任曉華天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津300350

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)覺”

任曉華
天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院，天津300350

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，有學(xué)生主動參與的教學(xué)才是有效的教學(xué)。作為數(shù)學(xué)教師有必要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，將教學(xué)重點從數(shù)學(xué)定理的講解、證明和如何解題轉(zhuǎn)向?qū)W(xué)生“數(shù)覺”的培養(yǎng)上。只有培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)覺，才能使學(xué)生在與數(shù)學(xué)有關(guān)的心理機能方面不斷得到鍛煉，邏輯思維能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力不斷得到提升。

數(shù)學(xué)活動；數(shù)覺；意義；方法

一、對于“數(shù)覺”的理解

有的學(xué)者提出，所謂“數(shù)覺”就是對于數(shù)和數(shù)字的感覺。柳延延教授認(rèn)為，人與動物的區(qū)別就在于“對數(shù)與比較數(shù)的覺悟?qū)е氯藗兇_定了一些作為標(biāo)準(zhǔn)的集合”。對于“數(shù)覺”“這種抽象化的能力，從形而上的意義上看，是人類辨別某些事物的量之關(guān)系和這種量的關(guān)系有可能怎樣變化、怎樣與另一類量的關(guān)系發(fā)生聯(lián)系的一種能力。顯然，這是一種更高級的抽象能力，它標(biāo)志著人的思維對事物之量的變化具有了某種準(zhǔn)確預(yù)測的能力。

筆者認(rèn)為，所謂“數(shù)覺”就是學(xué)生通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)真理的知覺。也即是在與數(shù)學(xué)有關(guān)的心理機能不斷受到鍛煉、邏輯思維能力和解決數(shù)學(xué)問題能力不斷提升的同時，運用數(shù)學(xué)的思想方法，通過知識的有效遷移，觸類旁通地分析現(xiàn)實生活中的問題和解決問題的知覺，以及學(xué)生對與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題感覺的靈敏度和應(yīng)用的靈活度。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)覺”的起因

互聯(lián)網(wǎng)時代，社交網(wǎng)絡(luò)、電子商務(wù)與移動通信把人類社會帶入了以“PB”為單位的結(jié)構(gòu)與非結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)信息的新時代，一個大規(guī)模生產(chǎn)、分享和應(yīng)用數(shù)據(jù)的時代正在開啟。而數(shù)學(xué)教學(xué)還停留在原有的模式，導(dǎo)致學(xué)生厭倦上數(shù)學(xué)課，喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生學(xué)習(xí)積極性也不高，更談不上具有“數(shù)覺”。由于學(xué)習(xí)過程中沒有“數(shù)覺”這方面的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)教學(xué)與實際的生活聯(lián)系不起來，因而產(chǎn)生了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)沒有用的想法，缺乏學(xué)習(xí)動力。

改變這種現(xiàn)狀的方法就是老師在教學(xué)中可以在尊重教材、遵循知識結(jié)構(gòu)和不違反數(shù)學(xué)教學(xué)理論原則的基礎(chǔ)上，將教學(xué)的重點由學(xué)習(xí)解題方法和解題技巧向培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)覺”方面轉(zhuǎn)變。

“授人與魚，不如授人與漁”，意思就是告誡為人師者，必須重視對學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，教會學(xué)生解決具體問題的一般方法。在教學(xué)過程中，側(cè)重對學(xué)生“數(shù)覺”的培養(yǎng)，無疑就是對學(xué)生運用數(shù)學(xué)的思想方法，通過知識的有效遷移，以及學(xué)習(xí)能力和解決問題方法的培養(yǎng)，這遠(yuǎn)比教會學(xué)生解決一道具體的數(shù)學(xué)題要重要得多。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)覺”的對策

數(shù)學(xué)是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)在社會生活中無處不在，學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)懂得了數(shù)學(xué)理論，掌握了數(shù)學(xué)知識，但是，如果學(xué)生不具備“數(shù)覺”，即使學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識也不了解數(shù)學(xué)研究的對象、本質(zhì)以及它在科學(xué)體系中的地位和作用，更談不上用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識研究當(dāng)下的經(jīng)濟和為經(jīng)濟把脈。因此，教學(xué)過程中老師在向?qū)W生傳授基本的數(shù)學(xué)知識、技能和發(fā)展智力的同時，可以從以下方面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)覺。

（一）注重知識的層次、知識的發(fā)展和演變

比如在講解空間解析幾何里空間直角坐標(biāo)系的建立內(nèi)容時，為了使一維空間的點和數(shù)建立聯(lián)系，引進(jìn)了數(shù)軸，數(shù)軸的建立使得直線上的每一個點和一個數(shù)構(gòu)成了一一對應(yīng)關(guān)系；為了用代數(shù)的方法研究二維空間的幾何圖形，引入了平面直角坐標(biāo)系，平面直角坐標(biāo)系的建立（平面直角坐標(biāo)系是由兩條互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成），使平面內(nèi)的點和一對有序?qū)崝?shù)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上建立了平面內(nèi)的曲線和二元方程間的對應(yīng)關(guān)系，從而可以利用代數(shù)運算來解決二維空間的幾何問題。這就是平面解析幾何的基本思想，其所用的方法就是坐標(biāo)法。

那么，在三維空間亦可以采用同樣的思想來研究三維空間里的幾何圖形，這就是空間解析幾何要解決的問題，所用的方法就是坐標(biāo)法和向量法。首先要建立空間直角坐標(biāo)系（空間直角坐標(biāo)系是由一點引出的三條互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成），空間直角坐標(biāo)系的建立使得空間的點和三個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上利用代數(shù)的方法解決三維空間幾何圖形有關(guān)的問題。這種由學(xué)生已經(jīng)掌握的知識并將新知識引出的方法，學(xué)生不僅不會感到突然，而且對于知識的發(fā)展和演變過程也能有一個簡單的了解。既學(xué)習(xí)了新的知識又加深了對原有知識的記憶和理解，并在此過程中學(xué)會了一種思考問題的方法——遞進(jìn)法。

（二）挖掘數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)中可以利用網(wǎng)絡(luò)挖掘數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，如：“黃金分割”的知識學(xué)生在初中就學(xué)過，而且黃金分割在現(xiàn)實生活中應(yīng)用也非常廣泛，教學(xué)中可以在講完概念后讓學(xué)生上網(wǎng)搜索現(xiàn)實生活里一些用到黃金分割的實例，如：人們公認(rèn)的很美的人體雕塑維納斯的肚臍到腳的距離是整個身體的0.618；人生活最合適的溫度是22度左右，人體體溫的0.618剛剛就在這個范圍；一個長方形，寬和長的比為0.618：1時，感覺最好看；再如：菲波那契數(shù)列1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、……（菲波那契數(shù)列：除前兩個數(shù)之外，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)之和）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個菲波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸趨于黃金分割比的，由于菲波那契數(shù)都是整數(shù)，兩個整數(shù)相除之商是有理數(shù)，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數(shù)。但是當(dāng)繼續(xù)計算出后面更大的菲波那契數(shù)時，就會發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)之比確實是非常接近黃金分割比。

這樣，既可以加深學(xué)生對概念的理解，同時也讓學(xué)生知道了黃金分割在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，不會感覺學(xué)而無用了。

（三）增強學(xué)生對應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識

所謂應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，就是學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識的心理傾向性。學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)而不會應(yīng)用和覺得沒有用，一個很大的原因就是生活中學(xué)生不會利用已有的知識獲取信息、獲取數(shù)據(jù)，不會運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識加以解釋和解決問題，由此才產(chǎn)生了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)無用的想法。因此教師在教學(xué)中要有意識地加強對學(xué)生獲取信息、獲取數(shù)據(jù)和對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的培養(yǎng)。

比如：由“求做變速運動的物體在某一時刻的瞬時速度”引出導(dǎo)數(shù)這個概念后，可以讓學(xué)生思考在實際生活中關(guān)聯(lián)最密切的應(yīng)用是什么。在學(xué)生思考和討論后，老師給出一個生活中最熟悉的答案（就是汽車的車速表）——導(dǎo)數(shù)顯示器，并用所講知識給出解釋。剛學(xué)會開車的人對于車速的了解往往通過看車速表，若車速表顯示的數(shù)是每小時10千米，那代表的就是速率，也就是位置的變化。如果用f（t）代表位置函數(shù)，那么導(dǎo)數(shù)f′（t）就是該位置函數(shù)的變化率，就是速率。車啟動前速率是每小時零千米，隨著汽車的加速，速率也越來越快。汽車的車速表的用途就是告之任何一個時間的位置導(dǎo)數(shù)如何，所以車速表也可以稱為導(dǎo)數(shù)顯示器。

再比如：學(xué)生在學(xué)習(xí)“導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用”這個內(nèi)容時，其中一節(jié)是利用導(dǎo)數(shù)求極值、最值，在講解完概念和例題后，可以介紹性地講解一些極值理論在預(yù)測海嘯、地震、洪水等自然災(zāi)害中的作用，還可以引導(dǎo)學(xué)生討論生活中用到的一些實例，如用瓷磚鋪設(shè)地面，在選定了所用每塊瓷磚的大小和已知地面面積后，買多少塊瓷磚正好。也可以介紹一些生活中的物理現(xiàn)象，比如：關(guān)于光的折射是按照費馬最小原理進(jìn)行運行的等等。

（四）利用“反思”挖掘知識間的相互關(guān)系，將知識網(wǎng)絡(luò)化

會學(xué)習(xí)的學(xué)生的頭腦中，會按照自身特定的方式，將知識組織好，不斷將新學(xué)習(xí)的知識與原有知識結(jié)構(gòu)中有關(guān)的知識進(jìn)行聯(lián)系和比較，從而，形成新的知識結(jié)構(gòu)而將已有知識結(jié)構(gòu)擴大，這樣的學(xué)生在運用知識時也是靈活的。而覺得數(shù)學(xué)難學(xué)的學(xué)生，少部分屬于智力問題，但相當(dāng)大數(shù)量的學(xué)生是屬于學(xué)習(xí)方法不得當(dāng)和不善于對知識的整理、歸類和對比，其對于知識的記憶都是零散的，很難記住，即便是記住了，運用起來也缺少靈活性，再加上大學(xué)數(shù)學(xué)抽象度和難度都增加了，學(xué)生學(xué)習(xí)起來就覺得更難。因此，教師在對知識的講解過程中可以通過將知識串成網(wǎng)和利用“反思”對已經(jīng)講解過的知識加深理解和記憶，這樣，學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識就不會覺得太困難。比如：極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)和工具，其解決問題的思想貫穿整個教學(xué)的始終，但它又是微積分教學(xué)中的一個難點，因為極限是采用了無限趨近的思維方式，和初等數(shù)學(xué)知識的直觀相比有一個質(zhì)的飛躍，這對于初學(xué)者尤其是習(xí)慣了中學(xué)教師教法的學(xué)生來說接受起來比較困難。因此，教學(xué)中強調(diào)函數(shù)極限是研究函數(shù)的變化趨勢這一點對于學(xué)生尤為重要，并且每當(dāng)遇到涉及到極限的知識時都加以強化，從而達(dá)到對知識逐漸的加深理解，這樣，現(xiàn)實生活中再遇到用極限解決的問題時會很自然解決。比如導(dǎo)數(shù)的定義強調(diào)的是當(dāng)自變量的改變量趨于零時函數(shù)的改變量與自變量的改變量的極限定積分解決問題的方法采用的是微元法，使要研究的問題轉(zhuǎn)化成一個和式的極限，使求出的圖形的面積和所要求的圖形的面積無限趨近，再如：導(dǎo)數(shù)與微分方程的關(guān)系。要研究動態(tài)的事物，就要研究各種變量的變化率，這是微分學(xué)最重要的課題。如果兩個變量之間有某種關(guān)系，則其變化率之間也會有關(guān)系的。如果知道了其中的一個變化率，則另一個也就解決了。反之，若兩個變化率之間有某種關(guān)系，則可以用積分的方法，求得原來兩個變量之間的關(guān)系。自然界的許多現(xiàn)象，其變化率和變量之間有某種關(guān)系，若用數(shù)學(xué)式子表示出來就是微分方程了等等。類似的例子很多，只要老師教學(xué)中能有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這方面的思考和訓(xùn)練，枯燥的數(shù)學(xué)課就會有所轉(zhuǎn)化。

（五）挖掘數(shù)學(xué)知識與專業(yè)知識的交匯點

高職院校在大學(xué)一年級安排數(shù)學(xué)課一方面是為了培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和提高思維能力的應(yīng)用，但更主要的目的是為學(xué)生日后專業(yè)課的學(xué)習(xí)提供工具支持。因此，數(shù)學(xué)教師可以在教學(xué)課的教學(xué)中有意識地由專業(yè)課的例子引入數(shù)學(xué)概念。比如，電子專業(yè)的學(xué)生都要學(xué)習(xí)《電工原理》，在分析含有電容或電感電路的時域時，涉及到高等數(shù)學(xué)里的微分方程的內(nèi)容，微分方程概念的引入可以由一個簡單的RC充電電路引出，并且在課程的講解中對于一些抽象的概念盡量用電路的實際意義來講解；另外通過簡單地介紹一些與所講概念有關(guān)的生活中的例子可以加深學(xué)生對概念的記憶，提高學(xué)習(xí)興趣，如對于一個固體物體表面溫度的測量可以通過解稱之為 “熱傳導(dǎo)方程”的偏微分方程來解決等等。

通過這種教學(xué)方式，學(xué)生也就不會覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與專業(yè)無關(guān)了，既學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)知識，同時也了解了數(shù)學(xué)在專業(yè)和實際生活中的作用及怎么應(yīng)用，久而久之，學(xué)生就會對生活中與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題自然地用所學(xué)的知識進(jìn)行解釋。

總之，高等職業(yè)院校數(shù)學(xué)教學(xué)的重點應(yīng)當(dāng)從運算教學(xué)向思維教學(xué)轉(zhuǎn)變，應(yīng)該更多承擔(dān)起學(xué)生 “數(shù)覺”思維培養(yǎng)的重任。尤其在大數(shù)據(jù)時代，對于數(shù)據(jù)的分析、統(tǒng)計、匯總和提煉，利用大數(shù)據(jù)技術(shù)，將眾多無頭緒的信息編輯在一起進(jìn)行分析和篩查，這些都離不開數(shù)學(xué)知識，而學(xué)生“數(shù)覺”的靈敏度就顯得尤為重要。

［1］黃熙芽.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維[J].才智，2011，（5）.

［2］馬維榮.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的能力[J].科學(xué)之友，2010，（2）.

［3］邢若春.數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[J].中國校外教育，2013，（29）.

［4］陳艷鋆.在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識[J].才智，2011，（6）.

責(zé)任編輯：張 旭 王 遠(yuǎn)

On Better Cultivation of Students’“Sense of Math”in Math Teaching

REN Xiao-hua
（Tianjin Sino-German Vocational Technical College，Tianjin 300350）

Effective teaching means that students actively participate in math learning activities. It is necessarily for math teachers to change their teaching concept,and lay more emphasis on cultivating students’ “Sense of Math”instead of only interpreting and testifying math theorem and solving math problems.Only by possessing“Sense of Math”can students strengthen their psychological function related to math,as well as improve their ability of logical thinking and solving math problems.

teaching activities;“Sense of Math”;significance;method

G642.41

A

2095－5537（2014）04－0042－03

2014-05-12

任曉華（1962—），女，漢族，天津市人，天津中德職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部副教授。研究方向：課程與方法論。