摘 要：氫原子是最簡單的原子，在量子力學(xué)建立過程中有著特殊地位，有必要對其進(jìn)行詳細(xì)的求解。該論文用量子力學(xué)理論，通過求解氫原子在庫倫勢場中的定態(tài)薛定諤方程，得到氫原子的能量及能量本征函數(shù)。

關(guān)鍵詞：量子力學(xué) 氫原子 能量 本征函數(shù)

中圖分類號：O413.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）06（a）-0193-01

從17世紀(jì)牛頓力學(xué)出現(xiàn)以后，直到19世紀(jì)，電動力學(xué)，熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)力學(xué)也陸續(xù)被建立，從而形成了一個(gè)完整的經(jīng)典物理學(xué)體系。可是，在解決黑體輻射、光電效應(yīng)等實(shí)驗(yàn)時(shí)，經(jīng)典物理學(xué)遇到了空前的挑戰(zhàn)，需建立全新的理論來解決面臨的困難。1900年，普朗克假說在黑體輻射上有新的突破，1905年，愛因斯坦用量子化解釋了光電效應(yīng)，1913年，玻爾建立“玻爾理論”。但玻爾理論具有一定的局限性，十年之后，量子力學(xué)體系逐步建立起來，才完全解釋了原子問題。而氫原子是最簡單的原子。因此，有必要用量子力學(xué)的方法對其進(jìn)行嚴(yán)格的求解。

1 理論計(jì)算

氫原子是最簡單的原子，它是由一個(gè)電荷為的原子核與一個(gè)電荷為的電子構(gòu)成的。如果取無窮遠(yuǎn)為勢能的零點(diǎn)，則質(zhì)子與電子的庫侖勢能為V（r）=。則根據(jù)定態(tài)薛定諤方程可求出氫原子的能量及能量本征函。在以下的計(jì)算中，采用自然單位。為方便，給出氫原子的自然單位：長度的自然單位：，能量的自然單位：。氫原子的約化質(zhì)量為，質(zhì)子與電子的庫侖勢能為V（r）=。考慮到V（r）的球?qū)ΨQ性，我們采用球極坐標(biāo)系。而因?yàn)閇]=0，所以角動量是守恒的，在球極坐標(biāo)系下，薛定諤方程可表示為：

[]=E （1）

由于的各分量是守恒的，而各分量不對易，則根據(jù)簡并定理可知能級有簡并。是守恒量，且與的每一個(gè)分量都對易，因此體系的守恒量完全集可以方便的選為（），方程（1）的解同時(shí)選為的本征態(tài)，即：

…… （2）

代入式（1），可得出徑向波函數(shù)滿足方程：

=0 （3）

和滿足方程：而為的本征值，待定。

對于式（3），若令，則在自然單位下滿足：

（4）

r=0，是微分方程的兩個(gè)奇點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，在任何體積元中找到粒子的概率都應(yīng)為有限值。因此，求解徑向方程（3）時(shí)，只有漸進(jìn)行為是∝的解才是物理上可接受的解。

當(dāng)r時(shí)，我們只限于討論束縛態(tài)（E﹤0），則方程（4）可化為：

（5）

該方程屬合流超幾何方程。方程（5）在鄰域有界的解為合流超幾何函數(shù)：（6）

當(dāng)時(shí)，無窮級數(shù)解～不滿足在無窮遠(yuǎn)處的束縛態(tài)邊條件。為了得到物理上允許的解，只要等于0或負(fù)整數(shù)，可以滿足這一條件。按式（6）并將其添上能量的自然單位，得出氫原子的能量本征值：（…），其中：。與相應(yīng)的徑向波函數(shù)可表示為：～其中（添上長度的自然單位），歸一化的徑向函數(shù)為：，

（7）

對于式（4），在球坐標(biāo)系下，可表示成：

（8）

將式（7），（8）代入方程（4），并成為勒讓德方程得：

（9）

在-1≤≤1的區(qū)域內(nèi)，有兩個(gè)正則奇點(diǎn)，其余各點(diǎn)均為常數(shù)。由此可知，只當(dāng)（…）時(shí)，方程就有一個(gè)多項(xiàng)式解，即勒讓德多項(xiàng)式：（≤m≤），它在-1≤≤1區(qū)域中是有界的，利用正交歸一性公式，可以定義一個(gè)歸一化的部分的波函數(shù)（實(shí)）：（）。滿足。這樣，（10）

由此可得，氫原子的束縛能量本征函數(shù)為：其中為式（8），為式（11）。

2 結(jié)語

本文運(yùn)用量子理論，求解了氫原子在庫倫勢場中的定態(tài)薛定諤方程，得到了氫原子的能量及能量本征函數(shù)：

（1）氫原子的能量為：，其中：…（主量子數(shù)）；（2）能量本征函數(shù)為，其中：，。

參考文獻(xiàn)

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