摘要： 根據(jù)教學(xué)大綱要求和當(dāng)前職業(yè)教育改革的先進(jìn)理念，在“微分中值定理”一課中運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)法，利用圖形直觀降低理論難度，通過典型例題的分析講解和一定數(shù)量的練習(xí)，精講多練，突出重點(diǎn)，重視知識(shí)的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞： 微分中值定理 教學(xué)設(shè)計(jì) 啟發(fā)式教學(xué) 講練結(jié)合

一、課程設(shè)置分析

（一）課程的地位

《應(yīng)用數(shù)學(xué)》是我院機(jī)電工程系、信息技術(shù)系、車輛工程系、電子電氣系各專業(yè)的一門必修公共課，是學(xué)生提高文化素質(zhì)和學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)知識(shí)、專門技術(shù)及獲取新知識(shí)能力的重要基礎(chǔ).主要講授極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用等一元函數(shù)微積分的內(nèi)容.要注意引導(dǎo)學(xué)生在其他課程和實(shí)踐中使用數(shù)學(xué)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，逐步形成數(shù)學(xué)意識(shí)，提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力.

（二）本次課的地位

本課教學(xué)內(nèi)容是微分中值定理和函數(shù)的單調(diào)性，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本內(nèi)容.微分中值定理是獲得可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判定方法的理論基礎(chǔ).單調(diào)函數(shù)在《應(yīng)用數(shù)學(xué)》課程中占有重要的地位，函數(shù)單調(diào)性的討論是解決諸如“用料最省”“產(chǎn)值最高”“質(zhì)量最好”“耗時(shí)最少”等最值問題的重要方法.

（三）教學(xué)設(shè)計(jì)理念與思路

學(xué)院以突出職業(yè)能力培養(yǎng)為導(dǎo)向，在加強(qiáng)實(shí)踐性教學(xué)、壓縮基礎(chǔ)課教學(xué)的實(shí)踐中做了大膽的嘗試，各專業(yè)新的培養(yǎng)方案要求在高職數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，把培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)作為教學(xué)過程的主線，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、素質(zhì)得到協(xié)調(diào)發(fā)展.根據(jù)教學(xué)大綱要求和當(dāng)前職業(yè)教育改革的先進(jìn)理念，課運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)，精講多練，突出重點(diǎn)，通過圖形直觀降低理論難度，重視知識(shí)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)分析

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.掌握函數(shù)極值的概念.

2.了解羅爾定理、拉格朗日中值定理，能運(yùn)用.

3.掌握函數(shù)單調(diào)性的判定方法，能熟練運(yùn)用.

（二）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判定.

難點(diǎn)：拉格朗日中值定理的理解與運(yùn)用.

（三）教學(xué)方法

根據(jù)教學(xué)大綱要求和當(dāng)前職業(yè)教育改革的先進(jìn)理念，本次課運(yùn)用啟發(fā)式教學(xué)，利用圖形直觀直接得出微分中值定理（拉格朗日中值定理），通過典型例題的分析講解和一定數(shù)量的練習(xí)，精講多練，突出重點(diǎn)，重視知識(shí)的運(yùn)用.

（四）教學(xué)設(shè)計(jì)

[板書設(shè)計(jì)]整個(gè)黑板分左中右三大欄，左欄用來書寫新課知識(shí)要點(diǎn)，如拉格朗日中值定理及其兩個(gè)推論、函數(shù)的極值及極值點(diǎn)概念、極值點(diǎn)的必要條件、單調(diào)性判斷定理等；中欄右欄用來書寫即寫即擦的內(nèi)容，如例題示范和課堂練習(xí)講評(píng)等.

以下是教學(xué)過程.

[新課引入]通過前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了導(dǎo)數(shù)，它描述函數(shù)隨自變量而變化的瞬時(shí)變化率.我們現(xiàn)在已經(jīng)能夠熟練地計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)了.本章我們開始學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

[新課講授]§3.1微分中值定理

定理（拉格朗日中值定理）：如果函數(shù)y=f（x）滿足下列兩個(gè)條件：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)使得或.

推論：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)滿足f′（x）≡0，則在（a，b）內(nèi)（c為常數(shù)）.

推論：如果對(duì)（a，b）內(nèi)任意x，均有f′（x）=g′（x），則在（a，b）內(nèi)f（x）與g（x）之間相差一個(gè)常數(shù)，即（c為常數(shù)）.

[課堂練習(xí)]驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù)y=4x-5x+x-2在[0，1]上的正確性.

[新課講授]§3.2函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的極值：極大值與極小值的統(tǒng)稱.

極值點(diǎn)：使函數(shù)f（x）取得極值的點(diǎn)x稱為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn).

注意：函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上可能有幾個(gè)極大值和幾個(gè)極小值，其中有的極大值可能比極小值??；函數(shù)的極值概念是局部性的，它們與最大值、最小值不同.

定理（極值點(diǎn)的必要條件）：設(shè)函數(shù)f（x）在x處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x處取得極值，那么.

可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).如：在x=0處.

對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)，極值點(diǎn)還可能是尖點(diǎn)（使導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）.如：在x=0處.

定理（單調(diào)性判斷定理）：設(shè)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么

①若在（a，b）內(nèi)f′（x）>0，則函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)增加；

②若在（a，b）內(nèi)f′（x）<0，則函數(shù)f（x）在[a，b]上單調(diào)減少.

例：求出函數(shù)f（x）=x-lnx的單調(diào)區(qū)間.

答案：f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），單調(diào)增區(qū)間有（-1，0）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間有（-∞，-1）和（0，1）.

例：試證當(dāng)x≠1時(shí)，e>ex.

思路：令可證f（x）在（-∞，1]上嚴(yán)格單調(diào)減少，在[1，+∞）上嚴(yán)格單調(diào)增加.故對(duì)任意x≠1，有即e>ex.

[課堂練習(xí)]

1.證明當(dāng)x>0時(shí).

提示：令，則在[0，+∞）上單調(diào)增加，所以，當(dāng)x>0時(shí)，有即即這時(shí).

2.求函數(shù)的單調(diào)性與極值.

答案：函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞）.減區(qū)間為（-∞，3），增區(qū)間為（3，+∞），極小值y（3）=-.

[課堂練習(xí)及講評(píng)]（略）

[本課小結(jié)]

1.中值定理.

2.函數(shù)的極值和極值點(diǎn)概念.

3.函數(shù)單調(diào)性的判定和運(yùn)用.

參考文獻(xiàn)：

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