雷騰飛，王清花

(1.西京學(xué)院 控制工程學(xué)院，西安 710123；2.新泰天寶一中，山東 新泰 271211)

自1963年 Lorenz 提出第一個(gè)混沌模型以來[1～3]，人們對(duì)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生極大的興趣.近幾十年，混沌系統(tǒng)的構(gòu)造一直被人們關(guān)注，不少學(xué)者提出以Lorenz系統(tǒng)為基礎(chǔ)的若干變形的新混沌系統(tǒng)，如Chen系統(tǒng)[2]，Lü系統(tǒng)[3]，Liu系統(tǒng)[4]等[5～7].由于混沌理論在圖像數(shù)據(jù)加密[8]、信號(hào)檢測與處理[9]、機(jī)電控制系統(tǒng)[10]等方面的工程得到廣泛應(yīng)用.則構(gòu)造新的簡單混沌系統(tǒng)成為混沌應(yīng)用研究的熱點(diǎn)問題[4～7].

對(duì)初值的敏感性和長時(shí)間發(fā)展的不可預(yù)測性是混沌系統(tǒng)最顯著的特點(diǎn)，混沌振蕩產(chǎn)生危害在現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，如何有效地抑制或消除混沌現(xiàn)象，已經(jīng)引起全球眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注. 1990 年 ， OttE等人提出了OGY方法;同年P(guān)ecora L M 提出了混沌同步思想.近年來 ，混沌同步的研究得到蓬勃發(fā)展，該研究方向迅速成為混沌控制領(lǐng)域的重要熱點(diǎn)[7～11]．人們提出了多種混沌同步的思路和方法，比如狀態(tài)反饋方法、變結(jié)構(gòu)控制方法、自適應(yīng)控制方法[11]、觀測器方法[11]等 ，多數(shù)方法取得了良好的控制效果．但研究的系統(tǒng)大多數(shù)集中在以上幾個(gè)系統(tǒng)及分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)[10～11]，但對(duì)經(jīng)典Lorenz系統(tǒng)稍微改變非線性項(xiàng)，即是一類復(fù)雜的混沌系統(tǒng).

本文首先在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一類新的混沌系統(tǒng)，對(duì)其通過數(shù)值仿真系統(tǒng)的吸引子圖、分岔圖以及Lyapunov指數(shù)研究了該系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性；同時(shí)為了在實(shí)際中更好地應(yīng)用此系統(tǒng)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)的硬件電路并進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步說明系統(tǒng)的客觀存在性，最后利用 Lyapunov 函數(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的自適應(yīng)同步控制器，將兩個(gè)初始值參數(shù)未知混沌系統(tǒng)行為同步，數(shù)值仿真證實(shí)了該方法的有效性與可實(shí)現(xiàn)性.

1 混沌系統(tǒng)的分析

根據(jù)Lorenz的混沌系統(tǒng)[1]，

(1)

在此基礎(chǔ)上重新改寫非線性項(xiàng)，則新的混沌系統(tǒng)如下:

(2)

其中x，y，z為系統(tǒng)變量，a，b，c，d為系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)a=35，b=12，c=40，d=0．7，系統(tǒng)(2)存在一個(gè)混沌吸引子如圖1所示，此時(shí)的Lyapunov指數(shù)穩(wěn)態(tài)值分別為LE1=1．39、LE2=0．048、LE3=48．5，維數(shù)dL=2．03.

圖1 三渦卷混沌吸收引子

1．1耗散性

新系統(tǒng)為耗散系統(tǒng)，由(2)式得：

這就意味著系統(tǒng)(2)具有耗散性，且以指數(shù)速率收斂，當(dāng)t→∞時(shí)，包含系統(tǒng)軌線的每個(gè)體積元以指數(shù)速率收縮到0.因此，所有系統(tǒng)軌線最終會(huì)限制在一個(gè)體積為零的集合上，且漸近固定在一個(gè)吸引子上，即說明吸收引子存在性.

1．2平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

(3)

及多項(xiàng)式為

f(λ)=λ3+A2λ2+A1λ+A0.

(4)

令f(λ)=0， 將E0=(0，0，0) 代入 (4)， 選取參數(shù)a=35，b=12，c=40，d=0．7，求出λ1=23，λ2=-12，λ3=-59，其中λ1為正實(shí)根，λ2，λ3是負(fù)實(shí)根，根據(jù)Routh——Hurwitz判據(jù)，E0為不穩(wěn)定鞍結(jié)點(diǎn).

λ1=2．024 5+25．175 9i，

λ2=2．024 5-25．175 9i，

λ3=-51．748 9，

其中λ3為負(fù)實(shí)根，λ1，λ2是正實(shí)部的共軛復(fù)數(shù).根據(jù)Routh——Hurwitz判據(jù)，E1為不穩(wěn)定的焦結(jié)點(diǎn)，同樣E2也為不穩(wěn)定的焦結(jié)點(diǎn).

由以上分析可知，三個(gè)平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的鞍或者焦結(jié)點(diǎn)，且是雙渦卷混沌吸引子.

1．3 Lyapunov 指數(shù)及分岔圖

參數(shù)的變化，從系統(tǒng)三個(gè)方向的Lyapunov指數(shù)和分岔圖，可以直觀看出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，下面就增加的兩個(gè)參數(shù)下系統(tǒng)的Lyaunov指數(shù)與分岔圖進(jìn)行討論研究.

固定參數(shù)b=12，c=40，d=0．7，從圖2(a)可以看出，當(dāng)a∈[20，40]系統(tǒng)出現(xiàn)了一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).當(dāng)a∈[0，20]，最大的Lyapunov指數(shù)為0，系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)形式，如圖2(a).同理可以分析其他參數(shù).

固定參數(shù)a=35，c=40，d=0.7.從圖2(a)可以看出，當(dāng)a∈[10，40]U[1，2]系統(tǒng)出現(xiàn)了一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，如圖2(b)與圖3(a).對(duì)于參數(shù)c變化對(duì)系統(tǒng)影響如圖2(c)所示，對(duì)于參數(shù)d對(duì)系統(tǒng)影響如圖3(b)所示.

2 系統(tǒng)電路原理圖及方程

對(duì)新的混沌系統(tǒng)(1)進(jìn)行電路設(shè)計(jì)，根據(jù)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)表達(dá)式，設(shè)計(jì)電路圖如圖4.系統(tǒng)(2)是由線性電阻，電容，運(yùn)算放大器LM741和模擬乘法器AD633來實(shí)現(xiàn)的.因?yàn)長M741與AD633允許工作電壓的限制，故將輸出電壓線性縮小為原來的0．1倍.

圖4 系統(tǒng)(2)的電路原理圖

根據(jù)電路圖 ，寫出其相應(yīng)的振蕩電路方程為

運(yùn)用Mutisim10對(duì)電路進(jìn)行了仿真，將水平軸線進(jìn)行了調(diào)整，顯示在示波器上且為實(shí)時(shí)顯示.從仿真波形看，波形軌跡不重合，因此電路實(shí)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象.

圖5 系統(tǒng)(1)的仿真相圖

混沌電路的搭建應(yīng)該注意兩個(gè)重要問題：1)對(duì)于電阻誤差精度的選擇，建議選擇1%以下的電阻，對(duì)于非標(biāo)的電阻可以通過串并實(shí)現(xiàn).2)對(duì)于供電系統(tǒng)的選擇，采用線性穩(wěn)壓電源，盡量避開開關(guān)電源的使用，因開關(guān)電源紋波較大，對(duì)于輸出波形干擾較大.

上述的理論分析和數(shù)值仿真以及電路系統(tǒng)仿真均證明了新的一類混沌系統(tǒng)具有混沌系統(tǒng)共有的一切特征，因?yàn)槠鋮?shù)多和電路的可容易實(shí)現(xiàn)性，則該系統(tǒng)具有更多的潛在的應(yīng)用價(jià)值如電路的抗干擾性，混沌通信和圖像加密以及檢測等.

3 自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)

為了更好地研究本系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一種很簡單的同步控制器，加以控制．

定義驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為系統(tǒng)

(6)

響應(yīng)系統(tǒng)為

(7)

式子(7)中u為控制輸入，參數(shù)a，b，c，d是未知的.定義誤差為定義誤差

(8)

取Lyapunoy函數(shù)

(9)

函數(shù)V的導(dǎo)函數(shù)

(10)

取控制率

(11)

自適應(yīng)率

(12)

則

(13)

(14)

兩邊積分

(15)

同理可以證明ey，ez∈L2根據(jù)Barbalat引理，當(dāng)t→∞，有ex，ey，ez→0，誤差收斂零，則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(6)與響應(yīng)系統(tǒng)(7)同步.

4 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證上述同步控制器的有效性，對(duì)該方法用matlab進(jìn)行了仿真.取參數(shù)a=35，b=12，c=40，未知參數(shù)d=0．6，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.取兩系統(tǒng)的初始條件分別是：x1(0)=-1，y1(0)=1，z1(0)=1，x2(0)=53，y2(0)=-56，z2(0)=56，d*(0)=1仿真的同步結(jié)果與誤差結(jié)果如圖6、圖7.由圖可見當(dāng)t接近5 s左右時(shí)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)三個(gè)狀態(tài)量都達(dá)到了同步.

5 結(jié)論

本文對(duì)在Lorenz系統(tǒng)的基礎(chǔ)上改進(jìn)一類新的系統(tǒng)，進(jìn)行數(shù)值仿真和電路仿真發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)的混沌吸引子形狀有別于Lorenz 系統(tǒng).通過計(jì)算了該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性、數(shù)值仿真和電路仿真驗(yàn)證了該系統(tǒng)豐富的動(dòng)力學(xué)特性.基于 Lyapunov穩(wěn)定性原理，設(shè)計(jì)一種的自適應(yīng)同步控制器，實(shí)現(xiàn)了新的混沌系統(tǒng)的同步．得出仿真結(jié)果， 從而證實(shí)了該方法的可行性及可實(shí)現(xiàn)性.本文研究的系統(tǒng)參數(shù)較多，并且可以用電子振蕩器電路來實(shí)現(xiàn)，所以該系統(tǒng)可廣泛應(yīng)用于電圖像加密等領(lǐng)域，當(dāng)然也是作者下一步的研究方向．

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