姚麗芳

對稱問題是解析幾何中重要的基礎(chǔ)知識，也是近年來高考的熱點之一.高中數(shù)學(xué)中的對稱問題主要分中心對稱問題和軸對稱問題.

中心對稱： 即關(guān)于點對稱，主要分為點關(guān)于點對稱、直線關(guān)于點對稱以及曲線關(guān)于點中心對稱.

點關(guān)于點對稱： 兩個點關(guān)于一個點對稱，這兩個點連線的中點即為對稱點.由此我們可尋求兩個點坐標(biāo)之間的關(guān)系：若點P（x0，y0）關(guān)于點A（a，b）的對稱點為P′，則點A為PP′的中點，P′坐標(biāo)為（2a-x0，2b-y0）.

例1 已知定點F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），N是圓O：x2+y2=1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是

（A） 橢圓 （B） 雙曲線

（C） 拋物線 （D） 圓

解： 設(shè)N（a，b），M（x，y）.由題意可知F1（-2，0）與M（x，y）關(guān)于點N（a，b）對稱，故a=，b=.把N，代入圓O的方程x2+y2=1，可得點M的軌跡方程是（x-2）2+y2=4，即點M的軌跡是以F2（2，0）為圓心、半徑R=2的圓.

如圖1所示，因為NP是F1M的中垂線，所以PF1=PM.又MF2=R=2，故當(dāng)點P在圓F2內(nèi)時，PF2=PM-MF2=PF1-2.

如圖2所示，當(dāng)點P在圓F2外時，PF2=PM+MF2=PF1+2.

所以PF1-PF2=PF1-（PF1±2）=±2，即PF1-PF2=2，而2

點評： 例1利用F1，M關(guān)于N點對稱，得到點M的軌跡方程，再利用中垂線定義解出答案.解題過程中，要特別注意P點在圓內(nèi)和圓外這兩種情況.

直線關(guān)于點對稱： 兩條直線關(guān)于一個點對稱，其實質(zhì)是一條直線上任意一點關(guān)于這個點的對稱點，都在另一條直線上.由此我們可以利用點關(guān)于點對稱的坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解.

若直線l′：y=f（x）與直線l關(guān)于點A（a，b）對稱，則l上的任意一點P（x，y）關(guān)于A（a，b）的對稱點P′（2a-x，2b-y）在l′：y=f（x）上，可得l的方程為y=2b-f（2a-x）.

直線是曲線的一種特例，曲線關(guān)于點中心對稱問題的本質(zhì)與直線關(guān)于點對稱類似，因此上述方法也可以用來求解曲線關(guān)于點的對稱問題.

例2 如圖3所示，已知兩定點A（1，-1），B（5，3），一動點P在直線l：2x-y-4=0上移動，求平行四邊形APBQ的另一個頂點Q的軌跡方程.

解： 設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，y），P點坐標(biāo)為（x0，y0）. AB中點C（3，1）.由題意可知P，Q兩點關(guān)于點C對稱，所以點Q的軌跡即為直線l：2x-y-4=0關(guān)于點C（3，1）的對稱直線.

因為點P，Q關(guān)于點C對稱，故C為PQ中點，由此可得x0=6-x，y0=2-y.又P（x0，y0）在直線l上，代入直線l：2x-y-4=0得2（6-x）-（2-y）-4=0，即2x-y-6=0，所以頂點Q的軌跡方程為2x-y-6=0.

點評： 例2利用平行四邊形APBQ的對角線互相平分，得到P，Q關(guān)于AB中點C對稱，從而由點P的軌跡方程得到點Q的軌跡方程.此外，還可以利用點P的軌跡直線l關(guān)于點C的對稱圖形是與直線l平行的直線l′、且點C到直線l，l′的距離相等求解.

軸對稱： 即圖象關(guān)于直線對稱，高中階段主要考查點關(guān)于直線對稱、直線關(guān)于直線對稱問題.

點關(guān)于直線對稱： 兩個點關(guān)于一條直線對稱，那么這兩個點的連線與這條直線垂直，并且兩個點連線的中點在這條直線上.利用這兩個關(guān)系，我們就可以找到兩個點坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系.

若點P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P′（x，y），則PP′的中點Q，在直線y=kx+b上，且直線PP′垂直于直線y=kx+b.通過建立方程組·k=-1，=k·+b，可求得點P′（x，y）的坐標(biāo).

特別地，當(dāng)k=1時，x=y0-b，y=x0+b；當(dāng)k=-1時，x=-y0+b，y=-x0+b.當(dāng)對稱直線的斜率k=±1時，可以用此法快速求得對稱點的坐標(biāo).

例如點P（1，2）關(guān)于直線y=-x-2的對稱點為P′（x，y）.將P（1，2）代入x=-y0+b，y=-x0+b.可解得P′點的坐標(biāo)為（-4，-3）.

例3 雙曲線x2-=1上的兩點A，B關(guān)于直線y=-x+1對稱，則直線AB的方程為

A. y=x B. y=x+1

C. y=x-1 D. y=x+

解： 如圖4所示，因為A，B關(guān)于直線y=-x+1對稱，故直線AB的斜率為1.設(shè)直線AB的方程為y=x+m，代入雙曲線方程得x2-2mx-m2-2=0.結(jié)合韋達(dá)定理可得，AB的中點P的橫坐標(biāo)為xp==m，代入y=x+m可得yp=2m.

由直線AB關(guān)于y=-x+1軸對稱可知點P（m，2m）在直線y=-x+1上，解得m=，故選D.

點評： 例3是一道典型的圓錐曲線中的軸對稱問題，由對稱知識分析可得：直線AB與對稱軸y=-x+1垂直，且AB的中點在對稱軸y=-x+1上，由此可建立方程求解.

直線關(guān)于直線對稱： 兩條直線關(guān)于一條直線對稱，其實質(zhì)是一條直線上任意一點關(guān)于對稱直線的對稱點，都在另一條直線上.

若直線l：y=f（x）關(guān)于直線L：y=kx+b的對稱直線為l′，則l′上任意一點P′關(guān)于直線L的對稱點P在直線l：y=f（x）上.

直線關(guān)于特殊直線的對稱問題，如關(guān)于平行線、x軸、y軸等對稱，可以利用直線斜率間的關(guān)系簡化求解過程：

當(dāng)直線l∥L時，則l′∥l，即kl=kl′；

當(dāng)直線L為x軸時，則kl +kl′=0；

當(dāng)直線L為y軸時，則kl +kl′=0.

例4 [2012年福州市高考數(shù)學(xué)模擬題（文科）第21題改編] 過點M（1，0）任作一條直線與橢圓+=1相交于A，B兩點，N（4，0），聯(lián)結(jié)AN，BN，求證直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

證明： 由橢圓對稱性可知，當(dāng)AB⊥x軸時，∠ANM=∠BNM，即直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

如圖5所示，當(dāng)AB與x軸不垂直時，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）.聯(lián)立方程y=k（x-1），2x2+y2=8，可得（k2+2）x2-2k2x+k2-8=0.設(shè)直線AB交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1+x2=，x1·x2=.因為kAN==，kBN==，所以kAN+kBN===·-+8=0.由此可得∠ANM=∠BNM，直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

點評： 要證明直線AN，BN關(guān)于x軸對稱，只要證明直線AN，BN的斜率相反即可.解題時注意不要遺漏討論AB⊥x軸的情況.

對稱問題是解析幾何中重要的基礎(chǔ)知識，也是近年來高考的熱點之一.高中數(shù)學(xué)中的對稱問題主要分中心對稱問題和軸對稱問題.

中心對稱： 即關(guān)于點對稱，主要分為點關(guān)于點對稱、直線關(guān)于點對稱以及曲線關(guān)于點中心對稱.

點關(guān)于點對稱： 兩個點關(guān)于一個點對稱，這兩個點連線的中點即為對稱點.由此我們可尋求兩個點坐標(biāo)之間的關(guān)系：若點P（x0，y0）關(guān)于點A（a，b）的對稱點為P′，則點A為PP′的中點，P′坐標(biāo)為（2a-x0，2b-y0）.

例1 已知定點F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），N是圓O：x2+y2=1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是

（A） 橢圓 （B） 雙曲線

（C） 拋物線 （D） 圓

解： 設(shè)N（a，b），M（x，y）.由題意可知F1（-2，0）與M（x，y）關(guān)于點N（a，b）對稱，故a=，b=.把N，代入圓O的方程x2+y2=1，可得點M的軌跡方程是（x-2）2+y2=4，即點M的軌跡是以F2（2，0）為圓心、半徑R=2的圓.

如圖1所示，因為NP是F1M的中垂線，所以PF1=PM.又MF2=R=2，故當(dāng)點P在圓F2內(nèi)時，PF2=PM-MF2=PF1-2.

如圖2所示，當(dāng)點P在圓F2外時，PF2=PM+MF2=PF1+2.

所以PF1-PF2=PF1-（PF1±2）=±2，即PF1-PF2=2，而2

點評： 例1利用F1，M關(guān)于N點對稱，得到點M的軌跡方程，再利用中垂線定義解出答案.解題過程中，要特別注意P點在圓內(nèi)和圓外這兩種情況.

直線關(guān)于點對稱： 兩條直線關(guān)于一個點對稱，其實質(zhì)是一條直線上任意一點關(guān)于這個點的對稱點，都在另一條直線上.由此我們可以利用點關(guān)于點對稱的坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解.

若直線l′：y=f（x）與直線l關(guān)于點A（a，b）對稱，則l上的任意一點P（x，y）關(guān)于A（a，b）的對稱點P′（2a-x，2b-y）在l′：y=f（x）上，可得l的方程為y=2b-f（2a-x）.

直線是曲線的一種特例，曲線關(guān)于點中心對稱問題的本質(zhì)與直線關(guān)于點對稱類似，因此上述方法也可以用來求解曲線關(guān)于點的對稱問題.

例2 如圖3所示，已知兩定點A（1，-1），B（5，3），一動點P在直線l：2x-y-4=0上移動，求平行四邊形APBQ的另一個頂點Q的軌跡方程.

解： 設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，y），P點坐標(biāo)為（x0，y0）. AB中點C（3，1）.由題意可知P，Q兩點關(guān)于點C對稱，所以點Q的軌跡即為直線l：2x-y-4=0關(guān)于點C（3，1）的對稱直線.

因為點P，Q關(guān)于點C對稱，故C為PQ中點，由此可得x0=6-x，y0=2-y.又P（x0，y0）在直線l上，代入直線l：2x-y-4=0得2（6-x）-（2-y）-4=0，即2x-y-6=0，所以頂點Q的軌跡方程為2x-y-6=0.

點評： 例2利用平行四邊形APBQ的對角線互相平分，得到P，Q關(guān)于AB中點C對稱，從而由點P的軌跡方程得到點Q的軌跡方程.此外，還可以利用點P的軌跡直線l關(guān)于點C的對稱圖形是與直線l平行的直線l′、且點C到直線l，l′的距離相等求解.

軸對稱： 即圖象關(guān)于直線對稱，高中階段主要考查點關(guān)于直線對稱、直線關(guān)于直線對稱問題.

點關(guān)于直線對稱： 兩個點關(guān)于一條直線對稱，那么這兩個點的連線與這條直線垂直，并且兩個點連線的中點在這條直線上.利用這兩個關(guān)系，我們就可以找到兩個點坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系.

若點P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P′（x，y），則PP′的中點Q，在直線y=kx+b上，且直線PP′垂直于直線y=kx+b.通過建立方程組·k=-1，=k·+b，可求得點P′（x，y）的坐標(biāo).

特別地，當(dāng)k=1時，x=y0-b，y=x0+b；當(dāng)k=-1時，x=-y0+b，y=-x0+b.當(dāng)對稱直線的斜率k=±1時，可以用此法快速求得對稱點的坐標(biāo).

例如點P（1，2）關(guān)于直線y=-x-2的對稱點為P′（x，y）.將P（1，2）代入x=-y0+b，y=-x0+b.可解得P′點的坐標(biāo)為（-4，-3）.

例3 雙曲線x2-=1上的兩點A，B關(guān)于直線y=-x+1對稱，則直線AB的方程為

A. y=x B. y=x+1

C. y=x-1 D. y=x+

解： 如圖4所示，因為A，B關(guān)于直線y=-x+1對稱，故直線AB的斜率為1.設(shè)直線AB的方程為y=x+m，代入雙曲線方程得x2-2mx-m2-2=0.結(jié)合韋達(dá)定理可得，AB的中點P的橫坐標(biāo)為xp==m，代入y=x+m可得yp=2m.

由直線AB關(guān)于y=-x+1軸對稱可知點P（m，2m）在直線y=-x+1上，解得m=，故選D.

點評： 例3是一道典型的圓錐曲線中的軸對稱問題，由對稱知識分析可得：直線AB與對稱軸y=-x+1垂直，且AB的中點在對稱軸y=-x+1上，由此可建立方程求解.

直線關(guān)于直線對稱： 兩條直線關(guān)于一條直線對稱，其實質(zhì)是一條直線上任意一點關(guān)于對稱直線的對稱點，都在另一條直線上.

若直線l：y=f（x）關(guān)于直線L：y=kx+b的對稱直線為l′，則l′上任意一點P′關(guān)于直線L的對稱點P在直線l：y=f（x）上.

直線關(guān)于特殊直線的對稱問題，如關(guān)于平行線、x軸、y軸等對稱，可以利用直線斜率間的關(guān)系簡化求解過程：

當(dāng)直線l∥L時，則l′∥l，即kl=kl′；

當(dāng)直線L為x軸時，則kl +kl′=0；

當(dāng)直線L為y軸時，則kl +kl′=0.

例4 [2012年福州市高考數(shù)學(xué)模擬題（文科）第21題改編] 過點M（1，0）任作一條直線與橢圓+=1相交于A，B兩點，N（4，0），聯(lián)結(jié)AN，BN，求證直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

證明： 由橢圓對稱性可知，當(dāng)AB⊥x軸時，∠ANM=∠BNM，即直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

如圖5所示，當(dāng)AB與x軸不垂直時，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）.聯(lián)立方程y=k（x-1），2x2+y2=8，可得（k2+2）x2-2k2x+k2-8=0.設(shè)直線AB交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1+x2=，x1·x2=.因為kAN==，kBN==，所以kAN+kBN===·-+8=0.由此可得∠ANM=∠BNM，直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

點評： 要證明直線AN，BN關(guān)于x軸對稱，只要證明直線AN，BN的斜率相反即可.解題時注意不要遺漏討論AB⊥x軸的情況.

對稱問題是解析幾何中重要的基礎(chǔ)知識，也是近年來高考的熱點之一.高中數(shù)學(xué)中的對稱問題主要分中心對稱問題和軸對稱問題.

中心對稱： 即關(guān)于點對稱，主要分為點關(guān)于點對稱、直線關(guān)于點對稱以及曲線關(guān)于點中心對稱.

點關(guān)于點對稱： 兩個點關(guān)于一個點對稱，這兩個點連線的中點即為對稱點.由此我們可尋求兩個點坐標(biāo)之間的關(guān)系：若點P（x0，y0）關(guān)于點A（a，b）的對稱點為P′，則點A為PP′的中點，P′坐標(biāo)為（2a-x0，2b-y0）.

例1 已知定點F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），N是圓O：x2+y2=1上任意一點，點F1關(guān)于點N的對稱點為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P，則點P的軌跡是

（A） 橢圓 （B） 雙曲線

（C） 拋物線 （D） 圓

解： 設(shè)N（a，b），M（x，y）.由題意可知F1（-2，0）與M（x，y）關(guān)于點N（a，b）對稱，故a=，b=.把N，代入圓O的方程x2+y2=1，可得點M的軌跡方程是（x-2）2+y2=4，即點M的軌跡是以F2（2，0）為圓心、半徑R=2的圓.

如圖1所示，因為NP是F1M的中垂線，所以PF1=PM.又MF2=R=2，故當(dāng)點P在圓F2內(nèi)時，PF2=PM-MF2=PF1-2.

如圖2所示，當(dāng)點P在圓F2外時，PF2=PM+MF2=PF1+2.

所以PF1-PF2=PF1-（PF1±2）=±2，即PF1-PF2=2，而2

點評： 例1利用F1，M關(guān)于N點對稱，得到點M的軌跡方程，再利用中垂線定義解出答案.解題過程中，要特別注意P點在圓內(nèi)和圓外這兩種情況.

直線關(guān)于點對稱： 兩條直線關(guān)于一個點對稱，其實質(zhì)是一條直線上任意一點關(guān)于這個點的對稱點，都在另一條直線上.由此我們可以利用點關(guān)于點對稱的坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解.

若直線l′：y=f（x）與直線l關(guān)于點A（a，b）對稱，則l上的任意一點P（x，y）關(guān)于A（a，b）的對稱點P′（2a-x，2b-y）在l′：y=f（x）上，可得l的方程為y=2b-f（2a-x）.

直線是曲線的一種特例，曲線關(guān)于點中心對稱問題的本質(zhì)與直線關(guān)于點對稱類似，因此上述方法也可以用來求解曲線關(guān)于點的對稱問題.

例2 如圖3所示，已知兩定點A（1，-1），B（5，3），一動點P在直線l：2x-y-4=0上移動，求平行四邊形APBQ的另一個頂點Q的軌跡方程.

解： 設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，y），P點坐標(biāo)為（x0，y0）. AB中點C（3，1）.由題意可知P，Q兩點關(guān)于點C對稱，所以點Q的軌跡即為直線l：2x-y-4=0關(guān)于點C（3，1）的對稱直線.

因為點P，Q關(guān)于點C對稱，故C為PQ中點，由此可得x0=6-x，y0=2-y.又P（x0，y0）在直線l上，代入直線l：2x-y-4=0得2（6-x）-（2-y）-4=0，即2x-y-6=0，所以頂點Q的軌跡方程為2x-y-6=0.

點評： 例2利用平行四邊形APBQ的對角線互相平分，得到P，Q關(guān)于AB中點C對稱，從而由點P的軌跡方程得到點Q的軌跡方程.此外，還可以利用點P的軌跡直線l關(guān)于點C的對稱圖形是與直線l平行的直線l′、且點C到直線l，l′的距離相等求解.

軸對稱： 即圖象關(guān)于直線對稱，高中階段主要考查點關(guān)于直線對稱、直線關(guān)于直線對稱問題.

點關(guān)于直線對稱： 兩個點關(guān)于一條直線對稱，那么這兩個點的連線與這條直線垂直，并且兩個點連線的中點在這條直線上.利用這兩個關(guān)系，我們就可以找到兩個點坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系.

若點P（x0，y0）關(guān)于直線y=kx+b的對稱點為P′（x，y），則PP′的中點Q，在直線y=kx+b上，且直線PP′垂直于直線y=kx+b.通過建立方程組·k=-1，=k·+b，可求得點P′（x，y）的坐標(biāo).

特別地，當(dāng)k=1時，x=y0-b，y=x0+b；當(dāng)k=-1時，x=-y0+b，y=-x0+b.當(dāng)對稱直線的斜率k=±1時，可以用此法快速求得對稱點的坐標(biāo).

例如點P（1，2）關(guān)于直線y=-x-2的對稱點為P′（x，y）.將P（1，2）代入x=-y0+b，y=-x0+b.可解得P′點的坐標(biāo)為（-4，-3）.

例3 雙曲線x2-=1上的兩點A，B關(guān)于直線y=-x+1對稱，則直線AB的方程為

A. y=x B. y=x+1

C. y=x-1 D. y=x+

解： 如圖4所示，因為A，B關(guān)于直線y=-x+1對稱，故直線AB的斜率為1.設(shè)直線AB的方程為y=x+m，代入雙曲線方程得x2-2mx-m2-2=0.結(jié)合韋達(dá)定理可得，AB的中點P的橫坐標(biāo)為xp==m，代入y=x+m可得yp=2m.

由直線AB關(guān)于y=-x+1軸對稱可知點P（m，2m）在直線y=-x+1上，解得m=，故選D.

點評： 例3是一道典型的圓錐曲線中的軸對稱問題，由對稱知識分析可得：直線AB與對稱軸y=-x+1垂直，且AB的中點在對稱軸y=-x+1上，由此可建立方程求解.

直線關(guān)于直線對稱： 兩條直線關(guān)于一條直線對稱，其實質(zhì)是一條直線上任意一點關(guān)于對稱直線的對稱點，都在另一條直線上.

若直線l：y=f（x）關(guān)于直線L：y=kx+b的對稱直線為l′，則l′上任意一點P′關(guān)于直線L的對稱點P在直線l：y=f（x）上.

直線關(guān)于特殊直線的對稱問題，如關(guān)于平行線、x軸、y軸等對稱，可以利用直線斜率間的關(guān)系簡化求解過程：

當(dāng)直線l∥L時，則l′∥l，即kl=kl′；

當(dāng)直線L為x軸時，則kl +kl′=0；

當(dāng)直線L為y軸時，則kl +kl′=0.

例4 [2012年福州市高考數(shù)學(xué)模擬題（文科）第21題改編] 過點M（1，0）任作一條直線與橢圓+=1相交于A，B兩點，N（4，0），聯(lián)結(jié)AN，BN，求證直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

證明： 由橢圓對稱性可知，當(dāng)AB⊥x軸時，∠ANM=∠BNM，即直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

如圖5所示，當(dāng)AB與x軸不垂直時，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）.聯(lián)立方程y=k（x-1），2x2+y2=8，可得（k2+2）x2-2k2x+k2-8=0.設(shè)直線AB交橢圓于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，則x1+x2=，x1·x2=.因為kAN==，kBN==，所以kAN+kBN===·-+8=0.由此可得∠ANM=∠BNM，直線AN，BN關(guān)于x軸對稱.

點評： 要證明直線AN，BN關(guān)于x軸對稱，只要證明直線AN，BN的斜率相反即可.解題時注意不要遺漏討論AB⊥x軸的情況.