王朝璇

高考對合情推理的考查多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，主要考查利用歸納推理、類比推理去尋求新的結(jié)論. 而數(shù)列的內(nèi)容豐富，應用廣泛，其中的推理及其應用問題成為高考中的熱點問題.

1. 數(shù)列推理在平面幾何中的應用

例1 如圖，互不相同的點[A1，A2，…，An，…]和[B1，B2，…Bn，…]分別在角[O]的兩條邊上，所有[AnBn]相互平行，且所有梯形[AnBnBn+1An+1]的面積均相等.設[OAn=an.]若[a1=1，a2=2，]則數(shù)列[an]的通項公式是 .

解析 [設△A1B1O的面積為S，] 由所有[AnBn]相互平行，且[a1=1，a2=2，]有[梯形A1B1B2A2的面積為3S].

又所有梯形[AnBnBn+1An+1]的面積均相等，所以[梯形AnBnBn+1An+1][的面積為3S].

由平面幾何的性質(zhì)知，當[n≥2]時，[anan-1=OAnOAn-1][=m+3mn-1m+3mn-2=3n-23n-5]，

所以[anan-12=3n-23n-5]，遞推有[an-1an-22=3n-53n-8，][an-2an-32=3n-83n-11，…，][a2a12=4.]

將上述各式左右兩邊分別累乘后有[ana12=3n-2，]

又[a1=1]，所以[an=3n-2（n∈N*）.]

點撥 由平面幾何的性質(zhì)導出[an]和[an+1]之間的相互關(guān)系，然后進行遞推，在運算的過程中，要注意整體消元的思想.

2. 數(shù)列推理在解析幾何中的應用

例2 如圖，在區(qū)域[{（x，y）|x≥0，y≥0}]內(nèi)植樹，第一棵樹在[A1（0，1）]點，第二棵樹在[A2（1，1）]點，第三棵樹在[A3（1，0）]點，第四棵樹在[A4（2，0）]點，接著按圖中箭頭方向，每隔一個單位種一棵樹，第2013棵樹所在的點的坐標是 .

解析 抓住特殊點的性質(zhì)，考查區(qū)域內(nèi)的第一象限的角平分線上的整點.

點[A2]的坐標為[（1，1）]，點[A6]的坐標為[（2，2）]，點[A12]的坐標為[（3，3）]，…

又[A2=A1×2]，[A6=A2×3]，[A12=A3×4]，…

而不大于2013且能表示為相鄰兩個數(shù)的積的最大整數(shù)為[44×45=1980]，[A1980=A44×45]，即點[A1980]的坐標為[（44，44）].

依圖中的規(guī)律，應該左移33到達點[A2013]，第2013棵樹所在的點的坐標是[（11，44）].

點撥 數(shù)列推理在解析幾何中的應用往往是考查點的位置問題，解題的關(guān)鍵是抓住特殊點的共性尋找規(guī)律，再進行推理.

3. 數(shù)列推理在立體幾何中的應用

例3 已知經(jīng)過同一點的[n（n∈N*，][n≥3）]個平面，任意三個平面不經(jīng)過同一條直線.若這[n]個平面將空間分成[fn]個部分，則[f3=] ，[fn=] .

解析 題目中是經(jīng)過同一點的[n（n∈N*，][n≥3）]個平面，我們從廣義上考慮，不妨由[n=1]時開始觀察，顯然[f1=2，f2=4].

構(gòu)造正方體[MN]，[O]是正方體[MN]的中心，平面[ABCD]，平面[EFGH]，平面[IJKL]交于一點[O]，如圖1，顯然將空間分為8個部分，故[f3=8].

此時，我們?nèi)菀壮霈F(xiàn)這樣的錯誤，認為[f1=2，f2=22，]，[f3=23]，繼而猜測[fn=2n].

我們來考查[n=4]時的情形，如圖2，連結(jié)[AE，EL，LC，CG，GJ，JA]，顯然[AELCGJ]共面，而且和圖1中的三個平面交于一點[O]，這樣，平面[AELCGJ]和正方體[MN]有6條交線，即在原來的8個空間的基礎(chǔ)上增加了6個空間，故[f4=14].

觀察相鄰兩項之差，[f2-f1=2，][f3-f2=4，][f4-f3=6，]注意到它們相鄰兩項之間的差均為2，故[fn-fn-1=2n-1].

利用疊加法，容易求出[fn=n2-n+2].（對于一般性的證明比較繁瑣，這里從略.）

點撥 在立體幾何中，往往考查線分面，面分體的個數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是抓住圖形的特點找規(guī)律，進行推理.

4. 數(shù)列推理在解三角形中的應用

例4 設[△AnBnCn]的三邊長分別為[an，bn，cn]，[△AnBnCn]的面積為[Sn，n=1，2，3，…，]若[b1>c1]，[b1+c1=2a1]，[an+1=an]，[bn+1=cn+an2]，[cn+1=bn+an2]，則（ ）

A.[Sn]為遞減數(shù)列

B.[Sn]為遞增數(shù)列

C.[S2n-1]為遞增數(shù)列，[S2n]為遞減數(shù)列

D.[S2n-1]為遞減數(shù)列，[S2n]為遞增數(shù)列

解析 因為[an+1=an]，所以[an=a1].

而[bn+1=cn+an2]，[cn+1=bn+an2]，

從而[b2+c2=c1+a12+b1+a12=c1+b12+a1=2a1]，

[b3+c3=c2+a22+b2+a22=c2+b22+a2=2a1]，

…

[bn+1+cn+1=2a1]，

即對所有[n]，有[bn+cn=2a1]，

不妨設[BnCn=an]，[AnCn=bn]，[AnBn=cn]，

則有[AnCn+AnBn=2a1]，且[BnCn=B1C1=a1]（定值）.

故點[An]的軌跡是以[Bn]，[Cn]為焦點的橢圓，如圖.