在立體幾何的教學過程中，有學生曾問過筆者一道題目：

已知三棱錐P-ABC，其中PA=4，PB=PC=2，∠APB=∠APC=∠BPC=60°，求三棱錐P-ABC的體積.

當時，筆者給他的解答過程是這樣的（如圖1）：

作BC的中點D，連結(jié)PD，AD，則PB=PC，D是中點，PD⊥BC. 同理，AD⊥BC，？搖？搖所以BC⊥平面PAD. 又因為BC？奐平面ABC，所以平面PAD⊥平面ABC. 所以△PAD中AD邊上的高PH也是三延長PB，PC分別到點E與點F，使BE=CF=2，這樣PA=PE=PF=4. 又由題設(shè)∠APB=∠APC=∠BPC=60°，則△PAE，△PAF，△PEF，△AEF都是正三角形. 因此，三棱錐P-AEF是正四面體，顯然正四面體的體積是相對容易求的. 再觀察三棱錐P-ABC和P-AEF，其實它們就是以A為頂點，△PBC，△PEF為底面的兩個三棱錐，兩者的體積比就是底面三角形的面積比，而△PBC和題目解答完后，筆者注意到了正四面體模型在這道題中所起的作用. 由于課堂中對正四面體模型教學的“缺失”，導致同學們對正四面體模型的認識不夠，更加無法談?wù)莆占办`活運用. 所以，筆者認為，如果能熟練地掌握正四面體模型的相關(guān)性質(zhì)，并加以“巧用”“妙用”，肯定會有意想不到的效果.

下面筆者談一談“正四面體模型”對解題的二次思考.

正四面體的性質(zhì)

性質(zhì)2 正四面體內(nèi)接于一正方體，且它們內(nèi)接于同一個球，球的直徑等于正方體的對角線.

利用正四面體的性質(zhì)

一、利用性質(zhì)1，簡化解題過程，避免無效的重復計算

例1 在棱長都相等的四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點，連結(jié)AF，CE.

（1）求異面直線AF與CE所成的角的余弦值；

（2）求CE與平面BCD所成的角的正弦值.

解析 （1）連結(jié)FD，在平面AFD內(nèi)，過E作EG∥AF交FD于G，則∠CEG 是異面直線AF與CE所成的角（或是其補角），如圖3所示.

（2）在平面AFD內(nèi)，易證平面AFD⊥平面BCD，過E作EH⊥FD，連結(jié)CH，則∠ECH為CE與平面BCD所成的角.

點評 在已知此四面體為正四面體時，有效地使用正四面體中性質(zhì)1進行簡化運算，能避免不必要的計算錯誤和重復運算. 例如第2小問中求解EH的長度，如果不用正四面體中的高，那計算必然煩瑣. 所以，在平時的復習過程中加強對正四面體模型的認識是有必要的，當掌握正四面體中高的值、角的大小等結(jié)論后，我們可以大大提高解題效率，做到事半功倍. 特別是在選擇題、填空題中.

二、利用性質(zhì)2，使問題的解決別具一格、簡潔流暢

例2 一個球與正四面體的6條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積為_____________.

解析 如圖4所示，將正四面體補成正方體，由性質(zhì)2可知正四面體的棱切球，即此球為正方體的內(nèi)切球.

點評 該題的參考答案較復雜，上述解法把正四面體補成正方體，然后再利用正四面體的棱切球半徑等于正方體的內(nèi)切球半徑解決，就會有意想不到的解題功效. 對幾何體的多角度認識，往往能將問題的解決途徑多元化.

三、構(gòu)建正四面體模型，使解題角度更新穎

點評 此題很好地將“正四面體與球”以及“正四面體與正方體”之間的相容關(guān)系展現(xiàn)在我們面前.

思 考

著名數(shù)學教育家波利亞指出：“中學數(shù)學教學的首要任務(wù)就是加強解題訓練.”在前面闡述的“正四面體模型”對解立體幾何題所帶來的思路之新穎、運算之便捷、圖形之直觀，使筆者感觸頗多. 于是，筆者認為在高中數(shù)學的學習中可以通過解題訓練來培養(yǎng)解題能力.

1. 培養(yǎng)認真審題的好習慣

仔細、認真地審題，提高審題能力是解題的首要前提. 復習中要養(yǎng)成仔細、認真的審題習慣，通讀題，對題目中的條件（特別是發(fā)現(xiàn)題目中隱含條件）、問題及有關(guān)的情況，進行整體認識，充分理解題意，把握本質(zhì)和聯(lián)系，理清正確的解題思路.

2. 運用數(shù)學思想方法解題

由于高中數(shù)學中“數(shù)”與“形”無處不在，所以采用數(shù)形結(jié)合的思想可使問題明朗化，不但直觀，而且全面、整體性強，能比較容易地找到問題的關(guān)鍵，對解題大有益處. 解數(shù)學題最根本的途徑是“化難為易，化繁為簡，化未知為已知”，所以轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想也是高中數(shù)學解題中的常用數(shù)學思想方法.

3. 解完題后的反思訓練

養(yǎng)成解題后反思的習慣，務(wù)必做到：（1）檢驗求解結(jié)果. 主要是核查結(jié)果是否正確無誤，推理是否有理有據(jù)，解答是否詳盡無漏. （2）討論解法. 主要是尋求其他不同解法或改進解法，分析解法特征關(guān)鍵和主要思維過程；尋找規(guī)律，多題一解等. 這將有利于開拓思維、積累經(jīng)驗，整理方法；有助于增強思維的靈活性和發(fā)展提高解題能力.