李 莉

（天津大港油田第三中學(xué)，天津 300280）

初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的探究

李 莉

（天津大港油田第三中學(xué)，天津 300280）

在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)鍛煉學(xué)生利用“數(shù)形結(jié)合”的方法去分析、解決問題。首先，在課堂教學(xué)中給學(xué)生講授數(shù)形結(jié)合的思想；其次，介紹其在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用；最后，利用生活實例證明數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的用途。

數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)中思形；形中覓數(shù)；數(shù)與形的對應(yīng)

在數(shù)學(xué)研究中數(shù)與形是兩大基本要素。“數(shù)”是指數(shù)與式，“形”是指圖形與圖像。數(shù)形結(jié)合的思想是將抽象思維轉(zhuǎn)化為形象思維，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。我們知道，幾何的特點是直觀，代數(shù)的特點是比較嚴(yán)密，我們應(yīng)該將兩者的特點結(jié)合起來，互相補充，這樣才能在數(shù)學(xué)問題上打破思維限制，提高學(xué)習(xí)能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中鍛煉學(xué)生運用“數(shù)形結(jié)合”的方法去解決問題，這樣可以鍛煉學(xué)生抽象思維的能力。近年來，考查數(shù)形結(jié)合思想的試題在中考試卷中比例很大，因此教師在教學(xué)活動中需要對數(shù)形結(jié)合思想方法和訓(xùn)練等問題進行一系列深入的探討。

一、數(shù)形結(jié)合思想的重要性——提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)水平

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，圖形是學(xué)生常常接觸而又相對抽象的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。如何將數(shù)學(xué)問題與各類圖形相關(guān)聯(lián)呢？這就用到了上文提到的“數(shù)形結(jié)合”的概念。教師需要首先對學(xué)生的意識進行培養(yǎng)，對數(shù)形結(jié)合的概念進行滲透，逐漸灌輸學(xué)生在解題中用圖形說明問題的思路和概念。其次，在實際教學(xué)中教師應(yīng)適當(dāng)?shù)刂v授一些生活中的圖形知識，例如：中考中折紙、扇形與圓錐之間的聯(lián)系，圖形的鑲嵌等。在教學(xué)中多設(shè)計一些數(shù)形結(jié)合的問題，讓學(xué)生將理論知識應(yīng)用于解決問題中，鍛煉學(xué)生的邏輯思維，增強學(xué)生的自信，更有利于學(xué)好數(shù)學(xué)。

二、初中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的廣泛應(yīng)用

1.借助數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生合理理解數(shù)學(xué)概念的法則。數(shù)軸是數(shù)學(xué)中重要的學(xué)習(xí)工具，它能將許多數(shù)學(xué)問題直觀化，教學(xué)中我們應(yīng)合理利用數(shù)軸輔助學(xué)生學(xué)習(xí)相反數(shù)、絕對值等數(shù)學(xué)知識。在實數(shù)軸上，到原點距離相等且在原點的兩側(cè)的兩個點是相反數(shù)，而表示這個數(shù)的點到原點的距離是絕對值。通過數(shù)軸這個形，學(xué)生很容易理解有關(guān)數(shù)的概念。

2.數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)中用代數(shù)方法解決幾何問題的橋梁。初中數(shù)學(xué)中，幾何學(xué)習(xí)離不開代數(shù)的計算，例如在角、線段、平行線的教學(xué)中，除了要求學(xué)生會認(rèn)角、會表述角、會看線段、表述線段、會認(rèn)平行線中的同位角、內(nèi)錯角等幾何知識外，還要求學(xué)生對其中的角、線段進行正確計算。又如在直角三角形教學(xué)中，代數(shù)中的勾股定理、三角函數(shù)知識是解決幾何問題的重要手段。因此，靈活變通地利用數(shù)形結(jié)合思想能有效地解決幾何難點問題。

3.在坐標(biāo)系中，利用函數(shù)圖像得出函數(shù)性質(zhì)，并解決實際問題，從而提高學(xué)生能力。函數(shù)的知識貫穿整個初中數(shù)學(xué)的教學(xué)，在初中數(shù)學(xué)中占很重要的部分，從七年級的反比例函數(shù)、八年級的一次函數(shù)到九年級的二次函數(shù)，在知識由淺入深的學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想始終在逐步滲透。在教學(xué)中，從圖像到性質(zhì)，再到解決實際問題，都體現(xiàn)數(shù)與形的完美結(jié)合。尤其是二次函數(shù)是整個初中教學(xué)的難點，中考最后一道大題就是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合思想的最充分

1.學(xué)會在代數(shù)中巧妙構(gòu)造幾何圖形，從而順利用幾何圖形解決代數(shù)問題。例1：已知拋物線y=a（x+1）（x-）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，則能使△ABC為等腰三角形的拋物線的條數(shù)有（ ）條。此題直接用代數(shù)方法求解比較困難，但是如果能畫出圖形，把抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖像，從所畫的等腰三角形入手，通過對出現(xiàn)的各種可能的等腰三角形的仔細(xì)分析，最終才能得出正確的答案，因此，只有找到正確的方法，才能使復(fù)雜問題簡單化。

2.學(xué)會巧妙從所給的幾何圖形中觀察并分析出內(nèi)含的代數(shù)關(guān)系，從而解決實際問題。在一些函數(shù)問題中，可根據(jù)函數(shù)圖像，直觀地觀察出點的坐標(biāo)、線段的長度及圖像與X軸Y軸的交點情況等，較容易的將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過計算求解。例2：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x2+bx+c（c＞0）的圖像與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M。①求出二次函數(shù)的關(guān)系式；②點P為線段MB上的一個動點，過點P作x軸的垂線PD，垂足為D，OD=m，△PCD的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出m的取值范圍。這是一道幾何與函數(shù)的綜合題，題中設(shè)計的問題由簡單到復(fù)雜。此題是借助圖像探索由形到數(shù)的密切聯(lián)系，我們要讓學(xué)生深切體會到形數(shù)轉(zhuǎn)換的美妙之處，形與數(shù)密不可分。能把圖形信息正確轉(zhuǎn)為代數(shù)信的體現(xiàn)之處。從二次函數(shù)的圖像中可判斷出a、b、c的符號及對稱軸和頂點坐標(biāo)。在拋物線的平移、旋轉(zhuǎn)的過程中可看出對稱軸及頂點坐標(biāo)的變化情況，繼而可求出變換后的拋物線解析式。只有熟練掌握a、b、c在圖像中的作用，并且對圖像在坐標(biāo)系中與X軸Y軸交點，對稱軸、頂點坐標(biāo)等代數(shù)知識熟練掌握，才能對二次函數(shù)活學(xué)、活用。只有在平時的教學(xué)中逐步引導(dǎo)學(xué)生空間的形與抽象的數(shù)巧妙結(jié)合，才能真正提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

4.利用數(shù)形結(jié)合使得應(yīng)用題由復(fù)雜到簡單，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用起到事半功倍的作用。應(yīng)用題在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，并且難度較大，許多學(xué)生解決起來較棘手，在七年級一元一次方程的實際應(yīng)用中，行程問題是重點也是難點，教會學(xué)生仔細(xì)讀題，從給的已知中找出重點信息畫出線段圖，分析時間、速度、路程的關(guān)系，便可容易地找出等量關(guān)系，從而準(zhǔn)確列出方程，解決問題。在八年級，解決手機收費哪種便宜的應(yīng)用題時，如果能在同一坐標(biāo)系準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)圖像，學(xué)生就能從圖像中清晰地比較出結(jié)果。從圖像入手，可使較復(fù)雜的應(yīng)用題變得淺顯易懂，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)充滿信心，也對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，感覺數(shù)學(xué)不再枯燥。

三、數(shù)形結(jié)合的教學(xué)實例在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，我們首先應(yīng)讓學(xué)生意識數(shù)與形的密切關(guān)系，其次培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)具體題目具備以下能力。息是學(xué)生能順利解決問題的關(guān)鍵。

由以上對初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的探討，我深刻感受到在整個中學(xué)階段對學(xué)生深入滲透數(shù)形結(jié)合思想對提高解題能力極為重要。在平時的日常教學(xué)中，指引學(xué)生從形中覓數(shù)、在數(shù)中思形，借助坐標(biāo)系、幾何圖形、折紙、實物教具等，時時滲透數(shù)形思想在解決實際問題中的美妙所在，真正做到讓學(xué)生靈活掌握，使問題得以簡單化，從而達(dá)到優(yōu)化解題過程的目的?？傊诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，結(jié)合教材內(nèi)容，把數(shù)形結(jié)合思想作為一種提高學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)工具，在整個初中階段持之以恒的滲透，不但我們的教學(xué)水平能得以提高，學(xué)生也能在中考中取得優(yōu)異成績。

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