胡 君， 崔文剛 ， 張玉彪

（1.貴州師范大學(xué) 地理與環(huán)境科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550001）

貴陽(yáng)市位于貴州省中部，東經(jīng)106° 07′E ～107°17′E，北緯26°11′N～27°22′N，屬于高原山地地形，平均高程1 175 m。根據(jù)高斯投影的長(zhǎng)度變形原理可以發(fā)現(xiàn)，其投影變形超過(guò)2.5 cm/km[1,2]，因此建立了以北京54為基礎(chǔ)，取108°E經(jīng)線為中央子午線，將橢球面抬升至1 175 m的貴陽(yáng)市城市獨(dú)立坐標(biāo)系。建立獨(dú)立坐標(biāo)系后，坐標(biāo)值不再與國(guó)家坐標(biāo)重合。由于各種需要，往往需要將貴陽(yáng)市城市獨(dú)立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成北京54等國(guó)家坐標(biāo)系。平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型較多，本文以同時(shí)具有城市獨(dú)立坐標(biāo)系和北京54坐標(biāo)系成果的某市政道路GPS控制網(wǎng)為例，分別采用3種常見的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法將貴陽(yáng)市城市獨(dú)立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為北京54坐標(biāo)。將控制網(wǎng)的北京54坐標(biāo)當(dāng)成真值，將得到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成果與之進(jìn)行比較，希望從中總結(jié)出不同平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的優(yōu)點(diǎn)與不足，作為平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換工作的借鑒。

1 常見的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法

1.1 直接參數(shù)法

直接參數(shù)法是將已知公共點(diǎn)中的某點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)，再通過(guò)已知公共點(diǎn)計(jì)算兩套坐標(biāo)系之間的平移參數(shù)、尺度因子以及方位角旋轉(zhuǎn)參數(shù)，將其他待轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到新坐標(biāo)。設(shè)X，Y為原坐標(biāo)系，x，y為目標(biāo)坐標(biāo)系，其轉(zhuǎn)換模型如下[3]：

根據(jù)以上模型可以看出，直接參數(shù)法需要求兩個(gè)已知公共點(diǎn)，當(dāng)有多余的公共點(diǎn)時(shí)，一般以其他公共點(diǎn)作為檢核條件，通過(guò)最小二乘法求取最合適的轉(zhuǎn)換參數(shù)。

1.2 相似變換法

相似變換是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中最常用的一種方法 。三維坐標(biāo)可以采用7參數(shù)模型，平面坐標(biāo)則一般采用4參數(shù)模型。二維平面相似變換模型如下[4]：

式中，x0、y0為平移參數(shù)；α為旋轉(zhuǎn)參數(shù)；k為尺度參數(shù)；x、y表示轉(zhuǎn)換后所得坐標(biāo)；X、Y表示原坐標(biāo)系坐標(biāo)。

相似變換能較好地解決不同坐標(biāo)系之間定義上的差異。坐標(biāo)系統(tǒng)局部形變系統(tǒng)性誤差往往未能反映到轉(zhuǎn)換模型中，相似變換法是將原坐標(biāo)系經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)及伸縮而變換到新的坐標(biāo)系統(tǒng)中，能保持原有坐標(biāo)網(wǎng)的幾何形狀，避免轉(zhuǎn)換過(guò)程中因原坐標(biāo)網(wǎng)變形而產(chǎn)生的網(wǎng)中坐標(biāo)點(diǎn)的相對(duì)位置變化[5]。

1.3 多項(xiàng)式逼近法

設(shè)X、Y表示原坐標(biāo)系坐標(biāo)，x、y表示新坐標(biāo)系坐標(biāo)。為了便于計(jì)算，選取中央位置某點(diǎn)（x0，y0）作為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的基點(diǎn)，以方便多項(xiàng)式計(jì)算與系數(shù)求解。

式（3）為2階多項(xiàng)式，有a0，a1，…，a5，b0，b1，…，b5共12個(gè)待定系數(shù)，至少需要6個(gè)已知公共點(diǎn)才能求解。當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換區(qū)域較大、已知公共點(diǎn)數(shù)量較多時(shí)，可以選擇階數(shù)較高的多項(xiàng)式進(jìn)行擬合。對(duì)于式（1），若有m個(gè)公共點(diǎn)，可以列出誤差方程：

通過(guò)誤差方程可以解出待定系數(shù)a0，a1，…，a5，b0，b1，…，b5，代入式（1）即可列出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換多項(xiàng)式。當(dāng)已知公共點(diǎn)數(shù)量超過(guò)必要公共點(diǎn)數(shù)量時(shí)，可采用最小二乘多項(xiàng)式擬合公共點(diǎn)。

多項(xiàng)式逼近法在于選取多項(xiàng)式逼近待求的新舊坐標(biāo)變換函數(shù)。多項(xiàng)式逼近任意連續(xù)函數(shù)時(shí)，從理論上講，選擇適當(dāng)?shù)亩囗?xiàng)式階數(shù)和系數(shù)，可以逼近到任意程度，并保證點(diǎn)與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)、連續(xù)變換的特性[7]。

2 算例分析

貴陽(yáng)市某市政道路施工控制網(wǎng)的等級(jí)為公路4等，采用GPS進(jìn)行布設(shè)，并與貴陽(yáng)市城市CORS網(wǎng)及項(xiàng)目區(qū)附近國(guó)家B級(jí)點(diǎn)和C級(jí)點(diǎn)各1個(gè)進(jìn)行聯(lián)測(cè)。嚴(yán)格按照交通部JTJ/T 066—98《公路全球定位系統(tǒng)（GPS）測(cè)量規(guī)范》進(jìn)行內(nèi)外業(yè)操作，最終平差獲得貴陽(yáng)市城市獨(dú)立坐標(biāo)系及北京54坐標(biāo)系成果，如表1。

表1 某市政道路施工控制網(wǎng)貴陽(yáng)市城市獨(dú)立坐標(biāo)與北京54部分公共點(diǎn)坐標(biāo)

現(xiàn)將該成果中部分點(diǎn)作為已知點(diǎn)，分別采用“直接參數(shù)法”、“相似變換法”及“多項(xiàng)式逼近法”將貴陽(yáng)市城市獨(dú)立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成北京54坐標(biāo)。假設(shè)GPS控制網(wǎng)北京54坐標(biāo)成果是真值，用剩余公共點(diǎn)作為檢核條件，以分析坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。3種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法分別得到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成果及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差如表2、表3所示（表中加粗?jǐn)?shù)字為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換采用已知點(diǎn)，其余點(diǎn)為檢核點(diǎn)）。

表2 3種不同轉(zhuǎn)換方法轉(zhuǎn)換北京54坐標(biāo)成果

表3 3種不同坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法轉(zhuǎn)換誤差分析

3 結(jié) 語(yǔ)

經(jīng)過(guò)以上分析比較不難發(fā)現(xiàn)：

1）對(duì)于直接參數(shù)法，在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換已知點(diǎn)上其轉(zhuǎn)換成果與已知點(diǎn)重合。通過(guò)檢核點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，小區(qū)域內(nèi)（一般指不大于20 km范圍）能夠滿足一般坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度需要。同時(shí)發(fā)現(xiàn)，其轉(zhuǎn)換誤差隨距離的增加而變大，當(dāng)超過(guò)一定距離時(shí)誤差會(huì)成比例遞增，所以不適合大范圍的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

2）對(duì)于相似變換，2個(gè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換已知點(diǎn)上都存在一定的間隙。同時(shí)，隨著距離的增加，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，但在小區(qū)域內(nèi)（一般指小于20 km）能夠滿足一般坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的精度要求。當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換范圍較大時(shí)，需先進(jìn)行相似變換，然后對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果中存在的間隙進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，減小坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差。

3）對(duì)于多項(xiàng)式逼近法，由于是采用解誤差方程獲得的結(jié)果，6個(gè)參與坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的公共點(diǎn)轉(zhuǎn)換成果與已知點(diǎn)都重合。6個(gè)公共點(diǎn)控制范圍內(nèi)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度符合精度要求，且精度略高于直接參數(shù)法與相似變換成果；但是在轉(zhuǎn)換區(qū)域邊緣，由于6個(gè)公共點(diǎn)過(guò)于集中在項(xiàng)目區(qū)中央，導(dǎo)致項(xiàng)目區(qū)邊緣多項(xiàng)式的病態(tài)，使1308、9102、H087上誤差精度超限。

由前文實(shí)驗(yàn)和分析，可以得出以下結(jié)論：

1）當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換范圍較小時(shí)，通過(guò)對(duì)已知公共點(diǎn)的合適選擇，直接參數(shù)法、相似變換法與多項(xiàng)式逼近法都能達(dá)到0.020 m以內(nèi)的轉(zhuǎn)換精度。但是，多項(xiàng)式逼近法根據(jù)擬合的階數(shù)要求的公共點(diǎn)數(shù)量較多，計(jì)算也較為復(fù)雜，直接參數(shù)法與相似變換法計(jì)算較為簡(jiǎn)便。

2）當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換范圍較大時(shí)（一般指大于20 km），可以先采用相似變換法，解決坐標(biāo)系統(tǒng)定義上的差異，再通過(guò)多項(xiàng)式擬合減小相似變換后存 在的間隙。也可以采用多項(xiàng)式逼近法，選取合適的多項(xiàng)式階數(shù)，同時(shí)合理選擇公共點(diǎn)的數(shù)量與分布。

3）無(wú)論采用哪種坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，都需要有多余的檢核條件，對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的結(jié)果進(jìn)行檢核，才能保證坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的準(zhǔn)確性。

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