陳海平,張 杭,路 威,張 江

(1.解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院,江蘇南京210007;2.總參第63研究所,江蘇南京210007)

時變混合系統(tǒng)的在線FastICA算法*

陳海平1,張 杭1,路 威1,張 江2

(1.解放軍理工大學(xué)通信工程學(xué)院,江蘇南京210007;2.總參第63研究所,江蘇南京210007)

現(xiàn)有的多數(shù)盲源分離(BSS,Blind Source Separation)算法都是假設(shè)混合系統(tǒng)是時不變的,然而在實際的通信系統(tǒng)中混合系統(tǒng)常常是時變的。傳統(tǒng)的快速不動點(FastICA)算法具有快速收斂的優(yōu)點,但是不能直接用于處理混合系統(tǒng)時變的盲源分離問題。為了提高盲源分離算法的收斂速度和對時變混合系統(tǒng)的跟蹤性能,改進了傳統(tǒng)FastICA算法,將混合信號分段,在各段樣本中估計峭度并采用批處理的方法進行分離。仿真實驗表明,改進后的FastICA算法能在時變環(huán)境中跟蹤混合系統(tǒng)的時變,并能有效地抗多音干擾。

盲源分離 時變 快速不動點算法 收斂速度 在線算法

0 引 言

盲源分離是在源信號和信道未知的條件下,根據(jù)源的獨立性,僅利用傳感器輸出的混合信號來實現(xiàn)源信號的分離的過程[1],是信號處理領(lǐng)域和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域的研究熱點之一。在無線通信系統(tǒng)中,由于信號源或接收端運動等因素影響,無線信道往往是時變的。因此,研究時變混合盲源分離算法具有重要的意義。

然而,大部分盲分離算法都是在假設(shè)混合系統(tǒng)時不變的條件下得到的,如特征矩陣聯(lián)合近似對角化(JADE)算法[2]、快速不動點算法(FastICA)及其改進算法[3-4]等,這些算法無法實時跟蹤混合系統(tǒng)的時變,因此不能用來解決時變混合盲分離問題。

根據(jù)對數(shù)據(jù)處理方式的不同,盲分離算法可分為在線算法(或自適應(yīng)算法)和批處理算法。通過在線算法估計的分離矩陣既與前一時刻估計的分離矩陣有關(guān),還與當(dāng)前時刻的觀測信號有關(guān),因此,在線算法具有跟蹤時變混合系統(tǒng)的能力。而批處理算法則不具備這種能力,如果在時變混合系統(tǒng)中采用基于混合系統(tǒng)時不變假設(shè)的批處理算法,恢復(fù)的源信號往往是錯誤的。很多經(jīng)典的盲源分離算法可用于解決時變混合的盲源分離問題,如基于獨立性的等變自適應(yīng)(EASI,Equivariant Adaptive Separation via Independence)盲源分離算法,非線性主元分析(NPCA,Nonlinear Principal Component Analysis)算法等,但是這些算法收斂速度慢,當(dāng)混合信道變化很快時無法跟蹤信道變化。

為了提高算法收斂速度和對時變混合系統(tǒng)的跟蹤性能,文中將借鑒傳統(tǒng)FastICA算法的快速收斂、迭代簡潔等優(yōu)點,但是由于FastICA算法屬于批處理算法,它是以四階累積量(即峭度)作為非高斯性的度量,基于不動點迭代推導(dǎo)而來的,無法跟蹤混合系統(tǒng)的時變。因此,文中考慮改進FastICA算法,使之能夠跟蹤混合系統(tǒng)的時變,實現(xiàn)在時變混合條件下的盲源分離?？紤]到峭度作為非高斯性的度量,不能用單個樣點值估計,必須以一定數(shù)量的采樣點才能比較準(zhǔn)確地估計出來,因此,文中將采用分段批處理的方法改進FastICA算法,使之既保持FastICA算法快速收斂和迭代形式簡潔的優(yōu)點,又能跟蹤時變混合系統(tǒng)。

1 問題描述

1.1 時變混合盲源分離

時變混合盲源分離的模型如圖1所示。

圖1 時變混合盲源分離模型Fig.1 Time-varying BSS model

假設(shè)具有n個相互統(tǒng)計獨立分量的源信號矢量s(t)=(s1(t),s2(t),…,sn(t))T中,至多只有一個分量是高斯的,其中t=1,2,…,L表示采樣時刻,L為采樣長度。經(jīng)過時變系統(tǒng)混合后,得到觀測信號(或混合信號)矢量x(t)=(x1(t),x2(t),…,xm(t))T,其中m為觀測信號的分量個數(shù),本文考慮m=n(即適定混合)的情況?；旌线^程可由下式表示:

其中n(t)=(n1,n2,…,nn)T是系統(tǒng)中的噪聲矢量, A(t)是時變混合矩陣。

盲源分離的主要任務(wù)是使觀測信號x(t)= (x1(t),x2(t),…,xm(t))T通過盲分離算法分離后,得到的分離信號y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T的各個分量盡可能統(tǒng)計獨立。

對觀測數(shù)據(jù)進行白化預(yù)處理有助于簡化對數(shù)據(jù)的后續(xù)分離,在時變環(huán)境中,一般采用在線白化的方法來實現(xiàn)觀測信號的白化預(yù)處理,白化信號z(t)= (z1(t),z2(t),…,zn(t))T可由以下迭代公式得到:

其中Q(t)為t時刻的白化矩陣,η為迭代步長,I為單位矩陣。然后為白化信號尋找一個合適的分離矩陣W(t),使得白化信號z(t)經(jīng)過W(t)后得到各分量盡可能獨立的分離信號y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T,即

由于盲源分離問題存在順序和幅度的不確定性,當(dāng)全局矩陣G=W(t)Q(t)A(t)可表示成置換矩陣和對角陣的乘積時,即可認(rèn)為y(t)是源信號s(t)的有效估計。

1.2 時變混合系統(tǒng)

在時變混合盲源分離中,常常用時變混合矩陣來描述混合系統(tǒng)的時變。文中考慮混合方式為時變線性瞬時混合的情形,并把時變混合矩陣A(t)建模成漸變模型。

為了表示方便,在時變混合系統(tǒng)中建立直角坐標(biāo)系,如圖2所示。源S1和S2(S2與坐標(biāo)軸原點O重合)以及一個傳感器X1固定,而另一個傳感器X2以一定的速度v在x軸上的B、C兩點之間來回運動,S1X1與x軸平行。若只考慮自由空間損耗,則可認(rèn)為傳感器接收到的信號的衰減因子為其與源之間的距離平方的倒數(shù)[5],因此圖2所示的時變混合矩陣可表示為

隨著傳感器X2的不斷運動,混合矩陣不斷變化,于是得到一個漸變的混合系統(tǒng)。由于源和傳感器之間發(fā)生了相對運動,必然產(chǎn)生多普勒頻移,即傳感器接收到的信號是經(jīng)過多普勒頻移的混合信號,經(jīng)算法分離后得到的信號也是帶多普勒頻移的信號。一般而言,通信系統(tǒng)接收端有消除多普勒頻移的處理,但這并不是盲源分離算法解決的問題,所以,文中不予討論。

圖2 時變混合系統(tǒng)模型Fig.2 Time-varying mixing system model

2 FastICA算法

FastICA算法由芬蘭赫爾辛基工業(yè)大學(xué)學(xué)者提出,是盲源分離算法中一種快速有效的典型批處理算法,這種算法因無需設(shè)置迭代步長,迭代形式簡單,且收斂速度快而被廣泛運用。

FastICA算法往往以峭度作為非高斯性的度量,可定義以下代價函數(shù)[3]:

其中w是W的列向量。對上式求導(dǎo),可得代價函數(shù)對w的梯度:

考慮到數(shù)據(jù)經(jīng)過白化后有:E{(wTz)2}=‖w‖2=1,因此,可以得到FastICA算法的迭代公式:

在實際中,我們用所有樣點的統(tǒng)計平均值來估計式(7)中的峭度和數(shù)學(xué)期望[6],然而,在時變混合盲源分離中,由于系統(tǒng)時變,要求以在線的方式對混合數(shù)據(jù)進行實時處理,因此FastICA算法不能直接用于解決時變混合盲源分離問題。為此,我們改進了FastICA算法。

3 改進的FastICA算法

在時變混合系統(tǒng)中必須采用在線算法進行實時處理,而要想使用式(5)有效地估計峭度,又要求利用更多的數(shù)據(jù)通過批處理的方式進行估計,為了解決這個矛盾,考慮如圖2所示的時變混合信道,當(dāng)傳感器以低于50 km/h的速度運動時,在一段較短的時間間隔內(nèi)混合矩陣變化很小,可以認(rèn)為混合信道是基本時不變的,這時可以利用傳統(tǒng)的FastICA算法進行分離,并且段與段之間實現(xiàn)在線處理。

首先將L個采樣點等分成若干段,定義一個新的代價函數(shù):

其中,H(t)是一個寬度為τ的窗函數(shù),設(shè)當(dāng)前處理第k段數(shù)據(jù),則窗函數(shù)可表示為:

由式(8)可知,新的代價函數(shù)可以通過分段的方式進行近似在線估計,對w求導(dǎo),可得到新的代價函數(shù)的梯度:

若τ的取值合適,不僅可以比較準(zhǔn)確地估計出峭度,還能做以下近似替換,方便計算:

令新的代價函數(shù)的梯度與w相等,就得到一種新的不動點算法:

每次迭代后均對w做歸一化處理,即使其范數(shù)為1:

在實際應(yīng)用中,時間間隔長度應(yīng)兼顧間隔時間內(nèi)混合信道的時不變性,時間間隔越大,對峭度的估計就越準(zhǔn)確,算法的精度就越高,但同時間隔時間內(nèi)混合信道的時不變性越差;反之,間隔時間混合信道的時不變性越好,但對峭度的估計越不精確,算法的精度也越差。

我們把這種新算法稱為改進的FastICA算法,為了方便表示,記為M-FastICA算法。由以上分析可知,當(dāng)τ=L時,M-FastICA算法與FastICA算法相同;當(dāng)τ=1時,M-FastICA算法變成普通的在線算法,但此時無法估計峭度;若τ的取值合適,則既可以較為準(zhǔn)確地估計出峭度,又可以以近似在線的方式處理數(shù)據(jù),這樣就能跟蹤混合系統(tǒng)的時變。

4 仿 真

下面通過Matlab仿真驗證文中所提算法在時變混合系統(tǒng)中的分離性能。為了便于描述算法的分離性能,采用性能指數(shù)(PI)[7]和相似度[1]作為評價準(zhǔn)則,其定義如下:

式中,gij表示全局矩陣G的第i行第j列元素。PI的值越接近于零,說明算法對混合信號的分離效果越好。

相似系數(shù)ξij(t)是衡量t時刻已經(jīng)分離得到的輸出信號波形與源信號波形之間相似程度的評價指標(biāo),其定義如下[10]:

其中sj為源信號向量S的第j個源信號,yi為盲分離算法分離出的第i個信號,cov(sj,yi)=E{[sj-E[sj]][yi-E[yi]]}為sj和yi之間的協(xié)方差。

文中采用相似度系數(shù)以10為底的對數(shù):ξ=lg[ξij(t)]來描述分離信號和源信號的相似程度,則該值越接近于0,則可以認(rèn)為分離效果越理想。

窗函數(shù)H(t)的寬度為τ=1 000個采樣間隔,初始分離矩陣設(shè)為W(0)=I。

由于M-FastICA算法采用分段批處理的思想進行設(shè)計,每段數(shù)據(jù)采用相同的分離矩陣分離,對于每段數(shù)據(jù),本文選用一個PI值來表示該段的分離效果。圖3給出了NPCA算法和M-FastICA算法分段性能指數(shù)PI隨采樣點的變化關(guān)系曲線。由圖3可知,M-FastICA算法收斂速度快于NPCA算法,采用M-FastICA算法得到的第一段數(shù)據(jù)(即前1 000個樣點)的PI值較大,說明其分離效果較差,這主要是因為樣點數(shù)少,算法尚未達(dá)到收斂;從第二段數(shù)據(jù)始, PI值較小,說明分離效果較好。

圖3 NPCA算法和M-FastICA算法的相似度曲線Fig.3 PI curve of NPCA and M-FastICA algorithm

圖4給出了各段源BPSK信號與分離得到的BPSK信號的相似度曲線,由圖4可得到與圖3相似的結(jié)論,第一段分離信號與源信號的相似度遠(yuǎn)低于其余各段的相似度,自第二段數(shù)據(jù)始,分離信號與源信號的相似度達(dá)到0.99以上,分離效果較好。

圖4 NPCA算法和M-FastICA算法得到的各段數(shù)據(jù)的相似度曲線Fig.4 Similarity curves of each subsection of NPCA and M-FastICA algorithm

為進一步驗證M-FastICA算法的性能,文中還仿真了該算法的誤碼性能。仿真中干信比取JSR= 10 dB,其他仿真條件和仿真環(huán)境與前面相同,圖5給出了將混合信號直接解調(diào)得到的誤碼率和采用文中所提算法得到的誤碼率隨信噪比SNR變化曲線。

圖5 誤碼率隨信噪比變化曲線Fig.5 Curve ofthe BER versus SNR

由圖5可知,在時變環(huán)境中,M-FastICA算法的誤碼性能隨信噪比增大而提高,當(dāng)信噪比滿足SNR≥7 dB時,誤碼率隨信噪比增大而快速減小,而當(dāng)1 dB＜SNR＜7 dB時,誤碼率隨信噪比增大而緩慢減小,主要原因是M-FastICA算法采用分段方式估計峭度,估計精度不夠高,加之混合信道是時變的,所以,當(dāng)信噪較低時,誤碼性能主要受算法分離精度的影響,隨著信噪比的增加,算法的誤碼性能改善得不是很明顯。

5 結(jié) 語

FastICA算法具有收斂速度快和迭代簡單的優(yōu)點,但其屬于批處理算法,不能實時跟蹤信道變化。為了提高算法收斂速度和跟蹤時變信道的性能,文中在FastICA算法的基礎(chǔ)上,運用分段的思想將混合信號分成若干段,由于混合信道緩慢變化,因而可近似認(rèn)為在各段數(shù)據(jù)中混合信道是時不變的,因此,可在各段數(shù)據(jù)中采用FastICA算法進行分離,這樣我們就得到一種改進算法——M-FastICA算法,該算法保持了傳統(tǒng)FastICA算法簡潔的迭代。仿真實驗表明,在時變環(huán)境中,M-FastICA算法收斂速度快于NPCA算法,并且能有效地抗多音干擾。

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CHEN Hai-ping(1989-),male,graduate student,majoring in blind signal processing.

張 杭(1962—),女,碩士,教授,博士生導(dǎo)師,主要研究方向為盲信號處理,通信抗干擾等;

ZHANG Hang(1962-),female,M.Sci.,professor,doctoral tutor,mainly specialized in blind signal processing,communication anti-jamming,etc.

路 威(1978—),男,博士,副教授,主要研究方向為通信信號處理、通信抗干擾等;

LU Wei(1978-),male,Ph.D.,associate professor,maily engaged in communication signal processing,communication anti-jamming,etc.

張 江(1984—),男,博士,工程師,主要研究方向為盲信號處理等。

ZHANG Jiang(1984-),male,Ph.D.,engineer,principally working at blind signal processing,etc.

On-Line FastICA Algorithm for Time-Varying Mixing System

CHEN Hai-ping1,ZHANG Hang1,LU Wei1,ZHANG Jiang2
(1.Institute of Communication Engineering,PLA University of Science and Technology,Nanjing Jiangsu 210007,China; 2.No.63 Research Institute,PLA General Staff Headquarters,Nanjing Jiangsu 210007,China)

Most existing BSS(Blind Source Separation)algorithms are developed by assuming that the mixing matrix is invariable.However,the mixing matrix is commonly time-varying in practical communication system.The traditional fast fixed-point(FastICA)algorithm cannot directly separate the sources mixed in time-varying system,although is very fast in convergence.Thus in order to accelerate the convergence rate and improve the tracking performance for time-varying system,the FastICA algorithm is modified by dividing samples into several subsections,thus to estimate the kurtosis and separate the sources off-line in each subsection.Simulation results indicate that the modified FastICA algorithm could track the time-varying system effectively.

blind source separation;time-varying;FastICA;convergence rate;on-line algorithm

TN911.7

A

1002-0802(2014)02-0136-05

10.3969/j.issn.1002-0802.2014.02.003

陳海平(1989—),男,碩士研究生,主要研究方向為盲信號處理;

國家自然科學(xué)基金:欠定條件下基于擾信分離的信干比增強方法研究(No.61001106)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China:Signal-to-Jamming Ratio Enhancement Research based on the Separation of Interference and Signal in the Underdetermined Condition(No.61001106)