宗 真，袁林旺，2，羅 文，俞肇元，2，胡 勇，3

1.南京師范大學 虛擬地理環(huán)境教育部重點實驗室，江蘇 南京210023；2.南京師范大學 江蘇省大規(guī)模復雜系統(tǒng)數(shù)值模擬重點實驗室，江蘇南京210023；3.南京師范大學計算機科學與技術學院，江蘇南京210023

1 引 言

三角網(wǎng)表達及求交是三維表面模型建模的基礎，也是地質工程、科學可視化以及模型分析的關鍵算法之一［1，2］。GIS研究對象向三維以及時空維的擴展，不僅導致了數(shù)據(jù)量的激增［3］，也導致了對象表達結構的復雜性。GIS對象表達結構的復雜性，不僅使得在空間關系計算過程中對象類型及求交條件判斷模式的復雜，也增加了對諸如空間、邊界等復雜的空間約束［4］判斷的難度，因而極大地影響了現(xiàn)有矢量GIS的效率。伴隨著GIS研究對象向三維以及時空維的擴展，三角網(wǎng)求交的復雜度也隨之增加。在三維動態(tài)場景中，三角網(wǎng)中對象的維度、形態(tài)和結構均存在顯著的變化［5］?；跉W氏幾何或計算幾何發(fā)展而來的三角網(wǎng)求交算法需要對其相對位置關系進行預判斷，且在處理不同維度三角網(wǎng)時，需要對線、面進行分別處理，導致了其對動態(tài)變化的三角網(wǎng)求交支撐不足［6－7］。以文獻［8］算法為代表的標量法在平面距離計算及交線位置判斷上的計算相對復雜，在大規(guī)模環(huán)境中時間耗費較多。文獻［9］的矢量法利用行列式符號的幾何意義來判斷三角形的關系而后求交，計算過程中必須根據(jù)相關情況進行復雜的判斷，導致程序結構復雜，適應性不強。

幾何代數(shù)是以代數(shù)語言進行幾何對象表達、構造與運算的數(shù)學系統(tǒng)，被認為是有效連接幾何與代數(shù)，實現(xiàn)幾何計算的數(shù)學語言［10］。共形幾何代數(shù)（conformal geometric algebra，CGA）基于協(xié)變視角引入了基準原點和無窮遠點，使得分別基于外積和內積的形體表達和幾何度量都具有明確的幾何意義［11］。通過定義幾何代數(shù)運算空間，可實現(xiàn)高維空間中不依賴于坐標的幾何計算，前期研究表明幾何代數(shù)可用于多維空間對象的統(tǒng)一表達、建模與復雜對象間的空間關系分析［12－14］，且基于其設計的算法具有較強的高維拓展性［15］。本文針對三角網(wǎng)求交中三角形空間關系判定及點、線、面等不同幾何對象統(tǒng)一求交問題，從代數(shù)表達與關系運算相結合的角度，基于幾何代數(shù)中交并關系運算的meet算子構建空間關系判斷算子，為三角網(wǎng)表達結構的動態(tài)構建及各維度組分的統(tǒng)一求解提供基礎，進而實現(xiàn)多維統(tǒng)一三角網(wǎng)求交的幾何代數(shù)算法。

2 三角網(wǎng)的CGA表達與求交流程

2.1 三角網(wǎng)的CGA表達

基于內積和外積進行代數(shù)空間構造及幾何對象表達，基于幾何代數(shù)多重向量（multivector）可實現(xiàn)多維幾何對象的整合表達。在幾何代數(shù)中，基于外積表達的幾何對象維度與Grassmann維度具有一致性，可以實現(xiàn)不同維度對象的構造與相互轉化［10］。多重向量則為不同類型、不同維度幾何對象的描述和存儲提供了高維可拓展性。幾何代數(shù)自身的坐標無關性與維度無關性使其所表達的幾何特征是幾何對象自身內蘊的幾何特征，計算獲得的幾何關系也是各幾何對象間不依賴坐標的相對關系［11，16］。這為幾何對象的自適應表達、關系判斷與關系計算提供了有利前提。CGA表達中包含有如方向、位置、值大小等幾何語義信息，可通過直觀的算子運算直接判斷對象間相離、相交、包含等拓撲關系。表1給出了CGA中常用blade的分類及其所包含的幾何特征及其計算方法［15］。

表1 blade分類及其幾何特征Tab.1 Blades and their geometric characteristics

根據(jù)CGA中blade的表達，并結合前期研究中所構造的基于CGA的三維空間數(shù)據(jù)模型［12］，可以構造三角網(wǎng)的表達模式如圖1所示。首先構建多重向量集合MVi。在MVi集合中任意一個對象均為構成該三角網(wǎng)的特定三角形Ti，采用外積構造點、線、面對象，并利用其邊界范圍將其約束為點、線段與三角形。利用CGA中幾何對象維度與Grassmann維度的一致性，實現(xiàn)點、線段與三角形的層次組織。在三角網(wǎng)的表達中，點、線段與三角形均用blade表達，且依據(jù)其層次關系組合形成最終的三角網(wǎng)多重向量表達。不僅在維度結構上具有簡明性，也為三角網(wǎng)的統(tǒng)一表達與空間關系計算提供了獨立、完備的數(shù)據(jù)組織與數(shù)據(jù)結構基礎。

2.2 三角網(wǎng)求交的幾何代數(shù)描述

幾何代數(shù)算子的多維統(tǒng)一性使其可以直接用于處理多維對象，而無需根據(jù)對象維度進行分別處理［17］，從而可構建簡明、清晰、多維統(tǒng)一的三角網(wǎng)快速求交算法。基于CGA幾何對象表達的多維統(tǒng)一性和meet算子構建三角網(wǎng)自適應求交算法（圖1），通過對表征兩三角網(wǎng)的多重向量直接應用meet算子實現(xiàn)對多重向量中所包含的各幾何對象的分別求交。對于基本幾何對象間交并關系的求解，如點、線、平面、圓環(huán)、球面等一般blade，可直接基于meet算子進行運算；對于求解含固定邊界幾何對象間交并關系，如多邊形、多面體對象，除了先基于meet算子進行求交判斷外，還需借助對象表達中所蘊含的豐富的幾何屬性特征，并定義一系列具有統(tǒng)一結構的關系判斷算子，去除無效結果。最后將meet求解結果重新投影回歐氏空間，可設計相應的語法解析器對運算結果加以解析，并轉換成對應幾何對象，形成三角網(wǎng)求交的最終算法流程。

圖1 基于幾何代數(shù)三角網(wǎng)求交流程Fig.1 Calculation flow of triangulation intersection based on geometric algebra

3 基于meet算子空間對象求交

3.1 meet算子與空間對象自適應求交

不同幾何對象的相交關系會隨著對象類型和位置關系的變化而變化。傳統(tǒng)歐氏幾何中需要對不同維度對象各種相交情況分別進行處理，導致時變對象的求交計算較為復雜，對動態(tài)空間關系計算的支撐不足。在幾何代數(shù)中，不同幾何對象間所共有的最大子空間可以通過meet算子獲得。由于meet運算的多維統(tǒng)一性，使其可以同時處理點、線、面以及其他各類blade表達的幾何對象間的相交運算［17］。meet運算的結果為多重向量，且其運算結果的幾何對象類型僅與參與meet運算的幾何對象相關，而與維度和坐標系統(tǒng)無關。meet算子計算結果所具有的自適應性，有助于實現(xiàn)利用單一算子實現(xiàn)不同幾何對象相交關系的統(tǒng)一求解。

給定任意兩bladeA和B，兩者間的meet運算M＝A∩B滿足下式

引入可容納A、B的最小子空間偽標量IAB，則meet算子可利用A、B間的對偶運算求解

其一般形式為

式中，β為標量。對于blade對象間的求交，可通過meet算子M的符號和它的平方M2的符號來作初步的相交關系判斷。Eduardo等基于meet算子詳細推導了線－線，線－面，面－面之間相交關系的計算方法與判斷規(guī)則［18］：當M2＞0時，A與B至少相交于兩點；當M2＝0時，A與B至少相切于一點；當M2＜0時，A與B不交。各類型幾何對象基于meet算子的相交關系的判斷如表2。meet算子表達形式上的統(tǒng)一性及其計算結果的自適應性使其可適用于動態(tài)場景中變化對象的自適應求交，并能保證動態(tài)對象條件下，不同維度對象間空間關系計算的統(tǒng)一性與一致性。

表2 基于meet算子的基本幾何對象相交關系求解Tab.2 The solutions of intersection relations among basic geometric objects based on meet operators

3.2 空間對象meet的計算方法

meet算子對于求解A＝a1∧a2∧…∧ak形式的blade之間的交集簡單有效，但對于由多個blade的加和構成的k－blade間的meet運算，需要基于join（并）和meet的關系對其進行拆分和變換［10，19］。鑒于 meet運算的可拆分性，可以通過將blade對象分解成線性無關的幾個支撐向量以簡化運算。對于k－bladeB，其因子分解就是要找到k個線性不相關的支撐向量fi，使得B＝βf1∧f2∧…∧fk。使用投影算子qi＝（pi」B－1）」B搜尋B中k個相互獨立的分解因子。設計meet算子快速求解算法，其基本流程為：

（1）先將“測試向量”pi投影到二維平面B上；

（2）用pi」B－1計算出pi在B中投影的正交補余；

（3）據(jù)公式qi＝（pi」B－1）」B求解pi」B－1順時針旋轉90度的正交投影，qi即為所求支撐向量；

（4）循環(huán)直至找到k個支撐向量。

由于對象分解過程具有可加和性和可逆性，且分解得到的qi線性不相關，可用于對象間meet的快速運算。為快速求得meet算子結果的維度，可引入delta積運算，其幾何意義為兩對象間的并集減交集［19－20］，存在

給定初始交積M＝1、并積J＝In，對于kbladeA與B，計算其delta積在空間IAB中的補集S＝（AΔB）＊，并將S分解為線性無關的k個部分Si；對于每個Si計算其投影pi，如果pi非零，則通過M＝M∧pi擴充meet，直到M的維度與所求得meet的維度相等。

4 三角形求交中對象空間關系判斷

在復雜三角網(wǎng)對象求交中，對象間空間關系判斷是進行求交對象篩選和處理的基礎。在三角形求交過程中，主要需考慮不同線段、線段與三角形以及點與三角形之間的關系判斷。為此，基于三角形及其相關幾何對象的CGA表達，通過構造相應的判斷算子進行上述對象的空間關系判斷。其計算過程如圖2所示。

圖2 線段、三角形、點的位置關系判斷Fig.2 Location relations judgment between segments，triangles and points

4.1 平面上的線段與線段的關系判斷算子

計算線段R1及其端點p1與線段R2兩端點所構成向量間的外積2－bladeB1＝v3∧v1、B2＝v3∧v2，同理可求得由線段R2及R1端點所構成向量間外積B3、B4。構建平面上線段關系判斷算子：Oseg－seg＝（dir（B1）＝ ＝dir（B2））‖（dir（B3）＝＝dir（B4）），當Oseg－seg為true時，線段不交，否則線段相交。

4.2 線段與三角形的關系判斷算子

構建由線段R的頂點q1到三角形的三個頂點所構成向量的外積3－bladeTr1＝v1∧v2∧v3，同理可得到由頂點q2與三角形頂點所構成向量的外積Tr2。構建線段與三角形的關系判斷算子：Oseg－tri＝（dir（Tr1）＝＝dir（Tr2）），當Oseg－tri為true時，二者不交，否則線段與三角形相交。

4.3 平面上點與三角形的關系判斷算子

構建由三角形各頂點指向待求點的向量，按一定的方向計算三角形邊同各向量的外積：B1＝v12∧v10、B2＝v23∧v20、B3＝v31∧v30。構建點與三角形的關系判斷算子：Opt－tri＝（dir（B1）≥0＆＆dir（B2）≥0＆＆dir（B3）≥0），當Opt－tri為true時，點在三角形內部或邊界，否則點在三角形外部。

5 算法實現(xiàn)與案例驗證

5.1 三角形求交的形式化表達

不失一般性，據(jù)文獻［17］構建的基于幾何代數(shù)的對象表達模型，給定兩三角形T1、T2，其共形幾何代數(shù)表達為

上述三角形的多重向量表達中，已同時包含有各三角形中線段和面對象的幾何代數(shù)表達，其meet的求解過程為

式中，S1∩l21＋S1∩l22＋S1∩l23由于與S2∩l11＋S2∩l12＋S2∩l13具有等同性，二者取一即可，并根據(jù)三角形與直線的構建關系可將上式改寫成如下形式

式中，“＊”僅為一種連接關系，不參與運算，表示當“＊”左側滿足一定要求時，才進行其右側運算，即在求解過程中，可利用面—面、線—面、線—線對象meet算子結果的符號對其相交關系進行初步判定，從而降低算法的計算復雜度。

5.2 算法描述與流程

基于上述形式化表達，利用三角形求交的空間關系判定方法，構造相應的判定算子對其空間關系進行判定，進而獲得三角形在共面、異面等情況下，其中各要素的相交情況，然后將求交結果逆向回溯，由交點構建線段，即為所求交線結果。

其算法流程如圖3所示。首先利用meet算子進行三角形所在平面間相交關系的預判斷，即M＝（T1∩T2）。由于當M2＜0時，T1與T2不交，因此，可篩選出所有M2＜0（即不滿足相交條件）的三角形，對所有可能滿足相交條件的三角形進行空間關系的判斷。構造由三角形T1任一頂點A1、B1、C1到三角形T2頂點A2、B2、C2所構成向量的外積3－bladeVol＝A2∧B2∧C2值是否為零，篩選出共面相交的情況。對于異面相交的三角形，計算三角形各邊與另一三角形平面的meet。共面相交的三角形，則需要遍歷計算兩三角形邊與邊的meet，并通過交點、交線與三角形空間位置關系判斷算子篩選出落在三角形內部或邊界上的對象。

圖3 三角形求交流程示意Fig.3 The triangle intersection process

對上述算法流程的求解步驟為：

輸入：待求交的兩三角網(wǎng)T1、T2。

輸出：兩三角網(wǎng)交線、交點等幾何對象Vout。

（1）對T1、T2進行幾何代數(shù)編碼，形成多重向量表達MVT1、MVT2；

（2）順序提取MVT1、MVT2中三角形Π1、Π2，對其所在平面求meet，并進行三角形相交與共面的判斷；

（3）對Π1、Π2中各邊求交，判斷其相交情況；

（4）對所求交點、交線與三角形關系進行判斷，當交點、交線在三角形內時，保留結果；

（5）依次遍歷三角網(wǎng)中各三角形，直至所有三角形求交完成；

（6）解析計算結果，轉化為對應歐氏幾何對象輸出或可視化。

5.3 案例驗證

以南極冰蓋時空演化［21］的三維表面模型求交為例進行算法驗證，選用33 800Ka BP、33 550Ka BP、33 400Ka BP、33 300Ka BP、33 200Ka BP 5個時間節(jié)點的南極冰蓋三角網(wǎng)曲面模擬數(shù)據(jù)作為案例數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)結點及三角網(wǎng)個數(shù)信息見表3。利用幾何代數(shù)對三角形的統(tǒng)一表達與運算，結合相關的運算與判斷算子，設計三角網(wǎng)求交的數(shù)據(jù)存儲結構和算法。首先對三角網(wǎng)格曲面數(shù)據(jù)進行共形空間轉換與維度映射，實現(xiàn)三角格網(wǎng)的幾何代數(shù)表達與存儲；然后利用空間三角形的幾何代數(shù)求交方法，基于meet算子和關系判斷算子Oseg－seg、Oseg－tri、Opt－tri進行相交結果的篩選與位置關系判斷，并獲取相應的交點與交線段，最后求得兩個時期冰蓋表面的曲面交線。結果顯示本文算法提取出的交線能夠清晰反映某一時刻冰蓋曲面相對原始冰蓋變化的空間結構與位置，可為地質地形建模與分析提供可行的思路與方法（圖4）。

表3 三角網(wǎng)數(shù)據(jù)的基本信息Tab.3 General information of the triangulation data

圖4 本文算法求得的南極冰蓋表面三角網(wǎng)交線結果Fig.4 The triangulation intersection of Antarctic ice sheet based on CGA algorithm

對上述三角網(wǎng)交線結果進行分析易知其中含有大量的重復交線，這些冗余交線會影響后期交線拓撲的構造效率。冗余交線主要產(chǎn)生于如下3種情況：①退化交線（交點），例如當一三角形頂點與另一三角形相切（接）時，交線段退化為交點，此交點必為其鄰接三角形交線的頂點；②切交線，例如當三角形一邊切另一三角形面時，該三角形的鄰接三角形必求解出相同的切交線；③接交線，例如當兩個三角形的邊部分或整體重合時，該求解結果將會在其鄰接三角形中重復出現(xiàn)。情況①中的點由于不參與拓撲構建可直接刪除，情況②與情況③中需要保留一條交線用于構造交線拓撲?；谏鲜隹紤]，可分別為線線關系判斷算子Oseg－seg和線面關系判斷算子Oseg－tri添加判斷條件Bi＝＝0，i＝1，…，4和Oseg－segi＝＝true，i＝1，2，3，標記出線線相接和線面相接的情況，對退化交線加以篩除，式中Bi為線段端點構成的2－blade，segi指代三角形tri的第i條邊。

分別運用M?ller標量法、Guigue＆Devillers矢量法和本文算法（CGA算法）按時間序對上述三角網(wǎng)數(shù)據(jù)兩兩求交，統(tǒng)計出交線數(shù)目及各算法運行時間，對本文算法的準確性和效率加以驗證。最終交線的統(tǒng)計結果如表4所示。由于基于CGA的三角形求交算法去除了一定量的冗余交線，其求得的交線總數(shù)均小于另兩算法，減去冗余交線后，三算法求得的有效交線數(shù)目一致，表明了本算法求解結果的準確性與有效性。從計算效率上看（圖5），本方法較 M?ller算法略快，但慢于Guigue＆Devillers算法。其主要原因在于，本文實現(xiàn)的CGA算法是將幾何對象由三維歐氏空間投影到五維空間后，使用數(shù)值運算而非邏輯位運算進行幾何代數(shù)計算的求解，導致了內積、外積以及meet算子等基本幾何代數(shù)運算仍然依賴于加、減、乘、除等數(shù)值運算。通過基于邏輯位運算優(yōu)化的幾何代數(shù)引擎的利用［22］，可進一步大幅提升運算效率。而幾何代數(shù)對象表達與運算的統(tǒng)一性，及其算法的結構簡明性與自適應性，也為基于幾何代數(shù)的并行計算方法提供了便利［23］。

表4 三角網(wǎng)相交結果統(tǒng)計Tab.4 The statistical results of the triangulation intersection

圖5 三角形求交算法效率對比Fig.5 Efficiency comparisons of the three triangulation intersection algorithms

6 結論與展望

三角形是三角網(wǎng)格曲面、四面體格網(wǎng)、單純形剖分等三維矢量模型構建的基本單元，三角形求交運算是上述模型空間拓撲關系運算的基礎?？臻g對象的相交、距離關系的判斷是空間拓撲分析的基礎，幾何代數(shù)通過定義相應的運算空間實現(xiàn)多維對象的統(tǒng)一表達與計算。本文利用幾何代數(shù)多維統(tǒng)一表達與運算的優(yōu)勢，設計了三角形等基本對象的統(tǒng)一表達；基于meet算子維度統(tǒng)一與對象無關特性，構建統(tǒng)一的三角形求交運算流程；并設計相應的關系判斷算子實現(xiàn)計算過程中對象的篩選與判斷。

在三角形的求交過程中存在三角形退化為線段、三角形相接、三角形相切等多種臨界與奇異情況，在所選的兩類傳統(tǒng)對比算法中，均存在人為設定的相交準則，使得計算流程存在一定的定制化，而對不同維度、不同對象缺乏自適應性。本文算法基于統(tǒng)一的多重向量表達及靈活的關系判斷算子可根據(jù)應用需要合理配制相交準則，對動態(tài)場景下的時變對象間相交關系的計算具有更強的自適應性。基于南極冰蓋曲面網(wǎng)格數(shù)據(jù)的案例表明，本文提出的基于幾何代數(shù)的三角形快速求交方法，可有效支撐三角網(wǎng)的求交運算，且邏輯結構清晰，運算簡潔高效，可為其他復雜幾何對象間建模表達與空間分析統(tǒng)一求解提供借鑒。

支持復雜對象與現(xiàn)象的動態(tài)化表達、建模與模擬是GIS發(fā)展的必然趨勢［24］。建立幾何—拓撲—語義一致的且可有效支撐地學分析的地理格網(wǎng)與空間分析模型是實現(xiàn)上述目標的重要途徑［25］?；趲缀未鷶?shù)的三角網(wǎng)參數(shù)化表達在融入對象的幾何、拓撲特征的同時可直接支撐幾何運算，并具有對象和維度的自適應性。除meet算子外，大部分的幾何代數(shù)算子均具有類似的多維統(tǒng)一和自適應特性，因此，基于幾何代數(shù)算子設計對象和維度無關的空間關系計算算法，將可為多維統(tǒng)一分析與計算提供了新的理論與方法參考。未來主要的研究拓展包括：①研究可支撐復雜對象的幾何代數(shù)表達方法，實現(xiàn)地理場景中不規(guī)則邊界形體數(shù)據(jù)的語義結構與拓撲特性分析；②基于幾何代數(shù)算法流程的一致性與邏輯結構的簡潔性，構建并行化分析算法以支撐大規(guī)模復雜場景及海量數(shù)據(jù)分析；③將算法向復雜、高維對象擴展，設計幾何與語義統(tǒng)一的空間關系計算算法，建立具有以維度融合為特征的GIS空間分析體系。

［1］ AI Tinghua，LIU Yaolin，HUANG Yafeng.The Hierarchical Watershed Partitioning and Generalization of River Network［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2007，36（2）：231－236，243.（艾廷華，劉耀林，黃亞鋒.河網(wǎng)匯水區(qū)域的層次化剖分與地圖綜合［J］.測繪學報，2007，36（2）：231－236，243.）

［2］ ZHANG Yao，F(xiàn)AN Hong，HUANG Wang.The Method of Generating Contour Tree Based on Contour Delaunay Triangulation［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（3）：461－467.（張堯，樊紅，黃旺.基于Delaunay三角網(wǎng)的等高線樹生成方法［J］.測繪學報，2012，41（3）：461－467.）

［3］ WANG Yuan，LIU Jianyong，JIANG Nan，et al.A Dynamic Triangulation Algorithm for the View－dependent and Realtime LoD Model of Terrain［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2003，32（1）：47－52.（王源，劉建永，江南，等.視點相關實時LoD地形模型動態(tài)構網(wǎng)算法［J］.測繪學報，2003，32（1）：47－52.）

［4］ LIU Qiliang，DENG Min，SHI Yan，et al.A Novel Spatial Clustering Method Based on Multi－constraints［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2011，40（4）：509－516.（劉啟亮，鄧敏，石巖，等.一種基于多約束的空間聚類方法［J］.測繪學報，2011，40（4）：509－516.）

［5］ SUN Dianzhu，LI Xincheng，TIAN Zhongchao，et al.Accelerated Boolean Operations on Triangular Mesh Models Based on Dynamic Spatial Indexing［J］.Journal of Computer－aided Design ＆ Computer Graphics，2009，21（9）：1232－1237.（孫殿柱，李心成，田中朝，等.基于動態(tài)空間索引結構的三角網(wǎng)格模型布爾運算［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2009，21（9）：1232－1237.）

［6］ JIANG Qianping，TANG Jie，YUAN Chunfeng.Fast Triangle Mesh Surface Intersection Algorithm Based on Uniform Grid［J］.Computer Engineering，2008，34（21）：172－174.（蔣錢平，唐杰，袁春風，等.基于平均單元格的三角網(wǎng)曲面快速求交算法［J］.計算機工，2008，34（21）：172－174.）

［7］ YIN Changlin，YU Dingquan.Rapid Topological Searchingbased Intersection Algorithm of Triangulated Networks［J］.Computer Engineering and Applications，2006，42（36）：209－211.（尹長林，喻定權.一種基于拓撲搜索的三角網(wǎng)求交算法［J］.計算機工程與應用，2006，42（36）：209－211.）

［8］ M?LLER T.A Fast Triangle－triangle Intersection Test［J］.Journal of Graphics Tools，1997，2（2）：25－30.

［9］ GUIGUE P，DEVILLERS O.Fast and Robust Triangle：Triangle Overlap Test Using Orientation Predicates［J］.Journal of Graphics Tools，2003，8（1）：25－42.

［10］ DORST L，F(xiàn)ONTIJNE D，MANN S.Geometric Algebra for Computer Science［C］∥ An Object－oriented Approach to Geometry.San Fransisco：Morgan Kaufmann Publishers，2007.

［11］ LI Hongbo.Conformal Geometric Algebra：A New Framework for Computational Geometry［J］.Journal of Computer Aided Design ＆ Computer Graphics，2005，17（11）：2383－2393.（李洪波.共形幾何代數(shù)：幾何代數(shù)的新理論和計算框架［J］.計算機輔助設計與圖形學學報，2005，17（11）：2383－2393.）

［12］ YUAN L W，YU Z Y，CHEN S F，et al.CAUSTA：Clifford Algebra－based Unified Spatio－temporal Analysis ［J］.Transactions in GIS，2010，14（s1）：59－83.

［13］ LASENBY J.New Geometric Methods for Computer Vision：An Application to Structure and Motion Estimation［J］.Inter－national Journal of Computer Vision，1998，26（3）：191－213.

［14］ YUAN L W，YU Z Y，LUO W，et al.A 3DGIS Spatial Data Model Based on Conformal Geometric Algebra［J］.Science China：Earth Sciences，2011，54（1）：101－112.

［15］ YI Lin，YUAN Linwang，Yu Zhaoyuan，et al.Cliffrod Algebra－based Voronoi Algorithm［J］.Geography and Geo－Information Science，2011，27（5）：37－41.（易琳，袁林旺，俞肇元，等.Voronoi生成的Clifford代數(shù)實現(xiàn)方法［J］.地理與地理信息科學，2011，27（5）：37－41.）

［16］ PERWASS C.Geometric Algebra with Applications in Engineering［M］.Heidelberg：Springer－Verlag，2009.

［17］ YUAN L W，LüG N，LUO W，et al.Geometric Algebra Method for Multidimensionally：Unified GIS Computation［J］.China Science Bulletin，2012，57（7）：802－811.

［18］ EDUARDO R.Operaciones de Cómputo Gráfico en el Espacio Geométrico Conforme 5DUsando GPU［D］.Caracas：Universidad Simón Bolívar，2011.

［19］ FONTIJNE D，DORST L.Efficient Algorithms for Factorization and Join of Blades［C］∥Proceedings of the 3rd International Conference on Applications of Geometric Algebras in Computer Science and Engineering（AGACSE 2008）.London：Grimma，2010.

［20］ BOUMA T A，DORST L，PIJLS H G J.Geometric Algebra for Subspace Operations［J］.Acta Applicandae Mathematicae，2002，73：285－300.

［21］ DECONTO R.POLLARD D.Rapid Cenozoic Glaciation of Antarctica Induced by Declining Atmospheric CO2［J］.Nature，2003，421：245－249.

［22］ FRANCHINI S，GENTILE A，SORBELLO F，et al.Fixedsize Quadruples for a New，Hardware－oriented Representation of the 4DClifford Algebra［J］.Advances in Applied Clifford Algebras，2011，21（2）：315－340.

［23］ WAREHAM R J.Computer Graphics Using Conformal Geometric Algebra［D］.Cambridge：University of Cambridge，2006.

［24］ GOODCHILD M F，GUO H，ANNONI A，et al.Nextgeneration Digital Earth［J］.Proceedings of the National Academy of Sciences，2012，109（28）：11088－11094.

［25］ CAMELLI F，LIEN J M，SHEN D，et al.Generating Seamless Surfaces for Transport and Dispersion Modeling in GIS［J］.Geoinformatica，2012，16（2）：307－327.