若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖1所示，則此幾何體的體積是__________cm3.

解析 本題主要考查對三視圖所表達(dá)的空間幾何體的識別以及幾何體體積的計(jì)算，屬于容易題；值得注意的是出錯(cuò)的考生往往對計(jì)算不仔細(xì)以及對幾何體識別有誤，易得體積為144 cm3.

點(diǎn)評 三視圖是新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材的新增內(nèi)容，對空間想象能力要求較高，從這一點(diǎn)看，新教材與老教材對學(xué)習(xí)立體幾何的主要目標(biāo)是不變的. 不過新教材的編排順序與老教材正好相反，它是先安排柱體、錐體、臺體、球體等內(nèi)容，然后再學(xué)習(xí)空間中的線線、線面位置關(guān)系.從本題我們可以深刻地感受到：一旦將一個(gè)復(fù)雜的、抽象的問題落實(shí)到具體的、熟悉的圖形中，將會變得非常簡單. 由三視圖想象出幾何體的直觀圖，考查最基本的空間想象能力，是學(xué)習(xí)三視圖的基本要求.

如圖2，半徑為R的球O的直徑AB垂直于平面α，垂足為B，△BCD是平面α內(nèi)邊長為R的正三角形，線段AC，AD分別與球面交于點(diǎn)M，N，那么M，N兩點(diǎn)間的球面距離是（ ）

點(diǎn)評 本題利用球體與三棱錐的關(guān)系求解. 球面距離的核心問題是解決球心角，通過轉(zhuǎn)移到對三棱錐中三角形的分析來解決.正因?yàn)槿绱?，近兩年的高考中?jīng)常出現(xiàn)球體與特殊多面體的切接問題. 這類問題多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，具有一定的創(chuàng)新性. 補(bǔ)形法、構(gòu)造法常常能幫助我們速戰(zhàn)速決.

（1）證明：MN∥平面ABCD.

（2）過點(diǎn)A作AQ⊥PC于Q，垂足為Q，求二面角Q-MN-A的平面角的余弦值.

解析 （1）連結(jié)BD，AC相交于點(diǎn)O，由于M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，所以MN∥BD，而BD？哿平面ABCD，MN？埭平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.

點(diǎn)評 用傳統(tǒng)方法解決立體幾何問題的關(guān)鍵是自然地畫出輔助線，對于本題須作出二面角Q-MN-A的平面角. 許多考生由于對于如何作二面角的平面角的“基本套路”不是很熟悉，所以覺得無從入手；有的考生雖然能比較順利地作出二面角的平面角，但在計(jì)算平面角的大小時(shí)沒有把立體幾何問題化歸為平面幾何問題的意識，或解三角形的功底不是很好，最后結(jié)果還是“千呼萬喚不出來”. 有許多考生選擇用空間向量的方法解決，由于沒有注意到圖形的對稱性，建立的空間直角坐標(biāo)系不是很合理（如以AD，AP所在的直線為其中的兩條坐標(biāo)軸），最后陷入繁雜的運(yùn)算而不能自拔.

（1）求二面角B-AF-D的大??；

（2）求四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD公共部分的體積.

（2）連結(jié)EB，EC，ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點(diǎn)H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD. 過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足. 因?yàn)镋A⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，所以平面ACFE⊥平面ABCD，從而P∈AC，HP⊥AC.

點(diǎn)評 本題主要考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，二面角及其計(jì)算，以及空間幾何體的體積計(jì)算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力及利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力. 第（2）問形式新穎，求兩個(gè)幾何體公共部分的體積在高考中出現(xiàn)不多，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)AE與CF平行，找到兩個(gè)幾何體的公共點(diǎn)H. 空間中線線、線面、面面關(guān)系是立體幾何的核心內(nèi)容，其中又以線面的平行與面面的垂直問題為重點(diǎn). 要熟練掌握線面平行的判定定理和面面垂直的判定定理. 不難看出，作為一道解答題考查的仍然是立體幾何最基本、最重要的知識.

如圖5，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（ ）

A. 圓

B. 橢圓

C. 一條直線

D. 兩條平行直線

解析 根據(jù)條件使得△ABP的面積為定值，由于AB是一定的線段，所以只需滿足點(diǎn)P到直線AB的距離為定值即可. 易知本題答案為B. （若AB垂直α，則P的軌跡為圓）

點(diǎn)評 本題立意新穎，構(gòu)思別出心裁，對空間想象力和抽象思維能力的考查達(dá)到了較高要求，耐人尋味. 考查在空間中與點(diǎn)距離相等的軌跡為球，與線距離相等的軌跡為圓柱等模型，考查被平面所截的截面軌跡問題. 若遇到與定直線所成的角為定值，則可聯(lián)系圓錐進(jìn)行思考. 因此解決本題的關(guān)鍵是在立體幾何中如何構(gòu)造一個(gè)合理的幾何圖形.

（1）求二面角A′-FD-C的余弦值；

（2）點(diǎn)M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長.

解析 （1）如圖7，取線段EF的中點(diǎn)H，AF的中點(diǎn)G，連結(jié)A′G，A′H，GH.因?yàn)锳′E=A′F及H是EF的中點(diǎn)，所以A′H⊥EF.

又因?yàn)槠矫鍭′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF，又AF？奐平面BEF，故A′H⊥AF.

又因?yàn)镚，H是AF，EF的中點(diǎn)，易知GH∥AB，所以GH⊥AF.

于是AF⊥平面A′GH，所以∠A′GH為二面角A′-DF-C的平面角.

點(diǎn)評 本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角的基礎(chǔ)知識，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力. 本題將平面圖形通過折疊變成立體圖形，讓靜止問題動(dòng)態(tài)化，使得對立體幾何的考查顯得更加豐富多彩. 解決此類問題的關(guān)鍵是：對折疊前后兩個(gè)圖形進(jìn)行觀察，弄清折疊前后，哪些位置關(guān)系與度量關(guān)系沒有變化，哪些位置關(guān)系與度量關(guān)系有變化. 復(fù)習(xí)中要注重從多角度、多層次、多側(cè)面思考與探究，溝通相關(guān)知識與方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，訓(xùn)練發(fā)散思維能力.

考察正方體6個(gè)面的中心，甲從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，乙也從這6個(gè)點(diǎn)中任意選兩個(gè)點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互平行但不重合的概率等于（ ）

點(diǎn)評 解本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)正方體6個(gè)面中心的特征，即正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，再利用正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)的性質(zhì)和古典概型求概率，即可獲得結(jié)論. 立體幾何與概率的交匯，是近兩年高考對立體幾何考查的一種新題型，并常常放在高考卷中選擇題和填空題靠后的位置，內(nèi)容新、背景新，有一定的難度.

如圖9，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面△ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是________.

解析 （方法一：函數(shù)思想）設(shè)EF=x（0

點(diǎn)評 本題是2009年浙江省高考理科數(shù)學(xué)卷填空壓軸題，若考生能抓住此類問題通常以建立函數(shù)關(guān)系為主線，則可以對問題分析多一份理性的思考；此外，若考生能首先從兩個(gè)極端入手，做到處變不驚，則利用極限思想能更優(yōu)美地解決問題.如今的立體幾何考題已逐漸擺脫單一的局勢，逐漸向多樣化、多角度發(fā)展，考查綜合運(yùn)用知識的能力. 復(fù)習(xí)中要注重從多角度、多層次、多側(cè)面思考與探究，溝通相關(guān)知識與方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，訓(xùn)練發(fā)散思維能力.

大家知道：在平面幾何中，△ABC的三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心，并且重心分中線之比為2∶1（從頂點(diǎn)到中點(diǎn)）.

據(jù)此，我們拓展到空間：把空間四面體的頂點(diǎn)與對面三角形的重心的連線叫空間四面體的中軸線，則四條中軸線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫此四面體的重心. 類比上述命題，請寫出四面體重心的一條性質(zhì)，并說明理由.

解析 四面體重心的一條性質(zhì)：空間四面體的重心分頂點(diǎn)與對面三角形的重心的連線之比為3∶1（從頂點(diǎn)到對面三角形的重心）.

事實(shí)上，如圖10，AE，BP為四面體的中軸線，P，E分別為△ACD，△BCD的重心，連結(jié)PE.

因?yàn)锳P∶PF=2∶1，BE∶EF=2∶1，所以AP ∶PF=BE∶EF，PE∥AB. 因?yàn)锳G∶GE=BG∶GP=AB∶PE=3∶1.

點(diǎn)評 本題將三角形的中線與重心分別類比空間四面體的中軸線和重心得到結(jié)論. 將“平面圖形的性質(zhì)類比到空間，探求相應(yīng)的空間圖形是否也有此類似的性質(zhì)”，屬于立體幾何開放題. 這種開放題往往以平面圖形的性質(zhì)及其證法為基礎(chǔ)，融探索、猜想、證明于一體，能有效考查空間想象能力、類比聯(lián)想能力、合情推理能力以及創(chuàng)新能力，在近幾年的高考中常常以創(chuàng)新題的面貌出現(xiàn)，復(fù)習(xí)中不容忽視.

綜上，立體幾何試題分值約占全卷總分值的14%左右，線線、線面、面面位置關(guān)系問題分值占全試卷總分值的10%左右，一般是一道客觀題、一道主觀題，多為中等難度.

命題熱點(diǎn)主要有：

（1）線線、線面、面面的位置關(guān)系，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).

（2）角的計(jì)算，異面直線所成的角、線面角、二面角都是考查重點(diǎn)，解決辦法往往轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角.

（3）距離的計(jì)算，多為點(diǎn)點(diǎn)距離與點(diǎn)面距離，以點(diǎn)面距離為多，也要注意球面距離.

（4）邏輯思維能力，解答題中的“先證后算”最為突出，應(yīng)注重環(huán)節(jié)嚴(yán)謹(jǐn)，條理清晰.

（5）傳統(tǒng)法與向量法的選擇能力. 一般說來，輔助圖形少，易于轉(zhuǎn)化為平面問題的，往往可考慮采用傳統(tǒng)法解決. 將問題設(shè)置為動(dòng)態(tài)探究型是一種方向，值得關(guān)注.

由上我們可以看到，盡管高考立體幾何試題總體難度有所下降，但由于新課標(biāo)教材體系、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容的變化和高考能力立意思想的加強(qiáng)，使新課標(biāo)高考和大綱版高考中立體幾何問題的題型、內(nèi)容、背景、設(shè)置方式以及解題方法都有較大的變化，與相關(guān)知識交匯的力度也在不斷加大，立體幾何問題在選擇題或填空題中的位置逐漸后移，并常常作為選擇題或填空題的壓軸題，以創(chuàng)新題的形式出現(xiàn)在試卷之中. 因此，我們在切實(shí)掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的基礎(chǔ)上，還要重視動(dòng)手操作能力的訓(xùn)練和對新題型的探究，在高考中以不變應(yīng)萬變.