立體幾何，綜合性較強(qiáng).證明分為直接證明與間接證明，其中數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)加試部分的內(nèi)容，主要解決與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明.推理與證明問題對學(xué)生的知識與能力要求較高，是對學(xué)生邏輯推理能力和表述能力的全面考查，能提高區(qū)分度，增強(qiáng)高考數(shù)學(xué)的選拔功能，因此在最近幾年的高考試題中，推理與證明問題正成為一個(gè)熱點(diǎn)題型.推理與證明的考查熱點(diǎn)有：

一、歸納推理

例1（2013湖北理科15）給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：

由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰著色方案共有種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

解析：設(shè)n個(gè)正方形時(shí)黑色正方形互不相鄰的著色方案數(shù)為an，由圖可知，

a1=2，a2=3，

a3=5=2+3=a1+a2，

a4=8=3+5=a2+a3，

由此推斷a5=a3+a4=5+8=13，a6=a4+a5=8+13=21，故黑色正方形互不相鄰著色方案共有21種.

點(diǎn)評：本題考查的是歸納推理.歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性結(jié)論的推理，是從部分到整體，由個(gè)別到一般的推理.本題由題設(shè)中給出的圖形，歸納發(fā)現(xiàn)從第三項(xiàng)起后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和，找到規(guī)律繼而得出結(jié)論.

例2（2013陜西理13）觀察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此規(guī)律，第n個(gè)等式為.

解析：把已知等式與行數(shù)對應(yīng)起來，則每一個(gè)等式左邊式子的第一個(gè)數(shù)等于行數(shù)n，相加的數(shù)的個(gè)數(shù)是2n-1；等式右邊都是完全平方數(shù).

所以n+（n+1）+…+[n+（2n-1）-1]=（2n-1）2，

即n+（n+1）+…+（3n-2）=（2n-1）2.

點(diǎn)評：本題通過觀察等號左邊式子的變化規(guī)律和右邊結(jié)果的特點(diǎn)，然后歸納出一般結(jié)論.行數(shù)、項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

二、類比推理

例3在平面幾何里，有“若△ABC的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積為S△ABC=12（a+b+c）r”，拓展到空間，類比上述結(jié)論，“若四面體ABCD的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，則四面體的體積為”.

解析：三角形的面積類比為四面體的體積，三角形的邊長類比為四面體四個(gè)面的面積，內(nèi)切圓半徑類比為內(nèi)切球的半徑.二維圖形中12類比為三維圖形中的13，得V四面體ABCD=13（S1+S2+S3+S4）r.故填V四面體ABCD=13（S1+S2+S3+S4）r.

點(diǎn)評：本題利用類比推理得出結(jié)論.類比推理是由此及彼的推理，是兩類類似的對象之間的推理.類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象，其中一個(gè)對象具有某個(gè)性質(zhì)，則另一個(gè)對象也具有類似的性質(zhì).在進(jìn)行類比時(shí)，要充分考慮已知對象性質(zhì)的推理過程，然后類比推導(dǎo)類比對象的性質(zhì).類比問題常在等比數(shù)列與等差數(shù)列、平面幾何與立體幾何等內(nèi)容中進(jìn)行命題.

三、演繹推理

例4若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x）對于D上的n個(gè)值x1，x2，…，xn，總滿足1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（x1+x2+…+xnn），稱函數(shù)f（x）為D上的凸函數(shù).現(xiàn)已知f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)，則在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是.

解析：因?yàn)橥购瘮?shù)滿足1n[f（x1）+f（x2）+…+f（xn）]≤f（x1+x2+…+xnn），（大前提）

f（x）=sinx在（0，π）上是凸函數(shù)，（小前提）

所以f（A）+f（B）+f（C）≤3f（A+B+C3），（結(jié)論）

即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=332.

因此sinA+sinB+sinC的最大值是332.

點(diǎn)評：本題是演繹推理三段論的簡單應(yīng)用.從思維過程的指向來看，以“凸函數(shù)”的定義為大前提，正弦函數(shù)在（0，π）上是凸函數(shù)為小前提通過邏輯推理得出結(jié)論.

演繹推理是以某一類事物的一般判斷為前提，而作出關(guān)于該類事物的判斷的思維形式，因此是從一般到特殊的推理.數(shù)學(xué)中的演繹法一般是以三段論的格式進(jìn)行的.三段論由大前提、小前提和結(jié)論三個(gè)命題組成，大前提是一個(gè)一般性原理，小前提給出了適合于這個(gè)原理的一個(gè)特殊情形，結(jié)論則是大前提和小前提的邏輯結(jié)果.

例5求證：a，b，c為正實(shí)數(shù)的充要條件是a+b+c>0，且ab+bc+ca>0和abc>0.

分析：由a、b、c為正實(shí)數(shù)，顯然易得a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，即“必要性”的證明用直接法易于完成.證明“充分性”時(shí)，要綜合三個(gè)不等式推出a、b、c是正實(shí)數(shù)，直接證明有些難度，需用反證法.

解析：（1）證必要性（直接法）：因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，所以a+b+c>0，

ab+bc+ca>0，abc>0.

所以必要性成立.

（2）證充分性（反證法）：假設(shè)a、b、c不全為正實(shí)數(shù)（原結(jié)論是a、b、c都是正實(shí)數(shù)），由于abc>0，則它們只能是二負(fù)一正.

不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，

又由于ab+bc+ac>0a（b+c）+bc>0，

因?yàn)閎c<0，所以a（b+c）>0.①

又a<0，所以b+c<0.②

而a+b+c>0，所以a+（b+c）>0.

所以a>0，與a<0的假設(shè)矛盾.endprint

故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a、b、c均為正實(shí)數(shù).

點(diǎn)評：1.一般的證明分為直接證明和間接證明兩種，直接證明主要有綜合法和分析法等方法，間接證明主要通過反證法.

2.反證法是一種重要的間接證明方法，在命題的證明時(shí)一般是“正難則反”，常見適用反證法證明的有以下六種情形：（1）易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；（2）否定性命題；（3）唯一性命題；（4）至少至多型命題；（5）一些基本定理；（6）必然性命題等.

四、數(shù)學(xué)歸納法

例6已知n∈N*，求證：1·22-2·32+…+（2n-1）·（2n）2-2n·（2n+1）2=-n（n+1）（4n+3）.

解析：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=4-18=-14=（-1）×2×7=右邊.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，k≥1）時(shí)，等式成立，

即1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2=-k（k+1）（4k+3）.

當(dāng)n=k+1時(shí)，

1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2+（2k+1）·（2k+2）2-（2k+2）·（2k+3）2

=-k（k+1）（4k+3）+（2k+2）[（2k+1）（2k+2）-（2k+3）2]

=-k（k+1）（4k+3）+2（k+1）（-6k-7）

=-（k+1）（k+2）（4k+7）

=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]，

即當(dāng)n=k+1時(shí)成立.

綜上所述，對一切n∈N*，等式成立.

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題.在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要明確：（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可；（2）在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要首先明確初始值n0的取值并驗(yàn)證n=n0時(shí)命題的真假；（3）第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清楚由k到k+1時(shí)命題變化的情況.

例7已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an=1n，f（n）=S2n，n=1

S2n-Sn-1，n≥2，

（1）計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比較f（n）與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

解析：（1）由已知f（1）=S2=1+12=32，

f（2）=S4-S1=12+13+14=1312，

f（3）=S6-S2=13+14+15+16=1920；

（2）由（1）知f（1）>1，f（2）>1；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

①由（1）當(dāng)n=3時(shí)，f（n）<1；

②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)，f（n）<1，即

f（k）=1k+1k+1+…+12k<1，那么

f（k+1）=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2=（1k+1k+1+1k+2+…+12k）+12k+1+12k+2-1k<1+（12k+1-12k）+（12k+2-12k）=1+2k-（2k+1）2k（2k+1）+2k-（2k+2）2k（2k+2）=1-12k（2k+1）-1k（2k+2）<1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）<1也成立.

由（1）和（2）知，當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

所以當(dāng)n=1和n=2時(shí)，f（n）>1；當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，本題就是第二種類型.對這種形式往往要先對n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

知能提升訓(xùn)練

1.觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72011的末兩位數(shù)字為.

2.設(shè)函數(shù)f（x）=xx+2（x>0），觀察：

f1（x）=f（x）=xx+2，

f2（x）=f（f1（x））=x3x+4，

f3（x）=f（f2（x））=x7x+8，

f4（x）=f（f3（x））=x15x+16，

……

根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：

當(dāng)n∈N+且n≥2時(shí)，fn（x）=f（fn-1（x））=.

3.試比較2n+2與n2的大?。╪∈N*），并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

參考答案

1. 43

2. x（2n-1）x+2n

3.解題指南：首先選用特值找到2n+2與n2的大小關(guān)系，然后作出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.

解析：當(dāng)n=1時(shí)，21+2=4>n2=1，

當(dāng)n=2時(shí)，22+2=6>n2=4，

當(dāng)n=3時(shí)，23+2=10>n2=9，

當(dāng)n=4時(shí)，24+2=18>n2=16，

由此可以猜想，2n+2>n2（n∈N*）成立.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=21+2=4，右邊=1，

所以左邊>右邊，

所以原不等式成立.

當(dāng)n=2時(shí)，左邊=22+2=6，

右邊=22=4，所以左邊>右邊；

當(dāng)n=3時(shí)，左邊=23+2=10，右邊=32=9，

所以左邊>右邊.

不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3，且k∈N*）時(shí)，不等式成立，

即2k+2>k2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

又因：2k2-2-（k+1）2=k2-2k-3

=（k-3）（k+1）≥0，

即2k2-2≥（k+1）2，故2k+1+2>（k+1）2成立.

原不等式成立.

根據(jù)（1）和（2）知，原不等式對于任何n∈N*都成立.

（作者：黃榮，如皋市第二中學(xué)）endprint

故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a、b、c均為正實(shí)數(shù).

點(diǎn)評：1.一般的證明分為直接證明和間接證明兩種，直接證明主要有綜合法和分析法等方法，間接證明主要通過反證法.

2.反證法是一種重要的間接證明方法，在命題的證明時(shí)一般是“正難則反”，常見適用反證法證明的有以下六種情形：（1）易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；（2）否定性命題；（3）唯一性命題；（4）至少至多型命題；（5）一些基本定理；（6）必然性命題等.

四、數(shù)學(xué)歸納法

例6已知n∈N*，求證：1·22-2·32+…+（2n-1）·（2n）2-2n·（2n+1）2=-n（n+1）（4n+3）.

解析：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=4-18=-14=（-1）×2×7=右邊.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，k≥1）時(shí)，等式成立，

即1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2=-k（k+1）（4k+3）.

當(dāng)n=k+1時(shí)，

1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2+（2k+1）·（2k+2）2-（2k+2）·（2k+3）2

=-k（k+1）（4k+3）+（2k+2）[（2k+1）（2k+2）-（2k+3）2]

=-k（k+1）（4k+3）+2（k+1）（-6k-7）

=-（k+1）（k+2）（4k+7）

=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]，

即當(dāng)n=k+1時(shí)成立.

綜上所述，對一切n∈N*，等式成立.

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題.在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要明確：（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可；（2）在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要首先明確初始值n0的取值并驗(yàn)證n=n0時(shí)命題的真假；（3）第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清楚由k到k+1時(shí)命題變化的情況.

例7已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an=1n，f（n）=S2n，n=1

S2n-Sn-1，n≥2，

（1）計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比較f（n）與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

解析：（1）由已知f（1）=S2=1+12=32，

f（2）=S4-S1=12+13+14=1312，

f（3）=S6-S2=13+14+15+16=1920；

（2）由（1）知f（1）>1，f（2）>1；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

①由（1）當(dāng)n=3時(shí)，f（n）<1；

②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)，f（n）<1，即

f（k）=1k+1k+1+…+12k<1，那么

f（k+1）=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2=（1k+1k+1+1k+2+…+12k）+12k+1+12k+2-1k<1+（12k+1-12k）+（12k+2-12k）=1+2k-（2k+1）2k（2k+1）+2k-（2k+2）2k（2k+2）=1-12k（2k+1）-1k（2k+2）<1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）<1也成立.

由（1）和（2）知，當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

所以當(dāng)n=1和n=2時(shí)，f（n）>1；當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，本題就是第二種類型.對這種形式往往要先對n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

知能提升訓(xùn)練

1.觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72011的末兩位數(shù)字為.

2.設(shè)函數(shù)f（x）=xx+2（x>0），觀察：

f1（x）=f（x）=xx+2，

f2（x）=f（f1（x））=x3x+4，

f3（x）=f（f2（x））=x7x+8，

f4（x）=f（f3（x））=x15x+16，

……

根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：

當(dāng)n∈N+且n≥2時(shí)，fn（x）=f（fn-1（x））=.

3.試比較2n+2與n2的大小（n∈N*），并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

參考答案

1. 43

2. x（2n-1）x+2n

3.解題指南：首先選用特值找到2n+2與n2的大小關(guān)系，然后作出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.

解析：當(dāng)n=1時(shí)，21+2=4>n2=1，

當(dāng)n=2時(shí)，22+2=6>n2=4，

當(dāng)n=3時(shí)，23+2=10>n2=9，

當(dāng)n=4時(shí)，24+2=18>n2=16，

由此可以猜想，2n+2>n2（n∈N*）成立.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=21+2=4，右邊=1，

所以左邊>右邊，

所以原不等式成立.

當(dāng)n=2時(shí)，左邊=22+2=6，

右邊=22=4，所以左邊>右邊；

當(dāng)n=3時(shí)，左邊=23+2=10，右邊=32=9，

所以左邊>右邊.

不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3，且k∈N*）時(shí)，不等式成立，

即2k+2>k2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

又因：2k2-2-（k+1）2=k2-2k-3

=（k-3）（k+1）≥0，

即2k2-2≥（k+1）2，故2k+1+2>（k+1）2成立.

原不等式成立.

根據(jù)（1）和（2）知，原不等式對于任何n∈N*都成立.

（作者：黃榮，如皋市第二中學(xué)）endprint

故假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a、b、c均為正實(shí)數(shù).

點(diǎn)評：1.一般的證明分為直接證明和間接證明兩種，直接證明主要有綜合法和分析法等方法，間接證明主要通過反證法.

2.反證法是一種重要的間接證明方法，在命題的證明時(shí)一般是“正難則反”，常見適用反證法證明的有以下六種情形：（1）易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；（2）否定性命題；（3）唯一性命題；（4）至少至多型命題；（5）一些基本定理；（6）必然性命題等.

四、數(shù)學(xué)歸納法

例6已知n∈N*，求證：1·22-2·32+…+（2n-1）·（2n）2-2n·（2n+1）2=-n（n+1）（4n+3）.

解析：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=4-18=-14=（-1）×2×7=右邊.

②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*，k≥1）時(shí)，等式成立，

即1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2=-k（k+1）（4k+3）.

當(dāng)n=k+1時(shí)，

1·22-2·32+…+（2k-1）·（2k）2-2k·（2k+1）2+（2k+1）·（2k+2）2-（2k+2）·（2k+3）2

=-k（k+1）（4k+3）+（2k+2）[（2k+1）（2k+2）-（2k+3）2]

=-k（k+1）（4k+3）+2（k+1）（-6k-7）

=-（k+1）（k+2）（4k+7）

=-（k+1）[（k+1）+1][4（k+1）+3]，

即當(dāng)n=k+1時(shí)成立.

綜上所述，對一切n∈N*，等式成立.

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法常用來證明與正整數(shù)有關(guān)的命題.在使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要明確：（1）數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可；（2）在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，要首先明確初始值n0的取值并驗(yàn)證n=n0時(shí)命題的真假；（3）第二步證明的關(guān)鍵是要運(yùn)用歸納假設(shè)，特別要弄清楚由k到k+1時(shí)命題變化的情況.

例7已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an=1n，f（n）=S2n，n=1

S2n-Sn-1，n≥2，

（1）計(jì)算f（1），f（2），f（3）的值；

（2）比較f（n）與1的大小，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

解析：（1）由已知f（1）=S2=1+12=32，

f（2）=S4-S1=12+13+14=1312，

f（3）=S6-S2=13+14+15+16=1920；

（2）由（1）知f（1）>1，f（2）>1；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

①由（1）當(dāng)n=3時(shí)，f（n）<1；

②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)，f（n）<1，即

f（k）=1k+1k+1+…+12k<1，那么

f（k+1）=1k+1+1k+2+…+12k+12k+1+12k+2=（1k+1k+1+1k+2+…+12k）+12k+1+12k+2-1k<1+（12k+1-12k）+（12k+2-12k）=1+2k-（2k+1）2k（2k+1）+2k-（2k+2）2k（2k+2）=1-12k（2k+1）-1k（2k+2）<1，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，f（n）<1也成立.

由（1）和（2）知，當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

所以當(dāng)n=1和n=2時(shí)，f（n）>1；當(dāng)n≥3時(shí)，f（n）<1.

點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小，本題就是第二種類型.對這種形式往往要先對n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.

知能提升訓(xùn)練

1.觀察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，則72011的末兩位數(shù)字為.

2.設(shè)函數(shù)f（x）=xx+2（x>0），觀察：

f1（x）=f（x）=xx+2，

f2（x）=f（f1（x））=x3x+4，

f3（x）=f（f2（x））=x7x+8，

f4（x）=f（f3（x））=x15x+16，

……

根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：

當(dāng)n∈N+且n≥2時(shí)，fn（x）=f（fn-1（x））=.

3.試比較2n+2與n2的大小（n∈N*），并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

參考答案

1. 43

2. x（2n-1）x+2n

3.解題指南：首先選用特值找到2n+2與n2的大小關(guān)系，然后作出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論.

解析：當(dāng)n=1時(shí)，21+2=4>n2=1，

當(dāng)n=2時(shí)，22+2=6>n2=4，

當(dāng)n=3時(shí)，23+2=10>n2=9，

當(dāng)n=4時(shí)，24+2=18>n2=16，

由此可以猜想，2n+2>n2（n∈N*）成立.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=21+2=4，右邊=1，

所以左邊>右邊，

所以原不等式成立.

當(dāng)n=2時(shí)，左邊=22+2=6，

右邊=22=4，所以左邊>右邊；

當(dāng)n=3時(shí)，左邊=23+2=10，右邊=32=9，

所以左邊>右邊.

不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3，且k∈N*）時(shí)，不等式成立，

即2k+2>k2，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2>2k2-2.

又因：2k2-2-（k+1）2=k2-2k-3

=（k-3）（k+1）≥0，

即2k2-2≥（k+1）2，故2k+1+2>（k+1）2成立.

原不等式成立.

根據(jù)（1）和（2）知，原不等式對于任何n∈N*都成立.

（作者：黃榮，如皋市第二中學(xué)）endprint