孫興偉，葛 干，王 可

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

0 引言

當(dāng)前螺桿鉆具萬(wàn)向軸的種類(lèi)，主要為球籠式和花瓣式:對(duì)于球籠式萬(wàn)向軸，以鋼球傳遞扭矩和速度，傳動(dòng)平穩(wěn)、容易潤(rùn)滑、導(dǎo)向靈敏，但加工難度高。由于鋼球工作接觸面積小，因此傳遞扭矩小，接觸面容易產(chǎn)生疲勞，使用壽命短［1］?；ò晔饺f(wàn)向軸，加工方便、傳動(dòng)扭矩大、轉(zhuǎn)角大，但傳動(dòng)不平穩(wěn)、加工精度低、機(jī)械效率低、磨損厲害，故使用壽命較短［2］。

弧形齒萬(wàn)向軸作為一種新型的螺桿鉆具萬(wàn)向軸，不僅很好地克服了以往萬(wàn)向軸所存在的傳動(dòng)不平穩(wěn)、磨損厲害、加工精度低、機(jī)械效率低等缺點(diǎn)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、潤(rùn)滑良好、大擺角、大扭矩、使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)［3］。

對(duì)于弧形齒萬(wàn)向軸的外齒加工，考慮到盤(pán)形銑加工的經(jīng)濟(jì)性，高效性，表面加工質(zhì)量好等優(yōu)點(diǎn)，但對(duì)其采用平面包絡(luò)計(jì)算方法計(jì)算刀具軌跡時(shí)，存在著加工維度低、盤(pán)形銑刀在齒根處與已加工表面產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的問(wèn)題，從而導(dǎo)致加工工藝失敗。為了增加加工維度，避免干涉，本文采用空間包絡(luò)計(jì)算方法，計(jì)算加工弧形齒萬(wàn)向軸外齒齒面的刀具運(yùn)動(dòng)軌跡。

1 刀具和工件模型的建立

要進(jìn)行外齒齒面的包絡(luò)分析，首先必須建立其刀具、工件的幾何數(shù)學(xué)模型。

1.1 坐標(biāo)系以及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

S(o，x，y，z)坐標(biāo)系，為與外齒固連的工件坐標(biāo)系，如圖1 所示:z 軸與萬(wàn)向軸的軸線重合。S1=(O1，x1，y1，z1)坐標(biāo)系，為與刀觸點(diǎn)(即刀具銑削面與加工面實(shí)際接觸的點(diǎn))固連的動(dòng)坐標(biāo)系，如圖2 所示:原點(diǎn)o1在S(o，x，y，z)坐標(biāo)系的坐標(biāo)為(x0，y0，z0);y1軸與y 軸夾角α 為外齒繞z 的轉(zhuǎn)角;z1軸與z軸夾角θ 為刀具旋轉(zhuǎn)角。S'(O，X，Y，Z)坐標(biāo)系，為與機(jī)床固連的機(jī)床坐標(biāo)系，如圖3 所示:原點(diǎn)O 與原點(diǎn)o 重合;X 軸與x 軸夾角α 為繞Z 軸的轉(zhuǎn)角;Z 軸與z 軸平行;S″(O1，X1，Y1，Z1)坐標(biāo)系，為與刀具固連的刀具坐標(biāo)系，如圖4 所示:X1軸與x1軸平行;Y1軸與y1軸平行;Z1軸與z1軸平行。

1.2 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系

S1坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到S 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

圖1 S 坐標(biāo)系

圖2 S1 坐標(biāo)系

圖3 S'坐標(biāo)系

圖4 S″坐標(biāo)系

S 坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到S'坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換關(guān)系為:

式中:θ— 刀具旋轉(zhuǎn)角;α—工件旋轉(zhuǎn)角度;

(x0，y0，z0)—S 坐標(biāo)系下刀觸點(diǎn)坐標(biāo)。

1.3 刀具模型

包絡(luò)法加工外齒，通常采用盤(pán)形銑刀，銑削面為由圓環(huán)面過(guò)渡的雙錐曲面。在包絡(luò)加工時(shí)，回轉(zhuǎn)錐面起到切削金屬的作用，工件已加工表面則是由刀尖圓弧部分回轉(zhuǎn)形成的圓弧面包絡(luò)成型。因此，可以將刀具簡(jiǎn)化成圓環(huán)面模型，如圖4 所示。銑削面上刀觸點(diǎn)(銑削點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)軌跡組成了銑削軌跡束。

1.4 工件模型

外齒齒面為橢球面［4］，為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們只以齒1 為研究對(duì)象，其他齒面迎刃而解。S 坐標(biāo)系下的齒面方程為:

式中:R—基圓半徑;a—橢球短軸;b—橢球長(zhǎng)軸。

2 刀位點(diǎn)方程的建立

在S 坐標(biāo)系下，刀觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡所在銑削平面∑1的平面(平面y1o1z1)，與橢球齒面∑2所交的空間曲線即為齒面上與刀觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡相切的空間曲線Γ，如圖5 所示。因此，通過(guò)空間曲線Γ 的切向量，可以計(jì)算出刀觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心。由于該圓心又與刀位點(diǎn)(圖5 中M1點(diǎn))運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心同位于盤(pán)形銑刀的軸線上，且兩軌跡所在平面平行，進(jìn)而可以推算出刀位點(diǎn)坐標(biāo)。

圖5 刀具與工件空間位置關(guān)系

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們?cè)诘队|點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系S1=(01，x1，y1，z1)，坐標(biāo)原點(diǎn)o1與刀觸點(diǎn)重合。首先在該坐標(biāo)系下，求刀位點(diǎn)的坐標(biāo)，然后通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，求其在S(o，x，y，z)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，最后，再通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到機(jī)床坐標(biāo)系下。

2.1 銑削角的計(jì)算

求取在S1=(01，x1，y1，z1)坐標(biāo)下的刀位點(diǎn)坐標(biāo)之前，首先必須先求出銑削角β，它是刀位點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡半徑計(jì)算的關(guān)鍵。所謂的銑削角β，就是在銑削平面∑1內(nèi)，曲線Γ 在刀觸點(diǎn)的切向量與z1軸的夾角。

刀具切削平面Σ1在S1坐標(biāo)系下的法向量為:

根據(jù)式(1)可轉(zhuǎn)換到S 坐標(biāo)系下得:

設(shè)點(diǎn)M(x，y，z)為平面Σ1任意一點(diǎn)，由于M0(x0，y0，z0)在平面Σ1上一點(diǎn)，則向量M0M必與平面Σ1的法向量n 垂直，即它們的向量積為零:

則刀具切削平面Σ1的方程為:

聯(lián)立(3)、(4)，可得空間曲線Γ 的方程為:

(5)其參數(shù)方程形式為:

根據(jù)雅克比(Jacobi)公式［6］可得:

其中:

化簡(jiǎn)得:

z1軸在S1坐標(biāo)系下為:z1=(0，0，1)

根據(jù)式(1)可轉(zhuǎn)換到S 坐標(biāo)系下得:

2.2 刀位點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算

在S1坐標(biāo)系內(nèi)，刀觸點(diǎn)M 與刀位點(diǎn)M1存在偏置，其偏置量計(jì)算如下:

x1方向的偏置:

y1方向的偏置(參看圖5):

S1坐標(biāo)系內(nèi)，刀位點(diǎn)坐標(biāo)為:

式中:RD—刀觸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑;

r—刀尖半徑;R刀—盤(pán)刀半徑。

經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換即可求得刀位點(diǎn)的坐標(biāo)。

3 數(shù)學(xué)模型的求解

加工橢球面需要五個(gè)伺服變量，其中三個(gè)直線坐標(biāo)和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)。(x，y，z)為直線坐標(biāo)，盤(pán)形銑刀旋轉(zhuǎn)角θ 以及工件旋轉(zhuǎn)角α 為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)。為增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，降低加工維數(shù)，在銑削橢球面某一截面時(shí)，使z 坐標(biāo)為定值。建立盤(pán)形銑刀旋轉(zhuǎn)角度θ 與刀位點(diǎn)z 坐標(biāo)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

設(shè)在加工M0(x0，y0，z0)時(shí)，刀位點(diǎn)z 方向坐標(biāo)為c。根據(jù)式(1)可得方程:

將整理后的刀位點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(9)并整理可得:

為了求解未知量θ，我們令w=tanθ，定義函數(shù)f(w):

這里轉(zhuǎn)化成關(guān)于變量w 的函數(shù)，考慮到這里直接求方程的解析解存在著困難，可以借助搜索法進(jìn)行迭代，求解方程的近似解。

搜索法步驟如下:

步驟1:選定初始點(diǎn)w0和步長(zhǎng)h、計(jì)算精度ε，置k=0;

步驟2:比較函數(shù)值的大小。若f(wk)≤ε，轉(zhuǎn)步驟4，若f(wk)＞ε，轉(zhuǎn)步驟3;

步驟3:尋找下一點(diǎn)。令wk+1=wk+(k +1)h 計(jì)算f(wk+1)，若f(wk+1)≤ε，wk=wk+1，轉(zhuǎn)步驟4;若f(w0)＞ε，令k=k+1;轉(zhuǎn)回步驟3;

步驟4:x=wk。

按上述方法，求解出w，進(jìn)而求解出θ，至此，(x，y，z，α，θ)五個(gè)變量都已經(jīng)確定，那么機(jī)床的運(yùn)動(dòng)軌跡也就確定。

4 應(yīng)用實(shí)例

現(xiàn)在以螺桿鉆具172 型號(hào)用弧形齒萬(wàn)向軸為例，計(jì)算其包絡(luò)法加工坐標(biāo)。其尺寸參數(shù)為:齒數(shù)8個(gè)，a=b=11，c=25，R=39.5，r=1.2，R刀=145。

由于數(shù)據(jù)點(diǎn)過(guò)多，現(xiàn)任取其中的z0=8 截面的廓形數(shù)據(jù)，如表1 所示，代入式(8)、式(10)得到的刀位點(diǎn)M1的坐標(biāo)，見(jiàn)表2。利用UG 三維軟件進(jìn)行仿真的結(jié)果如圖6 所示。

表1 廓形數(shù)據(jù)點(diǎn)表

(續(xù)表)

表2 對(duì)應(yīng)刀位點(diǎn)

取z0=8 處的截面仿真廓形數(shù)據(jù)與理論廓形數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，其徑向誤差為:

圖6 仿真效果圖

表3 為其徑向誤差Δ 在各點(diǎn)處誤差值，其分布如圖7 所示。

表3 仿真廓形點(diǎn)以及徑向誤差

(續(xù)表)

圖7 徑向誤差Δ 分布圖

通過(guò)表3、圖7 可見(jiàn)，仿真出來(lái)的齒面廓形與理論廓形之間的最大徑向誤差不超過(guò)0.009mm，滿(mǎn)足加工工藝精度要求。但在點(diǎn)7－15 出現(xiàn)誤差變化大的原因，是主要由于加工這些點(diǎn)時(shí)盤(pán)形銑刀擺角角度變化大以及廓形計(jì)算時(shí)小數(shù)省略的原因造成。

5 結(jié)論

本文提出的基于空間包絡(luò)法加工萬(wàn)向軸外齒面的刀位點(diǎn)的計(jì)算方法，雖借鑒于螺桿成型方法，但又有自己的特點(diǎn):①加工時(shí)，盤(pán)刀中心、刀位點(diǎn)、工件中心不在一條直線上，避免刀具與已加工齒面產(chǎn)生徑向干涉;②B 伺服軸，旋轉(zhuǎn)角度不斷變化，以適應(yīng)空間包絡(luò)要求，避免產(chǎn)生軸向干涉。③通過(guò)UG 三維軟件進(jìn)行仿真可以發(fā)現(xiàn)，該刀具軌跡計(jì)算方法具有計(jì)算精度高，加工表面質(zhì)量好，刀具過(guò)程干涉小等優(yōu)點(diǎn)。

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