李莉莉，逄 博，崔利宏

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

離散廣義系統(tǒng)的因果性

李莉莉，逄 博，崔利宏

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

通常具有非因果性的離散廣義系統(tǒng)在物理上是無法實現(xiàn)的，但實際系統(tǒng)中往往存在這種情況．本文首先討論離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件．然后針對不具有因果性的離散廣義系統(tǒng)，證明存在狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件，并采用構(gòu)造性方法分別針對rank(B)=r和不限制矩陣B秩的兩種情況，給出狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器的設(shè)計方案，確保閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性．

離散廣義系統(tǒng)；因果性；Y-能控；Y-能觀；受限等價形式；

0 引言

近年來，離散廣義系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了很大的進展，特別是針對線性時不變系統(tǒng)．但相對于連續(xù)廣義系統(tǒng)，離散廣義系統(tǒng)的研究還有很多方面未被涉及，且現(xiàn)有結(jié)果多數(shù)是建立在系統(tǒng)具有因果性的前提下．因果性是離散廣義系統(tǒng)區(qū)別于正常系統(tǒng)的一個重要屬性[1-4]．離散的正常系統(tǒng)都具有因果性，但離散的廣義系統(tǒng)并不總是因果的[5-7]．通常不具有因果性的離散廣義系統(tǒng)在物理上是無法實現(xiàn)的，這啟發(fā)我們?nèi)ふ夷軌蛳x散廣義系統(tǒng)非因果性的方法，這在理論上和應(yīng)用中都具有重要意義．文獻[5]給出了當(dāng)rank(B)=r時利用狀態(tài)反饋控制器進行脈沖消除方法，但消除離散廣義系統(tǒng)非因果性的方法還不多見，并且實際上B的秩并不總為r．本文分別通過設(shè)計狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器，在rank(B)=r和不限制矩陣B秩的兩種情況下，確保閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性．

1 預(yù)備知識

考慮線性時不變離散廣義系統(tǒng)

Ex(k+1)=Ax(k)+Bu(k)，
y(k)=Cx(k),

(1)

其中x(k)∈Rn，u(k)∈Rr和y(k)∈Rl分別為狀態(tài)、輸入和輸出向量，E,A∈Rn×n，B∈Rn×r，C∈Rl×n皆為定常矩陣；E為奇異矩陣，且滿足rank(E)=n0

(2)

其中

2 狀態(tài)反饋控制器下的非因果性消除

文獻[6]指出離散廣義系統(tǒng)(1)是因果的等價于連續(xù)廣義系統(tǒng)(E,A)無脈沖,因此可根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)(E,A)無脈沖的相關(guān)判據(jù)判別系統(tǒng)(1)的因果性．對非因果的離散廣義系統(tǒng)，本節(jié)首先給出了存在狀態(tài)反饋控制器使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件．作為[5]中方法的延拓，當(dāng)rank(B)=r時討論消除系統(tǒng)非因果的狀態(tài)反饋控制器方法．進一步在不限制矩陣B秩的情況下給出消除系統(tǒng)非因果性的條件和狀態(tài)反饋控制設(shè)計方案．

2.1 問題描述

給定非因果離散廣義系統(tǒng)(1)，若該系統(tǒng)Y-能控，找出狀態(tài)反饋控制器u(K)=Kx(k)使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)

Ex(k+1)=(A+BK)x(k)

(3)

具有因果性．

定理1存在狀態(tài)反饋控制器使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)(3)具有因果性的充要條件是離散廣義系統(tǒng)(1)是Y-能控的．

2.2 設(shè)計方法

首先考慮rank(B)=r的情況．由于離散廣義系統(tǒng)具有因果性等價于連續(xù)廣義系統(tǒng)無脈沖，因此尋找狀態(tài)反饋控制器消除離散廣義系統(tǒng)非因果性的方法與文獻[5]類似．

例1考慮不具有因果性的離散廣義系統(tǒng)(1)，其中

上述方法雖然易于計算，但當(dāng)rank(B)≠r時不再適用．下面考慮不限制B秩的情況．

定理2設(shè)可逆矩陣H1∈Rr×r，正交矩陣T1∈Rn×n，T2∈Rn×n，P∈R(n-n0)×(n-n0)和Q∈R(n-n0)×(n-n0)滿足

T1ET2=diag{∑,0}，∑=diag{σ1，σ2，…，σn0}，

(4)

PA22Q=diag{∑A,0}，∑A=diag{τ1，τ2，…，τm}，

(5)

并記

若系統(tǒng)(1)Y-能控，則使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)(3)具有因果性的狀態(tài)反饋控制器增益為

證明：系統(tǒng)(1)存在使得(4)成立的正交矩陣T1和T2[7]，從而有

由系統(tǒng)(1)不具有因果性可知detA22=0．由(5)有

rank(A22B2)=rank(PA22PB2)=rank(A22)+rank(B22)．

從而det(A22+B2K2)≠0，故可通過狀態(tài)反饋控制器消除系統(tǒng)(1)的非因果性．

例2將例1中的矩陣B修改為

從而rank(B)=r不再滿足，利用定理2可得

使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性．

3 輸出反饋控制器下的非因果性消除

本節(jié)首先給出了存在輸出反饋控制器使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件，再針對rank(B)=r和不限制矩陣B秩的兩種情況，分別給出能夠消除系統(tǒng)的非因果性的輸出反饋控制器設(shè)計方案．

定理3存在輸出反饋使閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性的充要條件是離散廣義系統(tǒng)(1)是Y-能控能觀的．

3.1 問題描述

給定非因果離散廣義系統(tǒng)(1)，若該系統(tǒng)Y-能控能觀且快子系統(tǒng)能觀，找出輸出反饋控制器u(k)=Fy(k)使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)

Ex(k+1)=(A+BFC)x(k)

(6)

具有因果性．

3.2 設(shè)計方法

定理4設(shè)非奇異矩陣Q1∈Rn×n，正交矩陣P1∈Rn×n和U1∈Rr×r滿足

(7)

(8)

證明：系統(tǒng)(1)存在使得(7)成立的Q1，P1和U1[5]．設(shè)FC=K．系統(tǒng)(1)Y-能控，故由定理2可知存在FC=K使系統(tǒng)(6)具有因果性．由系統(tǒng)(1)Y-能觀可知

例3在例2中的增加C=diag{1,1,1,0}的條件．利用定理3取

可使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性．

下面考慮不限制B秩的情況．

定理5設(shè)可逆矩陣H1∈Rr×r，H2∈Rl×l，正交矩陣T1∈Rn×n，T2∈Rn×n，P∈R(n-n0)×(n-n0)和Q∈R(n-n0)×(n-n0)滿足(4)和(5)，并記

證明：與定理2類似，有

例4在例2中的增加C=diag{1，1，0，0}的條件．利用定理5取

使得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)具有因果性．

4 結(jié)論

本文為非因果離散廣義系統(tǒng)設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器，先利用連續(xù)廣義系統(tǒng)消除脈沖的相關(guān)結(jié)論，給出rank(B)=r情況下，狀態(tài)反饋控制器和輸出反饋控制器的設(shè)計方法，然后又推廣到矩陣B的秩不再受到限制的情況．相對于對已有結(jié)果使用范圍更廣，為消除離散廣義系統(tǒng)非因果性帶來極大方便．

[1]程文彬,馮毅夫.新的量化反饋網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2009,30(3):85～87.

[2]楊曉光,張 強,劉公望.T-S離散模糊控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2003,4: 5～9.

[3]李筱魁.智能變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計方法[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,34(3):140～142.

[4]戴立意.離散廣義系統(tǒng)的求解和能控、能觀性[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報,1989,9(2):129～138.

[5]吳愛國.廣義線性系統(tǒng)的脈沖消除與觀測器設(shè)計[D].哈爾濱工業(yè)大學(xué)大學(xué)博士論文,2008.

[6]楊冬梅,張慶靈,姚 波.廣義系統(tǒng)[M]．北京:科學(xué)出版社,2004,16-29,166-171.

[7]段廣仁.廣義線性系統(tǒng)分析與設(shè)計[M]．北京:科學(xué)出版社,2012,238～254.

CausalityofDiscrete-timeSingularSystems

LILi-li,PANGBo,CUILi-hong

(School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian 116029,China)

In generally,discrete-time singular systems with non-causality are considered impossible in physics,which often exist in the practical systems.First,this paper discusses a necessary and sufficient condition of discrete-time singular systems with causality.Then for discrete-time singular systems with non-causality,the necessary and sufficient conditions for existences of state feedback controller and output feedback controller are proved to guarantee causality of the closed-loop systems.And state feedback controller and output feedback controller are designed respectively by constructive method for two cases of rank(B)=r and no requirement for the rank of matrix B which ensure the causality of the closed-loop discrete-time singular systems.

discrete-time singular systems;causality;Y-causal controllability;Y-causal observability;restricted equivalent form

梁懷學(xué))

2014-05-24

國家自然科學(xué)基金項目(61304056);遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項目(L2013409)

李莉莉(1982-)，女，遼寧省大連市人，現(xiàn)為遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授，博士．研究方向：控制理論．

O231.1

A

1674-3873-(2014)03-0060-04