擬合函數(shù)中的最大值，其標(biāo)準(zhǔn)差和外符合精度也都最大，說明移動(dòng)二次曲面擬合的精度在4種方法中最差。5種評價(jià)指標(biāo)都顯示，聚類分析多面函數(shù)擬合的精度是最高的，其外符合精度最高，達(dá)到0.003 5 m。各個(gè)檢核點(diǎn)的高程異常殘差值如圖3所示。

圖3 4種擬合方法得到的高程異常殘差值

從圖3中可以看出，移動(dòng)二次曲面在5個(gè)檢核點(diǎn)的高程異常殘差值波動(dòng)較大，說明該函數(shù)模型未能很好地表示該區(qū)域的高程異常變化趨勢。而聚類分析多面函數(shù)在檢核點(diǎn)的高程異常殘差變化很小，說明聚類分析多面函數(shù)比較準(zhǔn)確地反映了該區(qū)域高程異常的變化趨勢，是一種比較好的擬合方法。

五、結(jié)束語

本文研究了基于聚類分析的多面函數(shù)擬合法，其將差異較小的數(shù)據(jù)歸入同類，將聚類分析的分類個(gè)數(shù)作為中心點(diǎn)的個(gè)數(shù)，將差異明顯的數(shù)據(jù)作為中心點(diǎn)，使多面函數(shù)中心點(diǎn)的選取更為合理和有效，在一定程度上提高了多面函數(shù)的擬合精度。

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