重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：以空間幾何體為載體的空間異面直線所成角、直線與平面所成角的計(jì)算以及二面角的計(jì)算.

難點(diǎn)：用空間向量法求異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角時(shí)，兩向量夾角與空間角之間的關(guān)系.

方法突破

對(duì)空間角的求解，應(yīng)當(dāng)破解畫圖、讀圖、識(shí)圖、用圖的層層關(guān)口，提升解題思維中的空間想象能力和邏輯推理論證的能力. 常見類型與方法如下.

1. 求異面直線所成角的方法

方法二：幾何法. 用幾何法求兩條異面直線所成角的步驟為：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條直線，平移另一條直線，或?qū)蓷l直線同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置；②證明找到（或作出）的角即為所求角；③通過解三角形來求角.

2. 求直線與平面所成角的方法

方法二：幾何法. 用幾何法求直線l與平面α所成角的步驟為：①找出直線l在平面α上的射影；②證明所找的角就是所求的角；③把這個(gè)平面角置于一個(gè)三角形中，通過解三角形來求角.

3. 求二面角的方法

方法二：幾何法. 用幾何法求二面角α-l-β的平面角θ的步驟為：①找出二面角的平面角（以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角）；②證明所找的角就是要求的角；③把這個(gè)平面角置于一個(gè)三角形中，通過解三角形來求角. 求二面角的平面角的口訣：點(diǎn)在棱上，邊在面內(nèi)，垂直于棱，大小確定.

典例精講

考點(diǎn)1 異面直線所成角

（2013年福州選修2-1模塊質(zhì)檢）如圖1，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為60°，求BD1與AC夾角的余弦值.

考點(diǎn)2 直線和平面所成角

思索 求出平面ECF的法向量，再利用線面所成角的公式，即可求其正弦值.

（2013年天津高考（節(jié)選））如圖4，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)，求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.

思索 先找直線BC在平面A1CD上的射影，可過點(diǎn)B作BG⊥A1D交直線A1D于G，證明BG⊥平面A1CD，從而可證明∠BCG為直線BC與平面A1CD所成的角. 在△BGC中，求出sin∠BCG的值.

破解 如圖5，在平面A1ABB1內(nèi)，過點(diǎn)B作BG⊥A1D交直線A1D于G，連結(jié)CG.易知平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直線A1D是平面A1CD與平面A1ABB1的交線，故BG⊥平面A1CD. 由此得∠BCG為直考點(diǎn)3 二面角

某幾何體ABC-A1B1C1的三視圖和直觀圖如圖6所示，求二面角C1-AB1-C的余弦值.