張民悅，岳 磊

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

現(xiàn)代各類電子產(chǎn)品和機(jī)械系統(tǒng)復(fù)雜繁瑣，種類多樣?；炻?lián)系統(tǒng)的可靠性分析是系統(tǒng)可靠性研究的重要內(nèi)容之一。目前該系統(tǒng)已被用于機(jī)械系統(tǒng)、電子元件系統(tǒng)以及質(zhì)量與控制系統(tǒng)等工程領(lǐng)域。關(guān)于混聯(lián)系統(tǒng)的可靠性分析，已有了較為詳細(xì)的討論。曹晉華[1]假定元件的失效率為常量和變量時，分別給出了常見的混聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠度和平均壽命的計(jì)算方法；范金城[2]給定了Bayes參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型，討論了參數(shù)連續(xù)型與離散型的后驗(yàn)密度函數(shù)；師小琳[3]在逐次截尾樣本下，研究電子元件混聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的估計(jì)問題；王玉芳[4]在定數(shù)截尾缺失的數(shù)據(jù)樣本之下，研究了不可修n中取m串連續(xù)k失效系統(tǒng)的可靠性評估問題；而Sarhan A.M[5]利用貝葉斯和經(jīng)驗(yàn)貝葉斯過程，進(jìn)行了非參數(shù)的概率密度估計(jì)；孫天宇和Wu Shuo-Jye[6-7]都討論了Bull-XII 分布在具有隨機(jī)移走逐步增加截尾模型下可靠性指標(biāo)的Bayes 估計(jì)，前者利用Monte Carlo 方法對各種估計(jì)結(jié)果進(jìn)行了模擬分析，而后者還構(gòu)建了精確的置信區(qū)間和區(qū)域的參數(shù);蔣仁言等[8-10]分別探討了利用蒙特卡諾模擬(MCS)方法，通過統(tǒng)計(jì)分析得到隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征,解決可靠性問題與復(fù)雜的性能函數(shù)。與以上不同，本文利用Monte Carlo 方法建立隨即模型，并基于逐步增加的Type-Ⅱ截尾，討論了混聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes 估計(jì)。最后給出隨機(jī)模擬的例子。

1 混聯(lián)系統(tǒng)的蒙特卡諾方法及建模

1.1 蒙特卡諾方法

系統(tǒng)的可靠性建模，可以利用蒙特卡諾方法來完成，它是用來解決數(shù)學(xué)和物理問題的非確定性(概率統(tǒng)計(jì)的或隨機(jī)的)數(shù)值方法，特別是當(dāng)一個系統(tǒng)的輸入變量較多，且比較復(fù)雜的情況下，用來建立系統(tǒng)輸出的隨機(jī)模型特別方便，因此它被廣泛用于解決工程實(shí)際問題。由文獻(xiàn)[9]，此方法包括仿真和綜合兩部分(如圖1所示)，仿真部分將依據(jù)物理過程進(jìn)行建模和計(jì)算，首先建立一個所測參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，在運(yùn)用偽隨機(jī)方法服從給定分布的偽隨機(jī)數(shù)來模擬實(shí)際的測量序列，最后按照所建立的數(shù)學(xué)模型對產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行仿真計(jì)算，得出仿真的結(jié)果；而綜合部分是根據(jù)仿真結(jié)果進(jìn)行大樣本集合的統(tǒng)計(jì)分析來估計(jì)真實(shí)結(jié)果。

圖1 蒙特卡諾方法的仿真與綜合圖

1.2 混聯(lián)系統(tǒng)的模擬方法建模

決定系統(tǒng)的輸入與輸出之間的功能模型或者數(shù)學(xué)模型完成這一過程，需要有關(guān)被研究的系統(tǒng)知識，即工程背景的知識。例如在液晶電視接收機(jī)中，其系統(tǒng)的部分核心包括公共通道，與此連接的有亮度通道、色度通道以及伴音通道等，組成的混聯(lián)系統(tǒng)部分框圖，如圖2所示。

圖2 液晶電視機(jī)組成部分框圖

可以建立上述公共通道與輸出之間的系統(tǒng)核心部分為混聯(lián)系統(tǒng)模型，該模型抽象為系統(tǒng)包括四個元件構(gòu)成(見圖3)。

圖3 混聯(lián)系統(tǒng)圖

元件所處的狀況為系統(tǒng)的輸入，系統(tǒng)所處的狀況為系統(tǒng)的輸出。設(shè)四個元件的可靠度分別為Ri=1-Fi(i=1,2,3,4)，其中Fi為元件的分布函數(shù)，則系統(tǒng)的輸入與輸出的關(guān)系為

R=1-{1-[1-(1-R1)(1-R2)]·R4}(1-R3)

(1)

用模擬的方法來求系統(tǒng)的可靠性。用xi(i=1,2,3,4)分別代表單元1，2，3，4的狀態(tài)，并定義：xi=1(工作狀態(tài))和xi=0(失效狀態(tài))，生成四列各為n個均勻隨機(jī)數(shù)，分別用pi(i=1,2,3,4)記這四列均勻隨機(jī)數(shù)。這樣有pi和xi的關(guān)系定義如下：

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[8],用xs和xp分別代表由兩元件x1和x2構(gòu)成串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)，

(3)

因此可以得到混聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài):x=x4(1-x3)(x1+x2-x1x2)+x3

2 Type-Ⅱ截尾下的系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)

表1 逐步增加的Type-Ⅱ截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)

令t=(T1,n,T2,n,…,Tm,n)。由文獻(xiàn)[3]知在上述截尾樣本下，樣本t的似然函數(shù)為

(4)

(5)

(6)

(7)

根據(jù)上述內(nèi)容與圖3所示的混聯(lián)系統(tǒng)模型，可以假設(shè)各元件的壽命均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，分布函數(shù)。F(t)=1-exp(-λt),(i=1,2,3,4)根據(jù)式(1)，可以得到系統(tǒng)的可靠度與平均壽命分別為

(8)

(9)

于是式(6)、(8)、(9)在平方損失下，混聯(lián)系統(tǒng)可靠度和平均壽命的Bayes估計(jì)分別為

(10)

(11)

3 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes(EB)估計(jì)

在上述混聯(lián)系統(tǒng)中，得到了系統(tǒng)的可靠度和平均壽命的Bayes估計(jì)，此時超參數(shù)μ未知，單純利用Bayes方法或極大似然方法效果都不理想，此時考慮將Bayes方法和極大似然方法結(jié)合起來，可以先用Bayes方法消去多余參數(shù)，然后利用極大似然方法估計(jì)其值。根據(jù)文獻(xiàn)[11],由于只有很弱的先驗(yàn)信息，應(yīng)該使用經(jīng)驗(yàn)Bayes的思想從樣本信息中構(gòu)造先驗(yàn)分布，把μ看成是已定的參數(shù)，再結(jié)合樣本及上述內(nèi)容，λ的先驗(yàn)分布為π(λ|μ)，由于每個部件的壽命T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，對λ積分可消去多余參數(shù)，因此可得T的邊緣密度函數(shù)和可靠度函數(shù)分別為

=μ(t+μ)-2

(12)

=μ(t+μ)-1

(13)

在似然函數(shù)式(4)，取g(ti)=gT(ti),F(ti)=GT(ti),則似然函數(shù)為

(14)

下面用極大似然估計(jì)(MLE),求μ的極大似然估計(jì)。

(15)

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[4]，由于g1(μ)>0，且g1(μ)→∞(μ→0),g1(μ)→0(μ→∞)

(17)

所以gi(μ)在(0,∞)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞減的凹函數(shù)。同理可得g2(μ)>0，且g2(μ)在(0,∞)內(nèi)同樣也是嚴(yán)格單調(diào)遞減的凹函數(shù)，有

(18)

(19)

則將最終μ的迭代值μ*分別代入式(7)、(10)、(11)可得到混聯(lián)系統(tǒng)元件的失效率、混聯(lián)系統(tǒng)的可靠度以及平均壽命的EB估計(jì)，分別為

(20)

(21)

4 算例分析

如圖3所示的混聯(lián)模型中，設(shè)元件的可靠性為Ri，i=1,2,3,4,其中R1=0.75，R2=0.65,R3=0.83,R4=0.85,根據(jù)式(1)，可以得到此混聯(lián)系統(tǒng)的可靠度為R=0.9619。

用蒙特卡諾方法來求系統(tǒng)的可靠性。根據(jù)式(3)中pi和xi的關(guān)系定義如下：

(22)

(23)

利用Excel里的RAND()函數(shù)可以產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的四列各為100個的均勻偽隨機(jī)數(shù)，用上述記號pi,i=1,2,3,4分別記這四列均勻隨機(jī)數(shù)。按照以上原理，在這100次模擬結(jié)果中，由出現(xiàn)x=0的次數(shù)為11次。所以模擬的混聯(lián)系統(tǒng)可靠性為0.89，數(shù)據(jù)比較接近其理論真實(shí)值，若將模擬的次數(shù)增加時，如200次，500次，模擬結(jié)果將更為準(zhǔn)確，如表2所示。

表2 蒙特卡諾模擬試驗(yàn)結(jié)果1

由表2可以看出，此混聯(lián)系統(tǒng)隨模擬次數(shù)的增加，通過計(jì)算，x=0出現(xiàn)次數(shù)也在增加，同樣混聯(lián)系統(tǒng)的可靠性逐漸提高，模擬計(jì)算結(jié)果更接近真實(shí)值。

表3 蒙特卡諾模擬試驗(yàn)結(jié)果2

由表3所示的蒙特卡諾模擬結(jié)果看，混聯(lián)系統(tǒng)的可靠度和平均壽命經(jīng)驗(yàn)的Bayes與理論真實(shí)值的均方誤差MSEμ較小，當(dāng)模擬的次數(shù)增加時，此均方誤差逐漸減小，即經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)在理論基礎(chǔ)上有明顯的優(yōu)越性。蒙特卡諾方法是一種仿真，通過建立模型產(chǎn)生相應(yīng)分布的隨機(jī)數(shù)，來模擬實(shí)際存在的過程，并且分析相關(guān)結(jié)果；而隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)分析是對實(shí)際數(shù)據(jù)的抽樣分析；相比之下，前者能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性事物的特點(diǎn)及實(shí)驗(yàn)過程、受幾何條件限制小、誤差容易確定、程序結(jié)構(gòu)簡單易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，說明該方法處理混聯(lián)系統(tǒng)問題的正確性與可行性。在實(shí)際工程中，元件的失效率往往是未知的，特別是新研制的電子元件，根據(jù)上述元件失效率、系統(tǒng)可靠度和平均壽命的仿真結(jié)果，通過該解決可靠性問題的方法，有助于尤其對未知失效率的元件的情況進(jìn)行分析，具有很大優(yōu)勢。

5 結(jié)束語

以復(fù)雜的混聯(lián)系統(tǒng)為研究對象，利用Monte Carlo方法建立隨機(jī)模型，并假定該模型具有隨機(jī)移走的逐步增加Type-Ⅱ截尾。采用Bayes與極大似然估計(jì)相結(jié)合的方法，研究了可靠性的模擬問題，得到了混聯(lián)系統(tǒng)部件的失效率、系統(tǒng)可靠度和平均壽命的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)，給出算例并分析。結(jié)果表明蒙特卡諾模擬方法能夠較好地完成在給定條件下生成隨機(jī)序列，進(jìn)行系統(tǒng)的EB估計(jì)。研究混聯(lián)系統(tǒng)的可靠性指標(biāo)問題，可為可靠性工程問題提供一種解決方案，優(yōu)化產(chǎn)品的質(zhì)量。

[1] 曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論[M].第二版.北京:科學(xué)出版社,2006:3-321.

[2] 范金城,吳可法.統(tǒng)計(jì)推斷導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,2001:215-246.

[3] 師小琳.逐次截尾樣本下電子元件混聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的EB估計(jì)[J].現(xiàn)代電子技術(shù),2008,31(12):1-3.

[4] 王玉芳.定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場合下k(m)/n系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012,11(4):26-31.

[5] Sarhan A M.Empirical Bayes estimates in exponential reliability model[J].Applied Mathematics and Computation，2003,135(2):319-332.

[6] 孫天宇,師義民,王亮.Burr-XII分布在具有隨機(jī)移走逐步增加截尾模型下的可靠性指標(biāo)的Bayes估計(jì)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2012,7(32):1476-1484.

[7] Wu Shuo-Jye,Chen Yi-Ju,Chang Chun-Tao.Statistical inference based on progressively censored samples with random removals from the Burr type XII distribution [J].Journal of Statistical Computation and Simulation,2007,77(1):19-27.

[8] 蔣仁言,左明健.可靠性數(shù)學(xué)模型與應(yīng)用[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1999:52-66.

[9] 崔偉群,杭晨哲.基于蒙特卡羅方法評定不確定度中相關(guān)隨機(jī)變量模擬[J].現(xiàn)代測量與實(shí)驗(yàn)室管理,2010,18(4):24-27.

[10]Ehsan Jahani,Mohsen A.Shayanfar,Mohammad A.Barkhordari.A new adaptive importance sampling Monte Carlo method for structural reliability[J].KSCE Journal of Civil Engineering,2013,17(1):210-215.

[11]Indrani Basak,Prasanta Basak,Balakrishnan N.On Some Predictors of Times to Failure of Censored Items in Progressively Censored samples[J].Computational Statistics & Data Analysis,2006,50(5):1313-1337.