王鵬云

(寶雞文理學(xué)院，陜西 寶雞 721016)

0 引言

反步法(Backstepping)是Kokotovic教授提出的一種控制系統(tǒng)方法。它的設(shè)計(jì)思想是:針對(duì)滿足嚴(yán)格反饋控制結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，通過反向遞推設(shè)計(jì)，用系統(tǒng)化的方法同時(shí)構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和鎮(zhèn)定控制器?；诜床椒ǖ目刂破髟O(shè)計(jì)方法，其基本思路是將復(fù)雜的系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后通過反向遞推設(shè)計(jì)為每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)部分Lyapunov函數(shù)和中間虛擬控制量，直至完成整個(gè)控制器的設(shè)計(jì)。反步設(shè)計(jì)方法既適用于線性系統(tǒng)也適用于非線性系統(tǒng)，對(duì)帶有參數(shù)嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)尤為有效。因此它在非線性控制領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1][2]57[3－4]。

被廣泛應(yīng)用的單管正激變換器是一類典型的開關(guān)非線性系統(tǒng)[5]，為了提高其靜態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能，本文將 Backstepping應(yīng)用于變換器系統(tǒng)中。首先根據(jù)其工作原理建立了參數(shù)嚴(yán)格反饋形式的二階非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，對(duì)建立的非線性系統(tǒng)模型，采用反步法設(shè)計(jì)全局漸進(jìn)穩(wěn)定的控制器，使每個(gè)狀態(tài)分量具有適當(dāng)?shù)臐u進(jìn)特性，從而實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)在大擾動(dòng)下的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性。依據(jù)得到的反饋控制律組建閉環(huán)控制系統(tǒng)，驗(yàn)證了此控制方案的正確性。

1 單管正激變換器的數(shù)學(xué)模型分析

一般的單管正激變換器電路拓?fù)淙鐖D1所示。變壓器繞組W3和二極管VD3組成磁復(fù)位電路。開關(guān)管VS及驅(qū)動(dòng)信號(hào)如圖2所示，其中Ts為開關(guān)周期，d為VS在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)占空比，uGEM為驅(qū)動(dòng)電壓額定值。橫軸是時(shí)間軸，單位是毫秒，縱軸為驅(qū)動(dòng)電壓信號(hào)，單位為伏特。

設(shè)電路工作在輸出電感電流連續(xù)模式下，根據(jù)其工作原理，在0＜t≤dTs時(shí)，開關(guān)管導(dǎo)通。令n=N2/N1，根據(jù)基爾霍夫定律得到(1)式:

在dTs＜t≤Ts時(shí)，開關(guān)管關(guān)斷。同理有:

由于一個(gè)開關(guān)周期存在兩個(gè)方程，現(xiàn)定義一個(gè)開關(guān)函數(shù)S將式(1)、(2)統(tǒng)一為式(3)，其中 S=1，表示 VS 導(dǎo)通，S=0，表示 VS關(guān)斷。

方程中出現(xiàn)開關(guān)函數(shù)，系統(tǒng)是離散的，引入開關(guān)周期平均算子式(4)將其變換為連續(xù)的系統(tǒng)，x(t)為電路中的某電量[6]。

對(duì)開關(guān)函數(shù)求開關(guān)周期平均后得到式(5)

對(duì)統(tǒng)一方程求開關(guān)周期平均后，得到:

以上各量雖為開關(guān)周期平均值，仍保持原有書寫格式。式中d為控制輸入量，u0為系統(tǒng)輸出。從系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以看出，式(6)為具有參數(shù)嚴(yán)格反饋形式的非線性系統(tǒng)。它隸屬于式(7)統(tǒng)一表達(dá)式[2]。

2 單管正激變換器的反步設(shè)計(jì)方法

單管正激變換器數(shù)學(xué)模型屬于嚴(yán)格反饋控制結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，可以應(yīng)用反步設(shè)計(jì)方法。因系統(tǒng)的階數(shù)為2，整個(gè)設(shè)計(jì)可分為兩步。

單管正激變換器控制目標(biāo)是其輸出跟蹤給定。

(1)定義跟蹤誤差

式中uoref為給定值。對(duì)上式求導(dǎo)得到:

定義 β(u·oref，uo)函數(shù)和輔助誤差e2函數(shù):

其中iLref為虛擬控制量。

將上兩式代入式(9)中可得:

根據(jù)誤差系統(tǒng)，設(shè)計(jì)虛擬控制量iLref為:

式中k1∈R+為反饋增益。將式(13)代入式(12)得到:

從上式可知:若 e2→0，則 e1→0。

選取Lyapunov函數(shù)為:

對(duì)上式求導(dǎo)，將式(14)帶入得到:

(2)設(shè)計(jì)控制量d

對(duì)式(11)求導(dǎo)得到:

設(shè)計(jì)控制量d為:

式中k2∈R+為反饋增益，將上式代入式(17)得到:

選取Lyapunov函數(shù)為:

對(duì)上式求導(dǎo)，將式(16)、(19)帶入得到:

由上式可知，Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定的，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

從上述討論知，得到反饋控制量d可按下式得到:

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

實(shí)驗(yàn)參數(shù)如下:直流電壓uin=300 V，n=0.3，給定輸出電壓為30 V，開關(guān)周期為 Ts=0.04 ms，負(fù)載電阻 R0=5 Ω，輸出濾波電感Lf=3 mH，電容Cf=150 μF。其中電壓傳感器采用 CHV－25/400霍爾傳感器，電流傳感器采用CHB－25NP霍爾傳感器，實(shí)驗(yàn)采用TMS320F2812 DSP為控制器，功率器件選為IRFP460 414KAX。反饋增益為k1=1 000，k2=2 000。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.2.1 系統(tǒng)啟動(dòng)波形

圖3為輸出電壓u0、電感電流iL的啟動(dòng)波形，從波形上看啟動(dòng)速度快，過渡時(shí)間為8 ms左右，輸出電壓基本無超調(diào)，輸出電壓無靜差。

3.2.2 負(fù)載變化實(shí)驗(yàn)波形

負(fù)載由R0=5 Ω突變?yōu)镽0=2.5 Ω，實(shí)驗(yàn)波形如圖4，從實(shí)驗(yàn)波形可以看出，系統(tǒng)在負(fù)載突變后4 ms左右系統(tǒng)穩(wěn)定，輸出電壓完全跟隨給定且無靜差，說明系統(tǒng)抗負(fù)載擾動(dòng)能力強(qiáng)。

3.2.3 電源電壓變化實(shí)驗(yàn)波形

uin變化為300 V→240 V→300 V和300 V→370 V→300 V，實(shí)驗(yàn)波形為圖5。從實(shí)驗(yàn)波形可以看出:直流電壓變化時(shí)，輸出電壓和電感電流基本恒定，說明對(duì)直流電壓變化擾動(dòng)抵抗能力很強(qiáng)。從公式(18)知，控制占空比對(duì)直流電壓波動(dòng)有前饋?zhàn)饔谩?/p>

4 結(jié)束語

本文建立了單管正激變換器的具有參數(shù)嚴(yán)格反饋形式的二階非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。提出對(duì)此模型應(yīng)用反步設(shè)計(jì)法，推導(dǎo)出反饋控制律的一般表達(dá)式。并應(yīng)用此反饋控制規(guī)律組建單管正激變換器閉環(huán)控制系統(tǒng)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)具有良好的靜態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能，驗(yàn)證了該控制策略的正確性和可行性。

圖5 電源電壓突變時(shí)實(shí)驗(yàn)波形

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