張錦明，游 雄，萬 剛

信息工程大學 地理空間信息學院，河南 鄭州450052

1 前 言

插值參數(shù)是構(gòu)成插值算法的基本元素，包括搜索方式和插值核函數(shù)。不同的插值參數(shù)產(chǎn)生不同的插值結(jié)果，甚至存在巨大差異［1］。但是對于普通用戶而言，選擇合適的插值參數(shù)是困難的，直接導致空間插值成為一個“黑箱（black box）”，因此穩(wěn)健的插值算法應提供可以理解的插值參數(shù)，或者給用戶盡可能多的插值參數(shù)提示信息［2］。

文獻［3］通過試驗給出了不同插值算法的最佳搜索點數(shù)試驗值。文獻［4］認為克里格插值算法幾乎不受搜索點數(shù)的影響，而加權(quán)平均插值算法卻嚴格依賴于搜索點數(shù)。對于反距離加權(quán)插值算法中的權(quán)指數(shù)取值而言，文獻［5］認為取1或2比較合適，但文獻［6］卻認為取2將取得更好的試驗效果。對于徑向基函數(shù)插值算法中的光滑因子取值而言，雖然沒有普遍認可的確定方法，但也有相關(guān)文獻提出了各種方法：文獻［7—9］提出了數(shù)值近似表達的方法；文獻［10］提出了基于交叉驗證的統(tǒng)計方法；文獻［11］提出了使用遞歸算法尋找使得插值表面全局誤差最小的方法；文獻［12］認為多重二次曲面和多重對數(shù)徑向基函數(shù)應使用接近于零的光滑因子，反多重二次曲面、自然三次樣條和薄板樣條徑向基函數(shù)則應使用非常大的光滑因子。

多數(shù)學者在選擇插值參數(shù)時，大多是依賴經(jīng)驗直接指定。如文獻［12］在研究地貌類型、采樣密度和插值算法對規(guī)則格網(wǎng)精度的影響時，使用8個搜索點數(shù)完成徑向基函數(shù)和反距離加權(quán)插值算法的計算；文獻［13］在反距離加權(quán)插值算法自適應研究中，規(guī)定“鄰域”指距離插值點最近的5個采樣點組成的局部范圍；文獻［14］以距離插值點最近的格網(wǎng)點為中心，并以周圍8個格網(wǎng)點完成似大地水準面格網(wǎng)雙二次多項式插值方法的研究。但是僅依賴于經(jīng)驗確定取值，勢必會造成插值結(jié)果的不確定性，甚至會導致空間分布的扭曲模型，做出潛在的錯誤決策［15］。

為此，本文根據(jù)插值算法最優(yōu)權(quán)重確定方法的差異，選取反距離加權(quán)插值算法（inverse distance weighted，IDW）、徑向基函數(shù)插值算法（radial basis functions，RBF）和普通克里格插值算法（ordinary Kriging，OK）的相關(guān)插值參數(shù)，進行插值參數(shù)的“優(yōu)選”問題研究。首先闡述插值參數(shù)的含義，分析不同參數(shù)對DEM插值精度的影響，并選擇搜索點數(shù)、搜索方向和插值核函數(shù)因子作為試驗對象；然后選擇6種不同地貌類型地區(qū)的稀疏分布的離散采樣點作為試驗數(shù)據(jù)源；最后利用交叉驗證法、相關(guān)分析法、趨勢面分析法和方差分析法等一系列試驗方法，計算得到相關(guān)插值參數(shù)的“最優(yōu)”取值區(qū)間，消除參數(shù)選擇的隨意性。

2 插值參數(shù)

2.1 搜索方式

對于絕大多數(shù)DEM插值算法而言，需要在鄰域范圍內(nèi)完成插值點的高程計算，即以插值點為中心，確定一定尺寸的鄰域（或是矩形鄰域，或是圓形鄰域），然后選擇已知采樣點完成插值計算，這一過程稱為采樣點的搜索方式。其控制選項包括：搜索形狀、搜索方向、搜索點數(shù)、搜索鄰域半徑以及搜索時是否考慮等高線、結(jié)構(gòu)線、斷裂線或邊界線，等等。搜索方式?jīng)Q定了采樣點的選擇，最終導致不同數(shù)量、分布方式的采樣點影響著DEM的插值精度。

2.2 插值核函數(shù)

插值核函數(shù)指插值算法內(nèi)部調(diào)節(jié)采樣點對插值點權(quán)重影響的數(shù)學函數(shù)，是影響DEM插值精度的重要因素之一［16］。插值核函數(shù)都是顯式或隱式的距離函數(shù)（表1），其地理意義直接或間接地表達了相鄰兩個空間對象之間的相關(guān)關(guān)系［1］。插值核函數(shù)因子是插值算法的關(guān)鍵因子，可能導致插值精度的提高，也可能導致插值精度的降低。

表1 幾種典型DEM插值算法的核函數(shù)Tab.1 Kernel functions of several DEM interpolation methods

2.3 試驗插值參數(shù)

不同的插值參數(shù)產(chǎn)生不同的DEM插值精度。有些插值參數(shù)可能確定性優(yōu)化或者確定性降低DEM插值精度，如插值過程中將等高線、結(jié)構(gòu)線、斷裂線或邊界線等作為限制條件，本質(zhì)是選擇分布位置更為合理的采樣點的問題，最終確定性提高DEM插值精度。對于等高線而言，如果跨越等高線選擇其他等高線上的采樣點，將導致地形的“塊紋”現(xiàn)象［17］。對于結(jié)構(gòu)線、斷裂線、邊界線而言，異側(cè)的采樣點存在地貌突變現(xiàn)象，如果參與插值計算，必將有損于 DEM 插值精度［18－19］。又如反距離加權(quán)插值算法中的光滑因子t，其主要作用是平滑地形，使用不為零的光滑因子，直接導致山頂高程被降低，山谷高程被抬高，最終降低DEM插值精度。

另一些插值參數(shù)因地貌類型、采樣點分布方式的差異，選擇不同取值可能優(yōu)化或降低DEM插值精度。如搜索方向、搜索點數(shù)（或搜索半徑）、反距離加權(quán)插值算法中的權(quán)指數(shù)u、徑向基函數(shù)插值算法中的光滑因子c、克里格插值算法中的半變異函數(shù)的塊金值C0、拱高C、變程a。

因此，本文總結(jié)了幾種典型DEM插值算法中的對插值精度具有顯著影響的參數(shù)，作為DEM插值參數(shù)“優(yōu)選”試驗的研究對象。

3 DEM插值參數(shù)“優(yōu)選”試驗

3.1 試驗數(shù)據(jù)來源及特征

采樣點數(shù)據(jù)獲取的采樣策略包括沿等高線采樣、規(guī)則格網(wǎng)采樣、漸進采樣、選擇性采樣以及混合采樣等，實踐中應當根據(jù)不同的情況采用不同的數(shù)據(jù)采樣策略［19］。因此，為不失一般性，本文選擇具有代表性的6種不同地貌類型的地區(qū)作為試驗區(qū)域，其面積均為15km×15km；試驗數(shù)據(jù)來源于30m分辨率的ASTER GDEM，對其進行離散化處理得到稀疏分布的離散采樣點作為試驗數(shù)據(jù)源，其圖形特征如圖1所示（見文末），地形描述參數(shù)如表2所示。

表2 試驗區(qū)域的地形描述參數(shù)統(tǒng)計表Tab.2 Major topographic variables

3.2 試驗對象

試驗選取反距離加權(quán)插值算法、徑向基函數(shù)插值算法、普通克里格插值算法中的相關(guān)插值參數(shù)為研究對象，試驗取值如表3所示。

表3 試驗插值參數(shù)及其取值Tab.3 Interpolation parameters and its experimental values

3.3 試驗過程和方法

DEM插值參數(shù)“優(yōu)選”試驗的流程如圖2所示。

圖2 DEM插值參數(shù)“優(yōu)選”試驗流程圖Fig.2 Flow chart of experiment

第1步：試驗數(shù)據(jù)獲取。

選取6種不同地貌類型區(qū)域的15km×15km范圍內(nèi)的30m分辨率的ASTER GDEM，離散化后作為試驗數(shù)據(jù)源；

第2步：運用交叉驗證法統(tǒng)計全局殘差中誤差值。

交叉驗證法是一種與用戶無關(guān)、與DEM格網(wǎng)尺寸無關(guān)的試驗方法，可以讓用戶將關(guān)注點集中于插值參數(shù)本身。

試驗中根據(jù)插值算法中不同插值參數(shù)的不同試驗取值，運用交叉驗證法計算每一采樣點的殘差值，并統(tǒng)計全局殘差中誤差值。然后以此為基礎，運用各種分析方法確定插值參數(shù)的“最優(yōu)”取值區(qū)間。以反距離加權(quán)插值算法為例，按照表3的插值參數(shù)試驗取值，計算得到不同插值參數(shù)組合時的全局殘差中誤差值，如表4所示。

表4 交叉驗證試驗結(jié)果（基于反距離加權(quán)插值算法）Tab.4 Results of CV（based on IDW）

第3步：基于全局殘差中誤差值，運用相關(guān)分析和圖形法選擇插值參數(shù)的“最優(yōu)”取值區(qū)間相關(guān)分析是經(jīng)典統(tǒng)計分析中最基本的方法，從統(tǒng)計分析角度定量分析要素之間的相關(guān)程度和擬合變量之間的數(shù)量關(guān)系。要素之間相關(guān)程度的測定，主要通過相關(guān)系數(shù)r的計算與檢驗完成。一般認為，當相關(guān)系數(shù)r的絕對值大于0.8時，表明兩變量之間具有較強的線性關(guān)系；當相關(guān)系數(shù)r的絕對值小于0.3時，表明兩變量之間的相關(guān)關(guān)系較弱［20］。

試驗中運用相關(guān)分析法分析不同搜索方向時計算得到的中誤差值之間的相關(guān)關(guān)系，確定搜索方向?qū)EM插值精度的影響，并選擇“最優(yōu)”的搜索方向。表5中不同搜索方向之間的相關(guān)系數(shù)均在0.83以上，特別是四方向和八方向的相關(guān)系數(shù)高達0.99以上（表中“D1×D2”表示四方向和八方向搜索時計算得到的中誤差值之間的相關(guān)系數(shù)值），表明四方向和八方向搜索對DEM插值精度的影響不大。

表5 不同搜索方向之間的相關(guān)系數(shù)（基于反距離加權(quán)插值算法）Tab.5 Correlation coefficient between different search directions（based on IDW）

如果結(jié)合相同搜索點數(shù)、插值核函數(shù)因子時不同搜索方向?qū)闹姓`差柱形圖（圖3），可以發(fā)現(xiàn)：無方向限制搜索時建立的DEM插值精度最差，四方向搜索和八方向搜索相當，因此，綜合考慮插值算法的插值效率和插值精度的前提下盡量使用四方向搜索。

第4步：基于全局殘差中誤差值，運用趨勢面分析法驗證插值參數(shù)的“最優(yōu)”區(qū)間。

趨勢面分析是利用數(shù)學函數(shù)模擬要素在空間上的分布及其變化趨勢的方法，本質(zhì)是通過回歸分析，運用最小二乘擬合二維非線性函數(shù)，模擬要素在空間上的分布規(guī)律，展現(xiàn)要素在空間上的變化趨勢［21］。

假設存在采樣點（xi，yi，zi）（i＝1，2，…，n），擬合回歸方程z＝f（x，y），使得

其中常用的f是多項式函數(shù)，因為任何函數(shù)在適當范圍內(nèi)都可以用多項式函數(shù)逼近，并且可以根據(jù)需要調(diào)整多項式函數(shù)的次數(shù)。此外，需要用F檢驗來檢驗擬合得到非線性函數(shù)的適度問題，因為它直接關(guān)系趨勢面分析的應用效果。

圖3 搜索方向?qū)EM插值精度的影響（基于IDW）Fig.3 Influence of search directions on DEM interpolation accuracy（based on IDW）

試驗中運用趨勢面分析法分析不同插值參數(shù)對DEM插值精度的影響，從空間分布趨勢角度確定插值參數(shù)的“最優(yōu)”取值區(qū)間。表6（見文末）中以搜索點數(shù)為x軸、光滑因子為y軸、中誤差為z軸進行三次多項式趨勢面分析，從空間連續(xù)變化的角度觀察搜索點數(shù)、光滑因子對DEM插值精度的影響趨勢?？梢园l(fā)現(xiàn)：搜索點數(shù)、光滑因子對中誤差的趨勢面函數(shù)擬合程度極高，可決系數(shù)（R2）達到0.928 3；查F分布表得F0.05（9，95）＝1.96小于計算F值（158.315 8），表明三次趨勢面擬合函數(shù)在0.05的置信水平下是顯著的。其次從趨勢面擬合效果圖中可以清楚地看到，中誤差較小的區(qū)域集中在搜索點數(shù)20～24點之間且光滑因子接近于0；中誤差較大的區(qū)域集中在光滑因子較大或搜索點數(shù)44～56點之間。

第5步：基于全局殘差中誤差值，運用方差分析法研究各插值參數(shù)的顯著性差異。

方差分析用于兩個或兩個以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗，研究不同因素的變異對總變異的貢獻大小，并分析不同水平的控制因素是否對結(jié)果產(chǎn)生了顯著性影響［22］。方差分析的p值常用于推斷控制因素顯著性影響程度的指標，假設給定置信水平0.05，當計算得到的p值小于或等于0.05時，可以認為控制因素對試驗結(jié)果存在顯著性影響。

試驗中運用方差分析法分析插值參數(shù)對DEM插值精度的顯著性影響程度，提示用戶改進哪個參數(shù)可以更有效地改善插值效果。

表7中，如果考慮半變異函數(shù)模型和搜索點數(shù)對DEM插值精度的影響，則半變異函數(shù)模型及兩者的交互作用對DEM插值精度都具有顯著性影響（即p＜0.05），而搜索點數(shù)對DEM插值精度不具有顯著性影響（即p＝0.320 2＞0.05）；考慮搜索方向和搜索點數(shù)對DEM插值精度的影響，則搜索點數(shù)對DEM插值精度具有顯著性影響，而搜索方向和兩者交互作用不具有顯著性影響；考慮半變異函數(shù)模型和搜索方向?qū)EM插值精度的影響，則半變異函數(shù)模型對DEM插值精度具有顯著性影響，而搜索方向和兩者交互作用不具有顯著性影響。因此，可以認為三因素對DEM插值精度的顯著性影響程度的順序為“半變異函數(shù)模型＞搜索點數(shù)＞搜索方向”，其中搜索方向?qū)EM插值精度不具顯著性影響。

表7 半變異函數(shù)模型、搜索點數(shù)、搜索方向?qū)EM插值精度的顯著性影響（基于克里格插值算法）Tab.7 Significant influence of semivariogram function、search points and search directions on DEM interpolation accuracy（based on KRG）

4 試驗結(jié)果及分析

按照第3節(jié)的描述，本文運用一系列試驗方法，計算得到了幾種典型DEM插值算法中插值參數(shù)的“最優(yōu)”取值區(qū)間，如表8所示。結(jié)合插值算法的特性分析驗結(jié)果，探索插值參數(shù)的“優(yōu)選”規(guī)律，以便更好地指導DEM建模的運用。

表8 試驗插值參數(shù)的“優(yōu)選”區(qū)間Tab.8 “Optimization”interval of interpolation parameters

反距離加權(quán)插值算法是一種精確性插值算法，插值生成的最大值和最小值只會出現(xiàn)在采樣點處，隨著搜索點數(shù)的增加，采樣點間的高差逐漸增大，最終導致插值精度降低，因此較少的搜索點數(shù)是合適的選擇（圖4）。

其次隨著權(quán)指數(shù)u的增加，每一采樣點對插值點的權(quán)重影響的敏感程度增加，表現(xiàn)在距離較近的采樣點的貢獻率顯著增加，而距離較遠的采樣點的貢獻率逐漸降低，因此較大或較小的權(quán)指數(shù)都不是理想的選擇。更為重要的是，試驗結(jié)果表明權(quán)指數(shù)、搜索點數(shù)和搜索方向三參數(shù)對DEM插值精度影響程度為“權(quán)指數(shù)＞搜索點數(shù)＞搜索方向”，因此適時改變權(quán)指數(shù)可以更明顯地提高插值精度。

徑向基函數(shù)插值算法同樣是一種精確性插值算法，與反距離加權(quán)插值算法相比，它可以計算出高于或者低于采樣點的高程值，因此搜索點數(shù)的選擇和反距離加權(quán)插值算法存在差異。MQF和MLF的“最優(yōu)”取值區(qū)間在20～32點之間或大于64點（考慮插值效率取小值更為合適）（圖5），IMQF的“最優(yōu)”取值區(qū)間小于12點，TPSF和NCSF的“最優(yōu)”取值區(qū)間大于32點。這和其他研究成果都不一致，特別是TPSF和NCSF，當搜索點數(shù)大于32點時，幾乎可以獲得最佳的插值結(jié)果。其次，徑向基函數(shù)插值算法的核函數(shù)屬于典型的對稱性距離函數(shù)，因此使用較少搜索方向可能導致較差的插值精度。第三，徑向基函數(shù)插值算法的核函數(shù)中光滑因子是影響插值精度的重要參數(shù)之一，光滑因子的“最優(yōu)”取值區(qū)間也和Aguilar的研究成果存在較大差異。對于MQF、MLF而言，較小的光滑因子是合適的；對于IMQF而言，需要選擇極大的光滑因子，較小的光滑因子導致極大的數(shù)值不穩(wěn)定性；對于TPSF、NCSF而言，當搜索點數(shù)較少時，TPSF、NCSF產(chǎn)生顯著的數(shù)值不穩(wěn)定性，隨著光滑因子的增加，這種數(shù)值不穩(wěn)定性消失；當搜索點數(shù)較大（＞32）時，TPSF、NCSF插值的數(shù)值不穩(wěn)定性消失，可以得到最佳的插值結(jié)果，但是隨著光滑因子的增加，數(shù)值不穩(wěn)定性逐漸表現(xiàn)出來，可能這就是為什么Aguilar認為需要使用極大光滑因子的原因。同樣，試驗結(jié)果表明光滑因子、搜索點數(shù)和搜索方向三參數(shù)對DEM插值精度影響程度因徑向基函數(shù)的差異而有不同表現(xiàn)（表8）：對于MQF、MLF而言，搜索點數(shù)的影響程度更高；對于TPSF、NCSF而言，光滑因子的影響程度更高；而對于IMQF而言，由于插值結(jié)果的數(shù)值不穩(wěn)定性，無法判斷各參數(shù)的影響程度高低。

普通克里格插值算法在插值過程中需要根據(jù)試驗數(shù)據(jù)建立試驗半變異函數(shù)，即選擇合適的半變異函數(shù)模型及其擬合值。如果試驗數(shù)據(jù)不存在合適的試驗半變異函數(shù)，將導致不能得到理想的插值結(jié)果［23］，因此半變異函數(shù)模型對DEM插值精度具有最大的顯著性影響。同時試驗還表明：第一，線性模型始終具有穩(wěn)定的插值結(jié)果，而且隨著搜索點數(shù)的增大，中誤差值呈現(xiàn)逐步衰減并趨于穩(wěn)定的趨勢。第二，在所有半變異函數(shù)模型中，塊金值的作用異常明顯。當塊金值為0或較小時，指數(shù)模型的插值結(jié)果和線性模型幾乎一致，且插值中誤差較?。划攭K金值較大時，則插值中誤差較為明顯（圖6）。顯然和塊金值的含義存在很大關(guān)系，即塊金值代表的是離散采樣點集中的取樣誤差和小尺度變化引起的誤差等［23］。第三，克里格插值算法的一個重要特性是屏蔽效應［25］，可以消除較多搜索點數(shù)和搜索方向?qū)EM插值精度的影響，因此較少搜索點數(shù)和無方向限制搜索是合理的取值。

5 結(jié) 論

本文運用交叉驗證法、相關(guān)分析、趨勢面分析和方差分析等方法研究了幾種典型插值算法的插值參數(shù)的“最優(yōu)”取值區(qū)間。由于DEM插值過程中，并沒有任何一個方法可以實現(xiàn)地形特征的自動判別，并選擇適宜的插值算法和相應插值參數(shù)，因此向用戶提供更多的插值參數(shù)提示信息，消除插值參數(shù)選擇的隨意性，就顯得尤為重要。其次，試驗過程中并沒有考慮某些特殊取樣可能對某些插值算法產(chǎn)生的“異?！庇绊?，如IMQF、TPSF、NCSF等插值殘差中存在的極大值，因此通過全局殘差中誤差計算得到的插值參數(shù)“最優(yōu)”取值區(qū)間，在穩(wěn)健型、抗差性方面是“最優(yōu)”的選擇。再次，搜索方向作為影響DEM插值精度的因素之一，和其他因素相比較而言，其影響程度最低。并隨著InSAR、LiDAR等新型的數(shù)據(jù)獲取手段的出現(xiàn)［19］，使得獲取的采樣點精度不斷提高、分布日益密集，因此在實際建模過程中可以淡化，甚至忽略搜索方向的選擇。

不同插值算法的插值參數(shù)是不同的，因此如何確定其他插值算法的插值參數(shù)“優(yōu)選”區(qū)間是下一步研究試驗工作，即將現(xiàn)有算法進行合理的分類，并得出各種插值算法的參數(shù)“優(yōu)選”規(guī)律，將能更好地指導DEM建模的運用。

圖1 試驗區(qū)域透視效果圖Fig.1 Perspective rendering of experimental regions

表6 搜索點數(shù)、光滑因子和中誤差的趨勢面分析結(jié)果（基于MLF徑向基函數(shù)插值算法）Tab.6 Results of trend surface analysis between search points、smooth factor and RMSE（based on MLF RBF）

圖4 趨勢面分析結(jié)果（基于反距離加權(quán)插值算法）Fig.4 Results of trend surface analysis（based on IDW）

圖5 趨勢面分析結(jié)果（基于MQF徑向基函數(shù)插值算法）Fig.5 Results of trend surface analysis（based on MQF RBF）

圖6 不同半變異函數(shù)時搜索點數(shù)和DEM插值誤差的關(guān)系Fig.6 Results of trend surface analysis

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