顧恩國,張梅娜,陳 博

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

一直以來,關(guān)于漁業(yè)資源的可持續(xù)發(fā)展的研究有很多,許多學(xué)者也建立了大量的模型[1-3],但是近年來,隨著對(duì)海洋資源可持續(xù)利用研究的深入,越來越多的學(xué)者注意到位于海洋食物鏈較低層的浮游生物,對(duì)海洋資源的可持續(xù)發(fā)展有著至關(guān)重要的影響,并且由此建立了一系列的數(shù)學(xué)模型[4-6].在已經(jīng)建立的模型中,浮游植物、浮游動(dòng)物相互作用的動(dòng)態(tài)模型大多是在微分方程或者連續(xù)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)上提出的,用離散動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行研究的學(xué)者很少,而對(duì)于人類的捕撈對(duì)浮游生物的影響的研究更是稀少,另一方面,由于部分浮游植物會(huì)產(chǎn)生有毒物質(zhì),過度累積也會(huì)造成浮游動(dòng)物的死亡.因此,本文將有毒的浮游植物、浮游動(dòng)物被捕撈的連續(xù)模型離散化,建立一個(gè)在相同捕撈力度下,浮游植物、浮游動(dòng)物的變化規(guī)律的離散動(dòng)力學(xué)模型,用來研究人類的捕撈力度對(duì)整個(gè)浮游生物演化的影響,進(jìn)而討論對(duì)海洋資源可持續(xù)利用的影響.

1 模型的建立

Lü Yunfei 和Pei Yongzhen等[5]提出的有毒浮游植物——浮游動(dòng)物捕撈的連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型:

(1)

這里,P為在時(shí)刻t可產(chǎn)生有毒物質(zhì)的浮游植物的種群密度,Z為在時(shí)刻t浮游動(dòng)物的種群密度,并且滿足在初始時(shí)刻P(0)=P0≥0,Z(0)=Z0≥0.r為有毒浮游植物的固有增長率,k為環(huán)境對(duì)浮游植物的最大承載能力,其中,常數(shù)β為浮游動(dòng)物的最大吸收率,β1為生物量的轉(zhuǎn)化率,d(>0)為浮游動(dòng)物的自然死亡率,ρ(>0)為單位生物量的浮游植物產(chǎn)生有毒物質(zhì)的比率,E(≥0)為捕撈力度,c1(≥0)、c2(≥0)為兩個(gè)種群的可捕系數(shù),α(>0)為Holling type Ⅱ函數(shù)的半飽和常數(shù)[7].由生物學(xué)可知,β>β1>0.

另一方面,假設(shè)有毒浮游植物生物量的轉(zhuǎn)化率大于有毒物質(zhì)的產(chǎn)生比率,即β1>ρ.

在實(shí)際生活中,浮游植物、浮游動(dòng)物的繁殖具有一定的周期性,而人類的捕撈活動(dòng)也不是時(shí)刻不停的,因此離散動(dòng)力學(xué)模型更能反映浮游植物、浮游動(dòng)物的演化過程.對(duì)上述模型進(jìn)行離散化,可以得到浮游植物、浮游動(dòng)物捕撈的二維系統(tǒng)如下:

(2)

2 正不動(dòng)點(diǎn)的存在性

由映射動(dòng)力系統(tǒng)理論[8]可知,二維動(dòng)力系統(tǒng)(2)可以寫成一個(gè)映射動(dòng)力系統(tǒng):

(3)

這里′表示時(shí)間增加一個(gè)單位.任意時(shí)刻的映射T表示空間內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)(P,Z)映射到下一個(gè)點(diǎn),則系統(tǒng)的軌道:

Γ(P(0),Z(0))={(P(t),Z(t))|(P(t),Z(t))=Tt(P(0),Z(0))}

是映射T從初始點(diǎn)(P(0),Z(0))開始生成的.

下面求系統(tǒng)(3)的不動(dòng)點(diǎn),由于系統(tǒng)(3)的不動(dòng)點(diǎn)必須滿足P′=P,Z′=Z，因此求系統(tǒng)(3)的不動(dòng)點(diǎn)即求解下面非線性方程組的解:

(4)

根據(jù)方程組(4)的第一個(gè)方程可以得到:P=0或

綜合上面的分析可知,關(guān)于系統(tǒng)非負(fù)不動(dòng)點(diǎn)我們有下面命題1,

命題1 系統(tǒng)除有一個(gè)滅絕不動(dòng)點(diǎn)S0=(0,0)外,還有如下兩個(gè)非負(fù)不動(dòng)點(diǎn):

3 不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性和分叉

系統(tǒng)(4)在不動(dòng)點(diǎn)處的局部穩(wěn)定性取決于其Jacobian矩陣的特征值,在不動(dòng)點(diǎn)(P,Z)處的Jacobian矩陣有如下形式:

J(P,Z)=

(5)

3.1 滅絕不動(dòng)點(diǎn)S0=(0,0)的穩(wěn)定性

證明在S0=(0,0)處系統(tǒng)的Jacobian矩陣為:

其中J(S0)的特征值為λ1=1+r-c1E,λ2=1-d-c2E.

因?yàn)閙ax{|λ1|,|λ2|}<1,即|λ1|<1且|λ2|<1時(shí),(0,0)為漸近穩(wěn)定的.

3.2 邊界不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性

3.3 正不動(dòng)點(diǎn)S2=(P*,Z*)的穩(wěn)定性

在S2=(P*,Z*)=

則q2<1成立.

綜合上面的分析,可以得到關(guān)于正不動(dòng)點(diǎn)S2=(P*,Z*)的穩(wěn)定性和局部分叉定理.

(i)當(dāng)

(ii)系統(tǒng)(4)在不動(dòng)點(diǎn)S2處不可能產(chǎn)生fold分叉;

(iii)當(dāng)k=

圖1 系統(tǒng)(4)關(guān)于捕撈力度E的一維分叉圖

所以系統(tǒng)在S1=(5.0921,0)處Taylor展式(忽略高階余項(xiàng))為:

(6)

上述方程的矩陣形式為:

所以映射f1在中心流形上由映射u|→-u+f1(u,h(u)),即u|→-u-0.3928u2+o(u5)給出.

則f1的Schwarzian導(dǎo)數(shù)為:

4 結(jié)語

本文在假設(shè)浮游動(dòng)物以有毒的浮游植物作為食物,且它們均被人類捕撈的條件下,建立了浮游動(dòng)物和浮游植物的離散動(dòng)力學(xué)模型,并且對(duì)模型進(jìn)行了非線性分析.我們發(fā)現(xiàn)捕撈力度對(duì)浮游植物、浮游動(dòng)物最終的演化有明顯的影響,當(dāng)捕撈力度過小時(shí)浮游植物和浮游動(dòng)物會(huì)出現(xiàn)隨機(jī)或準(zhǔn)周期波動(dòng),過大會(huì)發(fā)生滅絕,此時(shí)對(duì)海洋生態(tài)環(huán)境而言都不是最佳的.存在捕撈力度的某一閾值范圍,此時(shí)浮游動(dòng)植物穩(wěn)定到一個(gè)固定值.當(dāng)捕撈力度超過某一閾值(例如E>Ec≈10.61)時(shí),相應(yīng)的以其為食物的較高等浮游動(dòng)物會(huì)滅絕.在單一浮游植物演化中,捕撈力度也有一個(gè)較適中的范圍,即過高或過低的捕撈力度均不利于浮游植物資源的可持續(xù)利用.

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