朱大林 唐 瑞 詹 騰 丁昌鵬

（三峽大學(xué)機械與材料學(xué)院，湖北宜昌 443002）

振動是影響精密機床加工精度的重要因素之一，在精密加工和測試中，環(huán)境及設(shè)備的振動對加工精度測試結(jié)果有很大的影響，不僅會引起機床本體的振動，而且更重要的是會引起切削刀具與被加工零件間的位置變化，被加工零件間的位置變化將直接反映到加工表面質(zhì)量上.因此必須設(shè)置性能優(yōu)異的隔振裝置，對基礎(chǔ)振動進行有效隔離，是提高精密機床加工精度和表面質(zhì)量的必要條件.對于精密機床這樣復(fù)雜的振動系統(tǒng)，為了便于分析問題，既要對其進行簡化又要能充分隔離基礎(chǔ)振動對精密加工精度的影響.目前，國內(nèi)大多采用以彈簧、阻尼作為隔振元件的隔振系統(tǒng)，在其振動及控制分析中往往簡化為單自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng).但在精密加工過程中，主軸箱和溜板均為移動部件，單自由度隔振模型不能從根本上解決其振動問題.本文試從四自由度隔振系統(tǒng)進行分析，建立系統(tǒng)的簡化模型，并采用PID 主動控制方法，對隨機地面輸入下的隔振系統(tǒng)的振動進行控制.

1 隔振系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 四自由度機床隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型

精密機床結(jié)構(gòu)如圖1所示，床身由被動隔振元件空氣彈簧和主動隔振元件電磁作動器支撐，這2個空氣彈簧兩邊內(nèi)部相連.

圖1 精密機床結(jié)構(gòu)示意圖

前人將其化簡為單自由度隔振模型［1］，如圖2所示，k、c分別為空氣彈簧的當(dāng)量剛度系數(shù)和粘性阻尼系數(shù)，u為作動器產(chǎn)生的主動力，X1和X01分別為機床振動位移和基地振動位移，該隔振系統(tǒng)能有效隔離一定頻率范圍的振動，但是在加工過程中精密機床的主軸箱和溜板均處于運動狀態(tài)，機床的質(zhì)心在不斷地變化，因此它只能表征機身質(zhì)心的垂直運動，而不能描述機床的側(cè)傾或俯仰運動.

圖2 單自由度隔振系統(tǒng)

莫凡芒等人考慮了偏心振動問題，將其簡化為二自由度機床隔振模型［2］，如圖3所示：k1、c1、k2、c2為兩端被動隔振設(shè)計的剛度和阻尼，u1、u2為前后作動器產(chǎn)生的主動力，O 為機床的質(zhì)心，m 為機床質(zhì)量，J為繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，機床兩端地基采用獨立的隔振設(shè)計以取得理想的隔振效果.

圖3 2自由度機床隔振模型

而在實際研究過程中，因不同的情況而采用不同的隔振模型，上述簡化模型也能夠反映隔振系統(tǒng)的主要性能，但它們都屬于單層隔振即在設(shè)備和支撐之間插入一層隔振器.該技術(shù)出現(xiàn)得很早，其結(jié)構(gòu)簡單，得到了廣泛的應(yīng)用，隔振效果一般在10～20dB 之間.缺點是：對于低頻振動設(shè)備的隔振所描述隔振系統(tǒng)的動力學(xué)效果并不太好.而雙層隔振即在設(shè)備和支撐基座之間插入兩層隔振器和一個中間質(zhì)量.在該系統(tǒng)中，當(dāng)激振頻率大于二次諧振頻率后，其傳遞率以1／ω4衰減，而單層隔振只能以1／ω2衰減，因此其隔振效果要優(yōu)于單層隔振，且具有較好的穩(wěn)定性［3］.因此采用四自由度的隔振模型不僅能表征機身質(zhì)心的垂直運動，而且能表征側(cè)傾或俯仰運動，而且結(jié)構(gòu)也不是太復(fù)雜，因而成為一種較為理想的隔振模型［4］.簡化后的模型如圖4所示.

圖4 四自由度隔振模型

圖中，m3為機身質(zhì)量；m1、m2為左右軸非懸掛質(zhì)量；k1、k3、c1、c3為左軸非懸掛質(zhì)量上、下層彈簧剛度和阻尼；k2、k4、c2、c4為右軸非懸掛質(zhì)量上、下層彈簧剛度和阻尼；Xr1、Xr2為左右軸懸掛處的垂向位移；X1、X2為m1、m2的垂向位移；X01為底座受到的地面垂向激勵；X3為機床質(zhì)心處的垂向位移；θ為機床俯仰角；J 為機身繞y 軸的轉(zhuǎn)動慣量；b、a為左右軸到機床質(zhì)心處的距離.其中Xr1＝X3－bsinθ，Xr2＝X3＋asinθ，因為θ一般非常小，所以sinθ≈θ.忽略機身彈性變形的情況下，根據(jù)牛頓第二定律，則該四自由度隔振系統(tǒng)運動微分方程可以寫為［5］：

1.2 隨機激勵模型

隨機激勵的模擬方法很多，這里采用白噪聲法，設(shè)地面隨機微分方程為：

式中，ω 為隨機激勵白噪聲；G 為激勵系數(shù).

1.3 Matlab／Simulink仿真模型

根據(jù)以上建立的隨機激勵模型和四自由度機床隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型，在Matlab／Simulink環(huán)境下建立系統(tǒng)模型［6］，如圖5所示.

2 PID控制器的設(shè)計

圖5 四自由度機床隔振系統(tǒng)仿真模型

PID 控制是早期發(fā)展起來的較為傳統(tǒng)的控制方法.由于它具有控制算法簡單、可靠性高和魯棒性好、靈活地整定參數(shù)且結(jié)構(gòu)簡單等特點，在機電、化工、機械等多種行業(yè)中應(yīng)用普遍.在實際工程應(yīng)用當(dāng)中，現(xiàn)代控制理論對于解決參數(shù)頻繁變化的系統(tǒng)、數(shù)學(xué)模型難以建立的控制系統(tǒng)問題往往達不到預(yù)期控制的效果，而采用PID 控制則可以方便靈活地調(diào)整參數(shù)，得到比較滿意的控制效果［7］.盡管現(xiàn)代控制理論已經(jīng)得到長足發(fā)展，多種控制方法應(yīng)運而生，但由于PID 控制有算法簡單、可靠性高等優(yōu)勢，應(yīng)用范圍依然十分廣泛.

2.1 PID控制概述

PID 控制方法是將系統(tǒng)實際輸出值與期望值的偏差e（t）作為控制偏差，并將控制偏差分為比例調(diào)節(jié)器、積分調(diào)節(jié)器與微分調(diào)節(jié)器，按照線性組合的方法構(gòu)成控制量來控制系統(tǒng)的對象，如圖6所示.

圖6 PID 控制原理圖

PID 控制律的數(shù)學(xué)表達式為：

其傳遞函數(shù)形式為：

式中，KP為比例系數(shù)；TI為積分時間常數(shù)；TD為微分時間常數(shù).

比例控制參數(shù)KP、積分控制參數(shù)TI和微分控制參數(shù)TD的大小對系統(tǒng)穩(wěn)定性和動態(tài)性能有著很大的影響.比例系數(shù)KP減小，系統(tǒng)的超調(diào)量也隨之減小，即穩(wěn)定裕度增大，致使過渡時間延長，降低了系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度.比例系數(shù)KP增大，響應(yīng)速度也隨之加快，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差隨之減小，從而有利于提高控制精度［8］.但是過大的KP會加快系統(tǒng)的開環(huán)增益，將會使系統(tǒng)穩(wěn)定性降低甚至產(chǎn)生激烈震蕩.按照設(shè)計經(jīng)驗和不同系統(tǒng)控制過程中各個不同階段對過程控制的要求，一般在過渡開始階段為了減小沖擊將KP置于比較小的范圍；在中期階段，慢慢增加KP，使響應(yīng)速度加快，減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；在控制后期，要調(diào)小KP的值以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定特性.

積分調(diào)節(jié)的作用在于使系統(tǒng)的抗干擾能力增強，消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差.增大TI即減小積分作用，有利于避免產(chǎn)生震蕩，減小超調(diào)量，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性，卻不利于系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差.而減小TI，也就是增大積分作用，雖然能夠減小靜態(tài)誤差，但過強的積分作用使超調(diào)量增大，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定而產(chǎn)生激烈震蕩.按照操作者的實踐經(jīng)驗，通?？刂葡到y(tǒng)在設(shè)計的開始階段，應(yīng)該選取較大的TI，這是因為系統(tǒng)開始容易產(chǎn)生飽和現(xiàn)象而產(chǎn)生比較大的超調(diào)，這時應(yīng)減小積分作用；在響應(yīng)的中期階段，應(yīng)增大積分作用，即取較小的TI值以減小系統(tǒng)誤差，提高調(diào)解精度.

微分調(diào)節(jié)能夠?qū)Ρ豢貙ο筇崆爸苿咏o出相應(yīng)的減速信號，起到改善系統(tǒng)動態(tài)特性的作用，相當(dāng)于其具有某種程度的預(yù)見性.如果減小TD，即減小微分作用，系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢，調(diào)節(jié)過程的減速就會滯后，從而增大了超調(diào)量，導(dǎo)致系統(tǒng)穩(wěn)定性變差.如果增大TD，即增加微分作用，能使超調(diào)量減小，系統(tǒng)響應(yīng)變快，穩(wěn)定性提高，可是過大的TD會提前使響應(yīng)過程發(fā)生制動，從而延長過渡時間，而且系統(tǒng)對于抑制外干擾的能力減弱；為了得到不同的系統(tǒng)性能，通常將積分控制、微分控制、比例控制三者結(jié)合起來使用.只有當(dāng)KP、TI、TD取合適的值時，系統(tǒng)才能有好的穩(wěn)定特性和動態(tài)性能，才能得到滿意的控制效果［9］.PID各參數(shù)的調(diào)節(jié)對性能指標(biāo)的影響見表1.

表1 PID參數(shù)調(diào)節(jié)對性能指標(biāo)的影響

2.2 主動隔振系統(tǒng)PID 控制器的實現(xiàn)

為了提高機床在加工過程中的穩(wěn)定性，本文選取機身垂直加速度¨x 作為PID 控制輸入量，建立按偏差控制的機床隔振系統(tǒng)主動PID 控制策略.采用PID控制時，對系統(tǒng)的控制效果起決定性作用的是KP、KI、KD3個參數(shù)，因此，尋找最優(yōu)的KP、KI、KD參數(shù)值使主動隔振系統(tǒng)達到預(yù)定要求.本文利用Matlab／Simulink仿真功能，采用湊試法對PID 參數(shù)進行整定.比例部分是主要調(diào)節(jié)，起主導(dǎo)作用，積分部分是輔助調(diào)節(jié)作用，微分部分是補償作用.湊試PID 參數(shù)時，依據(jù)系統(tǒng)控制過程中各參數(shù)的影響趨勢以及經(jīng)驗，采取先比例，后積分，再微分的步驟來調(diào)整參數(shù).PID 整定原則如下：

1）先調(diào)節(jié)比例參數(shù)KP值，將KI和KD設(shè)置為零.一邊將比例參數(shù)KP慢慢從小變大，一邊觀察控制系統(tǒng)的響應(yīng)，系統(tǒng)靜差是否小到允許的范圍之內(nèi)，是否出現(xiàn)超調(diào)量小、反應(yīng)快的響應(yīng)曲線.如果是，則只需要比例調(diào)節(jié)器就可滿足設(shè)計要求.

2）如果僅僅通過比例調(diào)節(jié)器不能獲得滿意的響應(yīng)曲線，那么就需要加入積分調(diào)節(jié)器.在當(dāng)前基礎(chǔ)上把比例系數(shù)KP以10%左右的縮小比略微減小，然后將積分系數(shù)KI從零開始逐漸加大，即減小積分作用.通過減小或者消除系統(tǒng)的靜差，就可以使得系統(tǒng)具有較好的動態(tài)性能.通過反復(fù)湊試調(diào)整比例系數(shù)和積分系數(shù)，觀察控制系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，以期獲得滿意的控制過程和整定參數(shù).

3）如果通過對比例調(diào)節(jié)器和積分調(diào)節(jié)器反復(fù)調(diào)整，還不能得到滿意的動態(tài)響應(yīng)曲線，則需要加入微分調(diào)節(jié)器.微分系數(shù)KD的整定方法同第2）步相似.在微幅改變比例系數(shù)KP和積分系數(shù)KI的基礎(chǔ)上逐步增大KD，以獲得滿意的響應(yīng)曲線.由于在實際系統(tǒng)中某些指標(biāo)是無法達到的，所以需要結(jié)合實際系統(tǒng).

將PID 控制器中參數(shù)的變化對系統(tǒng)輸出影響的規(guī)律進行總結(jié)，分別得到控制u1參數(shù)值KP＝60，KI＝500，KD＝0.08 和控制u2的參數(shù)值KP＝90，KI＝530，KD＝0.08.

3 仿真結(jié)果輸出與分析

通過建立的隔振系統(tǒng)動力學(xué)模型和控制器模型，在Matlab／Simulink軟件中建立隔振系統(tǒng)仿真模型，如圖7所示，對四自由度機床隔振系統(tǒng)進行計算機仿真.

圖7 主動隔振系統(tǒng)PID 控制仿真模型

考慮試驗臺的實際情況，設(shè)置機床隔振系統(tǒng)的仿真參數(shù)［10］見表2.經(jīng)過仿真，得到了控制前后主動隔振系統(tǒng)加速度、動撓度和動位移3組響應(yīng)曲線，如圖8～10所示.

表2 仿真參數(shù)表

每組響應(yīng)曲線分別由不加控制狀態(tài)響應(yīng)曲線和添加PID 控制響應(yīng)曲線組成，圖8 表明經(jīng)過PID 控制的主動隔振系統(tǒng)較被動隔振系統(tǒng)，能夠明顯降低系統(tǒng)加速度響應(yīng)，有效提高了主動隔振系統(tǒng)的隔振效果.從圖9可以看出，隔振系統(tǒng)動撓度峰值均在可用工作空間之內(nèi)，沒有撞擊限位塊.隔振系統(tǒng)底座動位移則影響平臺底座與路面的附著效果，與系統(tǒng)穩(wěn)定性有關(guān).

根據(jù)圖10所示，經(jīng)過PID 控制之后的主動隔振系統(tǒng)動位移峰值有所降低，使得隔振系統(tǒng)較之前穩(wěn)定性有所提高.通過圖8～10可知，添加PID 控制的主動隔振系統(tǒng)比被動隔振平臺的隔振效果更明顯.在使隔振系統(tǒng)動撓度和動位移降低的同時，降低了對于影響精密加工質(zhì)量最重要的指標(biāo)加速度的響應(yīng)，有效提高了機床主動隔振系統(tǒng)的隔振效果.

4 結(jié) 語

以機床的振動為例，選擇了四自由度的隔振模型，并建立了四自由度隔振模型的動力學(xué)方程，根據(jù)隔振系統(tǒng)的動力學(xué)模型和隨機輸入模型，采用了PID主動控制方法，并用Simulink 重點仿真了該模型在隨機信號輸入下幾個重要參考量的行為特性.仿真表明：具有PID 控制器的主動控制系統(tǒng)在隔離振動方面效果明顯優(yōu)于被動隔振系統(tǒng)，為今后對該模型實施其他主動控制方法打下基礎(chǔ)，但是PID 控制是較傳統(tǒng)的一種方法，還有待探究適應(yīng)性更好、更精確的主動控制方法.

［1］ 蓋玉先，董 申，李 旦，等.超精密機床的振動混合控制［J］.中國機械工程，2000，11（3）：288－291.

［2］ 莫凡芒，孫慶鴻，陳 南，等.精密機床半主動隔振系統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化［J］.制造技術(shù)與機床，2005，17（2）：40－42.

［3］ 陳定中.舷側(cè)陣聲納安裝平臺隔振系統(tǒng)振動控制技術(shù)研究［D］.杭州：浙江大學(xué)機械與能源工程學(xué)院，2005.

［4］ CROLLADAVE，喻 凡.車輛動力學(xué)及其控制［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2009.

［5］ 牛軍川，孫玲玲，張蔚波，等.隨機路面激勵輸入下四自由度懸架的特性研究［J］.中國公路學(xué)報，2003，16（4）：106－110.

［6］ 楊永柏.汽車主動懸架控制策略與仿真研究［D］.長沙：中南林學(xué)院，2003.

［7］ 符永法.幾種新型PID 調(diào)節(jié)器參數(shù)的整定法［J］.化工自動化及儀表，1997，24（1）：25－26.

［8］ 王正林，王勝開.MATLAB／Simulink 與控制系統(tǒng)仿真［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2008.

［9］ 劉金琨.先進PID 控制及其MATLAB 仿真［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2003.

［10］張建卓，李 旦，董 申.超精密機床三自由度振動主動控制模型與仿真［J］.航空精密制造技術(shù)，2002，38（6）：4－7.