劉善娜

教學(xué)就是經(jīng)驗(yàn)的改造或改組，教學(xué)過(guò)程就是幫助學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)向應(yīng)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)跋涉的過(guò)程。在教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)教師教學(xué)的路徑與學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)不吻合即教和學(xué)斷層的現(xiàn)象。面對(duì)“教”和“學(xué)”的斷層，教師通常是立足于“教路”，以“暗示”的方式對(duì)“學(xué)路”加以修復(fù)。如教學(xué)三角形的面積，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生回顧平行四邊形面積的轉(zhuǎn)化過(guò)程，并提供裝有兩個(gè)完全一樣的三角形的學(xué)習(xí)包，讓學(xué)生自主探究三角形面積的計(jì)算方法。但這個(gè)看似立足經(jīng)驗(yàn)、自主探究的教學(xué)過(guò)程，其實(shí)質(zhì)依然是“教路”下的鋪腳石，并沒(méi)有基于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)加以改造或改組。

教學(xué)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)改造，體現(xiàn)在一節(jié)課里，大致會(huì)呈現(xiàn)“原初性經(jīng)驗(yàn)→再生性經(jīng)驗(yàn)、再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)→概括性經(jīng)驗(yàn)”這樣一個(gè)抽象程度遞增的經(jīng)驗(yàn)層次。而放大到一個(gè)知識(shí)序列的教學(xué)中，如平面圖形的面積計(jì)算體系，也會(huì)呈現(xiàn)相應(yīng)的不斷螺旋上升的經(jīng)驗(yàn)層次。要幫助學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)順利改造、提升成應(yīng)有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就應(yīng)以整體架構(gòu)的視野深入思考內(nèi)隱經(jīng)驗(yàn)在知識(shí)體系結(jié)構(gòu)中的張力，深入剖析“教”與“學(xué)”的斷層，瞻前顧后，立足經(jīng)驗(yàn)的層次特點(diǎn)對(duì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理改造。

一、改造原初性經(jīng)驗(yàn)，抓住斷層鋪墊提升，對(duì)接“教”與“學(xué)”的通道

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，激活、利用、提升和改造經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)活動(dòng)。原初性經(jīng)驗(yàn)，是指從第一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，屬于低層次的經(jīng)驗(yàn)。只有找準(zhǔn)學(xué)生的原初性經(jīng)驗(yàn)，扣準(zhǔn)原初性經(jīng)驗(yàn)與需要的經(jīng)驗(yàn)之間的斷層，才能有效對(duì)接教與學(xué)的通道。

長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)有賴(lài)于認(rèn)識(shí)面積單位時(shí)積累的測(cè)量經(jīng)驗(yàn)。這一測(cè)量經(jīng)驗(yàn)即長(zhǎng)方形面積計(jì)算的原初性經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生的“測(cè)量經(jīng)驗(yàn)”是“目測(cè)”“疊測(cè)”以及“不斷剪拼疊測(cè)”。而“教”的路徑則要求學(xué)生能利用第三方——面積單位進(jìn)行測(cè)量比較。顯然，學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)與需要的經(jīng)驗(yàn)之間出現(xiàn)了斷層。如果直接提供“學(xué)習(xí)包”讓學(xué)生用正方形去擺放比出大小，那么對(duì)學(xué)生而言就僅僅是多經(jīng)歷了一次操作活動(dòng)，原初性經(jīng)驗(yàn)并未得到提升。

原初性經(jīng)驗(yàn)雖淺顯卻極具價(jià)值，教師需要幫助學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)行提升，使學(xué)生自發(fā)領(lǐng)悟“為什么無(wú)法比較就要擺一擺？為什么一定要擺正方形？”從而達(dá)到啟動(dòng)經(jīng)驗(yàn)序列、促成“教”“學(xué)”經(jīng)驗(yàn)對(duì)接的目的。

當(dāng)學(xué)生用目測(cè)法比較出課桌面與數(shù)學(xué)書(shū)封面的大小后，讓他們?cè)俟烙?jì)一下大約幾本數(shù)學(xué)書(shū)能鋪滿(mǎn)課桌面，并借助問(wèn)題“到底幾本最接近”，使學(xué)生自然地想到“鋪鋪看”的方法；鋪一鋪后，讓學(xué)生比較課桌面與黑板上畫(huà)的長(zhǎng)方形的大??；兩個(gè)面的大小非常接近，既無(wú)法依靠“目測(cè)”得出結(jié)論，也無(wú)法將課桌面與板畫(huà)上的長(zhǎng)方形進(jìn)行“疊測(cè)”。這就激活了學(xué)生剛剛積累的“鋪一鋪”的經(jīng)驗(yàn)：“剛才已經(jīng)測(cè)量出課桌面的大小相當(dāng)于8本數(shù)學(xué)書(shū)面的大小，只要量一量黑板上這個(gè)長(zhǎng)方形是幾本數(shù)學(xué)書(shū)封面的大小就行了！”于是學(xué)生自悟可以借助第三方比較大小，這就提升了學(xué)生的面積比較經(jīng)驗(yàn)。

用數(shù)學(xué)書(shū)鋪?zhàn)烂娴臄?shù)學(xué)活動(dòng)，直擊了面積的測(cè)量本質(zhì)，有效地幫助學(xué)生生成了“利用第三方測(cè)量比較課桌面和板畫(huà)上的長(zhǎng)方形面積大小”的經(jīng)驗(yàn)。因此，提升原初性經(jīng)驗(yàn)，就需要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)斷層的特點(diǎn)鋪墊活動(dòng)，促成經(jīng)驗(yàn)對(duì)接，拓寬學(xué)生自悟的空間。

二、改造再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)，抓住斷層溯源化異，溝通“教”與“學(xué)”的通道

當(dāng)學(xué)生再次遇到與最初活動(dòng)相類(lèi)似的情境時(shí)，就會(huì)把上次活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)加以遷移運(yùn)用，形成再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)。再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)在新知學(xué)習(xí)中正、負(fù)遷移都有可能發(fā)生。教學(xué)的關(guān)鍵就是如何讓學(xué)生暴露再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)并加以改造與提升。

在學(xué)習(xí)平行四邊形面積時(shí)，用鄰邊相乘（“長(zhǎng)×寬”）計(jì)算長(zhǎng)方形面積就是學(xué)生再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)的體現(xiàn)。如何讓停留于“鄰邊相乘”學(xué)路上的學(xué)生悟到“剪拼轉(zhuǎn)化”呢？如果僅僅是以“你能通過(guò)剪一剪、拼一拼的方法，將一個(gè)平行四邊形變成長(zhǎng)方形嗎”加以引導(dǎo)，學(xué)生會(huì)更多地停留在正確實(shí)施剪拼的活動(dòng)中，難以深入理解“平行四邊形的面積、底、高、鄰邊與長(zhǎng)方形的面積、長(zhǎng)、寬” 之間的聯(lián)系和區(qū)別。

當(dāng)經(jīng)驗(yàn)出現(xiàn)差異式斷層，可以讓學(xué)生感悟差異，追本溯源，以經(jīng)驗(yàn)原點(diǎn)的同一性助推再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)的改造，溝通“教”與“學(xué)”的通道。在學(xué)生堅(jiān)信這個(gè)平行四邊形面積=底×鄰邊=9×6=54（平方厘米）時(shí)，呈現(xiàn)格子圖（見(jiàn)圖A）。學(xué)生會(huì)將平行四邊形的面積鎖定在8×4=32（平方厘米）和10×4=40（平方厘米）之間。這一過(guò)程不僅讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到長(zhǎng)方形面積和平行四邊形面積的差異，也讓學(xué)生在面積測(cè)量的本質(zhì)層面溝通了平行四邊形面積與長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，即“每行擺單位面積的個(gè)數(shù)×擺的行數(shù)”。接下來(lái)，讓學(xué)生自己利用格子圖探究平行四邊形的面積計(jì)算公式就可水到渠成。

原有經(jīng)驗(yàn)引發(fā)的錯(cuò)誤被充分展示，學(xué)生才能主動(dòng)經(jīng)歷“從肯定到否定，從錯(cuò)到對(duì)，從破到立”的公式推導(dǎo)過(guò)程，將再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)提升至應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)的高度。

三、改造再生性經(jīng)驗(yàn)，抓住斷層先用后拓，聯(lián)結(jié)“教”和“學(xué)”的通道

當(dāng)學(xué)生再次遇到和前一次數(shù)學(xué)活動(dòng)一樣的情境時(shí)，前一次的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)完全再現(xiàn)，學(xué)生能照著模式套用，這樣的經(jīng)驗(yàn)稱(chēng)為再生性經(jīng)驗(yàn)。如學(xué)生探究梯形面積時(shí)再現(xiàn)的三角形面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)就是再生性經(jīng)驗(yàn)。如果三角形面積推導(dǎo)能照搬平行四邊形面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，依然用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化推導(dǎo)（見(jiàn)圖B），那也是再生性經(jīng)驗(yàn)。

但教材采用的是兩個(gè)完全一樣的三角形進(jìn)行拼接（簡(jiǎn)稱(chēng)雙拼法），這就與學(xué)生“再現(xiàn)”的割補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)出現(xiàn)了差異，就屬于再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)。

利用學(xué)生的再生性經(jīng)驗(yàn)也能推導(dǎo)出三角形面積的計(jì)算方法。無(wú)論是等腰三角形還是不等邊三角形，都能通過(guò)割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成平行四邊形或長(zhǎng)方形。那么，教材為什么放棄了割補(bǔ)法，選擇了雙拼法？就認(rèn)知發(fā)展水平而言，學(xué)生已經(jīng)完全具備對(duì)等腰三角形進(jìn)行割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的能力。但不等邊三角形需要沿中位線(xiàn)割補(bǔ)轉(zhuǎn)化，卻超出了學(xué)生已有的知識(shí)水平。憑學(xué)生自己的能力很難想到這一方法，即便教師告知了方法，如果不輔之動(dòng)態(tài)直觀支撐，學(xué)生也難以理解，甚至難以操作成功。而教材選擇的雙拼法（見(jiàn)圖C），無(wú)論是哪一類(lèi)三角形，都非常直觀形象，學(xué)生很容易理解。endprint

再生性經(jīng)驗(yàn)無(wú)法“再生”的現(xiàn)狀，致使很多人忽略了其“再生”本質(zhì)。如實(shí)施前文所提的以“暗示”的方式對(duì)“學(xué)路”加以修復(fù)，導(dǎo)致平行四邊形與三角形的面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)無(wú)法有效銜接融合。

要有效聯(lián)結(jié)“割補(bǔ)法”與“雙拼法”，就必須利用學(xué)生自發(fā)的再生性經(jīng)驗(yàn)——“割補(bǔ)法”。教師可以給學(xué)生提供1個(gè)等腰三角形和1個(gè)不等邊三角形。學(xué)生之前的割補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)，拿起三角形就沿著高剪、拼。在這一過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)1個(gè)三角形能成功轉(zhuǎn)化，順利推導(dǎo)出“三角形面積=底÷2×高”，但另1個(gè)三角形卻割補(bǔ)轉(zhuǎn)化失敗。一起觀察剪開(kāi)的圖形：為什么這一個(gè)三角形能很容易地成功轉(zhuǎn)化？原來(lái)這一個(gè)是等腰三角形，能沿著高剪成2個(gè)完全相同的三角形。有什么方法能使不等邊三角形也轉(zhuǎn)化？學(xué)生會(huì)想到“也使它變成兩個(gè)完全相同的三角形”“再找一個(gè)和它完全相同的三角形”，并得到“三角形面積=底×高÷2”。此時(shí)，教師只要抓住“底÷2×高”與“底×高÷2”的聯(lián)系進(jìn)行溝通，就能讓學(xué)生獲取與割補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)有效銜接的“雙拼法”面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生在自發(fā)的再生性經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，借助比較、觀察等探究活動(dòng)生成了再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)，解決了不等邊三角形面積推導(dǎo)問(wèn)題。教師隨即引導(dǎo)學(xué)生將兩種推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)打通，又進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)推導(dǎo)過(guò)程的理解。先用后延，立足再生性經(jīng)驗(yàn)，延伸再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生獲取的不僅僅是三角形面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，更積累了基于原有經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的有效經(jīng)驗(yàn)。

四、改造概括性經(jīng)驗(yàn)，抓住斷層分解難度，構(gòu)建“教”和“學(xué)”的通道

當(dāng)學(xué)生遇到形式不同、本質(zhì)一樣的新情況時(shí)，按照原有“模式”經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)就稱(chēng)為概括性經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，六年級(jí)學(xué)生初次接觸圓的面積時(shí)，有近60%學(xué)生認(rèn)為圓能轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)其面積。這種在直線(xiàn)圖形中積累形成的割補(bǔ)、拼接經(jīng)驗(yàn)就稱(chēng)其為概括性經(jīng)驗(yàn)。

這一經(jīng)驗(yàn)雖然有利于圓面積公式的推導(dǎo)，但因?yàn)閳A面積的“形式”與學(xué)生之前接觸的直線(xiàn)圖形的“形式”太過(guò)“不同”，所以學(xué)生仍然無(wú)法借此模式解決新問(wèn)題。只有11%的學(xué)生想到沿著半徑切割拼成平行四邊形，其中還包括了預(yù)習(xí)過(guò)教材的學(xué)生。經(jīng)個(gè)別訪(fǎng)談發(fā)現(xiàn)，即便是已經(jīng)了解了圓面積推導(dǎo)過(guò)程的學(xué)生也認(rèn)為圓只能“近似”地轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)圖形?？梢?jiàn)，學(xué)生形成了轉(zhuǎn)化的探究思路后，隨即陷入了因“化曲為直”“極限思想”匱乏所造成的經(jīng)驗(yàn)困境。

如果教師從“轉(zhuǎn)化”入手，指導(dǎo)學(xué)生沿直徑將圓平均分成幾份再拼成近似的平行四邊形（或長(zhǎng)方形），學(xué)生就能運(yùn)用概括性經(jīng)驗(yàn)完成后續(xù)面積公式的推導(dǎo)。但這樣的過(guò)程無(wú)疑掠過(guò)了學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，學(xué)生無(wú)法真正理解圓面積推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。造成教、學(xué)經(jīng)驗(yàn)斷層的主要原因有兩個(gè)：一是學(xué)生原有轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)里沒(méi)有教材所呈現(xiàn)的“圖形展合”經(jīng)驗(yàn)；二是極限思想對(duì)于小學(xué)生而言抽象度過(guò)高。要修復(fù)教與學(xué)的斷層，教師就必須突破這兩個(gè)難點(diǎn)，需要借助直觀圖像、動(dòng)手操作活動(dòng)進(jìn)行分層突破，幫助學(xué)生積累相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，然后讓學(xué)生憑借概括式經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)自主探究。

第一層：豐厚“曲直”轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)

在認(rèn)識(shí)圓以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“曲直”轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的積累。讓學(xué)生多說(shuō)多操作，如將圓的周長(zhǎng)用線(xiàn)一繞再把線(xiàn)拉直，感受化曲為直，將正方形紙折成圓扇，感受直線(xiàn)圖形化為曲線(xiàn)圖形等。

第二層：感受“圓始于方”，感悟極限

從圓內(nèi)接三角形開(kāi)始，一步步變化，從形狀大小差異明顯的正三角形和圓形到差異微小的正二十邊形和圓形，引導(dǎo)學(xué)生想象正五十邊形、正一百邊形……邊越來(lái)越多、越來(lái)越短……在直觀圖像的支撐下，學(xué)生初悟“圓始于方”。

生：邊會(huì)越來(lái)越多，越來(lái)越短。

生：我覺(jué)得圓就是一個(gè)正無(wú)數(shù)邊形。

師：正無(wú)數(shù)邊形？那得是怎樣的邊？

生：就像一個(gè)點(diǎn)那樣的邊。

生：無(wú)數(shù)條邊，每個(gè)邊是一個(gè)點(diǎn)，就是 “圓”了。

第三層：切割“正多邊形”，積累中心切割經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)學(xué)生感悟到圓就像一個(gè)“正無(wú)數(shù)邊形”時(shí)，教師追問(wèn)：那么多的邊，怎么研究呢？學(xué)生提出“化繁為簡(jiǎn)”先研究正八邊形面積，再推導(dǎo)圓的面積。正八邊形面積，學(xué)生借助直觀圖會(huì)很快將其分割成8個(gè)一樣大的三角形，然后用底×高÷2×8求得面積。通過(guò)交流，逐步拓展到正N邊形只要沿著中心點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線(xiàn)分割成N個(gè)一樣大的三角形，然后用底×高÷2×N就能求得面積。

第四層：直觀操作，引導(dǎo)學(xué)生利用概括式經(jīng)驗(yàn)自主推導(dǎo)面積

有了中心切割正多邊形這一腳手架，學(xué)生就能帶著“圓如何分割成三角形？分割成幾個(gè)三角形適合你探究？分割出來(lái)的三角形又和圓的什么有關(guān)？”這些問(wèn)題，邊操作，邊思考，利用概括式經(jīng)驗(yàn)自主推導(dǎo)出面積。

生：我將圓平均分成8個(gè)近似的三角形，三角形的底就是周長(zhǎng)，高就是半徑，所以圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2×8=周長(zhǎng)×半徑÷2。

生：我將圓平均分成24個(gè)近似的三角形，三角形的底就是周長(zhǎng)，高就是半徑，所以圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2×24=周長(zhǎng)×半徑÷2。

師：這兩位同學(xué)的方法有什么相似點(diǎn)？

生：我發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)論都是圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2。

生：假設(shè)把圓平均分成n個(gè)三角形，每個(gè)三角形的底就是圓周長(zhǎng)的，它的高就是半徑r，所以三角形面積=×r×，那么圓的面積=×r××n=cr。

生：老師我有別的方法，我是拼成平行四邊形。

整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，教師不僅鋪墊了“曲”“直”轉(zhuǎn)化的活動(dòng)，又借直觀動(dòng)態(tài)讓學(xué)生感悟了“極限”和“無(wú)窮分割”，還為學(xué)生搭建了正多邊形這一腳手架，幫助學(xué)生憑借概括性經(jīng)驗(yàn)順利推導(dǎo)出圓面積，并理解了圓面積的推導(dǎo)過(guò)程，感悟了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，其程度達(dá)到甚至超越了教材所要求的圓面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)的要求。

作為教師，必然知道經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性。課堂教學(xué)要從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)的層次特點(diǎn)深入剖析“教”與“學(xué)”的斷層本質(zhì)，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)的有效改造，修復(fù)“教”與“學(xué)”的斷層，使學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與教材所要求的經(jīng)驗(yàn)順利銜接。平面圖形面積計(jì)算教學(xué)可以如此改造經(jīng)驗(yàn)，其他知識(shí)體系的教學(xué)又當(dāng)如何呢？有待教師進(jìn)一步思考和探究。

（浙江省奉化市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 315500）endprint

再生性經(jīng)驗(yàn)無(wú)法“再生”的現(xiàn)狀，致使很多人忽略了其“再生”本質(zhì)。如實(shí)施前文所提的以“暗示”的方式對(duì)“學(xué)路”加以修復(fù)，導(dǎo)致平行四邊形與三角形的面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)無(wú)法有效銜接融合。

要有效聯(lián)結(jié)“割補(bǔ)法”與“雙拼法”，就必須利用學(xué)生自發(fā)的再生性經(jīng)驗(yàn)——“割補(bǔ)法”。教師可以給學(xué)生提供1個(gè)等腰三角形和1個(gè)不等邊三角形。學(xué)生之前的割補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)，拿起三角形就沿著高剪、拼。在這一過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)1個(gè)三角形能成功轉(zhuǎn)化，順利推導(dǎo)出“三角形面積=底÷2×高”，但另1個(gè)三角形卻割補(bǔ)轉(zhuǎn)化失敗。一起觀察剪開(kāi)的圖形：為什么這一個(gè)三角形能很容易地成功轉(zhuǎn)化？原來(lái)這一個(gè)是等腰三角形，能沿著高剪成2個(gè)完全相同的三角形。有什么方法能使不等邊三角形也轉(zhuǎn)化？學(xué)生會(huì)想到“也使它變成兩個(gè)完全相同的三角形”“再找一個(gè)和它完全相同的三角形”，并得到“三角形面積=底×高÷2”。此時(shí)，教師只要抓住“底÷2×高”與“底×高÷2”的聯(lián)系進(jìn)行溝通，就能讓學(xué)生獲取與割補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)有效銜接的“雙拼法”面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生在自發(fā)的再生性經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，借助比較、觀察等探究活動(dòng)生成了再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)，解決了不等邊三角形面積推導(dǎo)問(wèn)題。教師隨即引導(dǎo)學(xué)生將兩種推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)打通，又進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)推導(dǎo)過(guò)程的理解。先用后延，立足再生性經(jīng)驗(yàn)，延伸再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生獲取的不僅僅是三角形面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，更積累了基于原有經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的有效經(jīng)驗(yàn)。

四、改造概括性經(jīng)驗(yàn)，抓住斷層分解難度，構(gòu)建“教”和“學(xué)”的通道

當(dāng)學(xué)生遇到形式不同、本質(zhì)一樣的新情況時(shí)，按照原有“模式”經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)就稱(chēng)為概括性經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，六年級(jí)學(xué)生初次接觸圓的面積時(shí)，有近60%學(xué)生認(rèn)為圓能轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)其面積。這種在直線(xiàn)圖形中積累形成的割補(bǔ)、拼接經(jīng)驗(yàn)就稱(chēng)其為概括性經(jīng)驗(yàn)。

這一經(jīng)驗(yàn)雖然有利于圓面積公式的推導(dǎo)，但因?yàn)閳A面積的“形式”與學(xué)生之前接觸的直線(xiàn)圖形的“形式”太過(guò)“不同”，所以學(xué)生仍然無(wú)法借此模式解決新問(wèn)題。只有11%的學(xué)生想到沿著半徑切割拼成平行四邊形，其中還包括了預(yù)習(xí)過(guò)教材的學(xué)生。經(jīng)個(gè)別訪(fǎng)談發(fā)現(xiàn)，即便是已經(jīng)了解了圓面積推導(dǎo)過(guò)程的學(xué)生也認(rèn)為圓只能“近似”地轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)圖形?？梢?jiàn)，學(xué)生形成了轉(zhuǎn)化的探究思路后，隨即陷入了因“化曲為直”“極限思想”匱乏所造成的經(jīng)驗(yàn)困境。

如果教師從“轉(zhuǎn)化”入手，指導(dǎo)學(xué)生沿直徑將圓平均分成幾份再拼成近似的平行四邊形（或長(zhǎng)方形），學(xué)生就能運(yùn)用概括性經(jīng)驗(yàn)完成后續(xù)面積公式的推導(dǎo)。但這樣的過(guò)程無(wú)疑掠過(guò)了學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，學(xué)生無(wú)法真正理解圓面積推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。造成教、學(xué)經(jīng)驗(yàn)斷層的主要原因有兩個(gè)：一是學(xué)生原有轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)里沒(méi)有教材所呈現(xiàn)的“圖形展合”經(jīng)驗(yàn)；二是極限思想對(duì)于小學(xué)生而言抽象度過(guò)高。要修復(fù)教與學(xué)的斷層，教師就必須突破這兩個(gè)難點(diǎn)，需要借助直觀圖像、動(dòng)手操作活動(dòng)進(jìn)行分層突破，幫助學(xué)生積累相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，然后讓學(xué)生憑借概括式經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)自主探究。

第一層：豐厚“曲直”轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)

在認(rèn)識(shí)圓以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“曲直”轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的積累。讓學(xué)生多說(shuō)多操作，如將圓的周長(zhǎng)用線(xiàn)一繞再把線(xiàn)拉直，感受化曲為直，將正方形紙折成圓扇，感受直線(xiàn)圖形化為曲線(xiàn)圖形等。

第二層：感受“圓始于方”，感悟極限

從圓內(nèi)接三角形開(kāi)始，一步步變化，從形狀大小差異明顯的正三角形和圓形到差異微小的正二十邊形和圓形，引導(dǎo)學(xué)生想象正五十邊形、正一百邊形……邊越來(lái)越多、越來(lái)越短……在直觀圖像的支撐下，學(xué)生初悟“圓始于方”。

生：邊會(huì)越來(lái)越多，越來(lái)越短。

生：我覺(jué)得圓就是一個(gè)正無(wú)數(shù)邊形。

師：正無(wú)數(shù)邊形？那得是怎樣的邊？

生：就像一個(gè)點(diǎn)那樣的邊。

生：無(wú)數(shù)條邊，每個(gè)邊是一個(gè)點(diǎn)，就是 “圓”了。

第三層：切割“正多邊形”，積累中心切割經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)學(xué)生感悟到圓就像一個(gè)“正無(wú)數(shù)邊形”時(shí)，教師追問(wèn)：那么多的邊，怎么研究呢？學(xué)生提出“化繁為簡(jiǎn)”先研究正八邊形面積，再推導(dǎo)圓的面積。正八邊形面積，學(xué)生借助直觀圖會(huì)很快將其分割成8個(gè)一樣大的三角形，然后用底×高÷2×8求得面積。通過(guò)交流，逐步拓展到正N邊形只要沿著中心點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線(xiàn)分割成N個(gè)一樣大的三角形，然后用底×高÷2×N就能求得面積。

第四層：直觀操作，引導(dǎo)學(xué)生利用概括式經(jīng)驗(yàn)自主推導(dǎo)面積

有了中心切割正多邊形這一腳手架，學(xué)生就能帶著“圓如何分割成三角形？分割成幾個(gè)三角形適合你探究？分割出來(lái)的三角形又和圓的什么有關(guān)？”這些問(wèn)題，邊操作，邊思考，利用概括式經(jīng)驗(yàn)自主推導(dǎo)出面積。

生：我將圓平均分成8個(gè)近似的三角形，三角形的底就是周長(zhǎng)，高就是半徑，所以圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2×8=周長(zhǎng)×半徑÷2。

生：我將圓平均分成24個(gè)近似的三角形，三角形的底就是周長(zhǎng)，高就是半徑，所以圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2×24=周長(zhǎng)×半徑÷2。

師：這兩位同學(xué)的方法有什么相似點(diǎn)？

生：我發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)論都是圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2。

生：假設(shè)把圓平均分成n個(gè)三角形，每個(gè)三角形的底就是圓周長(zhǎng)的，它的高就是半徑r，所以三角形面積=×r×，那么圓的面積=×r××n=cr。

生：老師我有別的方法，我是拼成平行四邊形。

整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，教師不僅鋪墊了“曲”“直”轉(zhuǎn)化的活動(dòng)，又借直觀動(dòng)態(tài)讓學(xué)生感悟了“極限”和“無(wú)窮分割”，還為學(xué)生搭建了正多邊形這一腳手架，幫助學(xué)生憑借概括性經(jīng)驗(yàn)順利推導(dǎo)出圓面積，并理解了圓面積的推導(dǎo)過(guò)程，感悟了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，其程度達(dá)到甚至超越了教材所要求的圓面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)的要求。

作為教師，必然知道經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性。課堂教學(xué)要從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)的層次特點(diǎn)深入剖析“教”與“學(xué)”的斷層本質(zhì)，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)的有效改造，修復(fù)“教”與“學(xué)”的斷層，使學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與教材所要求的經(jīng)驗(yàn)順利銜接。平面圖形面積計(jì)算教學(xué)可以如此改造經(jīng)驗(yàn)，其他知識(shí)體系的教學(xué)又當(dāng)如何呢？有待教師進(jìn)一步思考和探究。

（浙江省奉化市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 315500）endprint

再生性經(jīng)驗(yàn)無(wú)法“再生”的現(xiàn)狀，致使很多人忽略了其“再生”本質(zhì)。如實(shí)施前文所提的以“暗示”的方式對(duì)“學(xué)路”加以修復(fù)，導(dǎo)致平行四邊形與三角形的面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)無(wú)法有效銜接融合。

要有效聯(lián)結(jié)“割補(bǔ)法”與“雙拼法”，就必須利用學(xué)生自發(fā)的再生性經(jīng)驗(yàn)——“割補(bǔ)法”。教師可以給學(xué)生提供1個(gè)等腰三角形和1個(gè)不等邊三角形。學(xué)生之前的割補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)再現(xiàn)，拿起三角形就沿著高剪、拼。在這一過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)1個(gè)三角形能成功轉(zhuǎn)化，順利推導(dǎo)出“三角形面積=底÷2×高”，但另1個(gè)三角形卻割補(bǔ)轉(zhuǎn)化失敗。一起觀察剪開(kāi)的圖形：為什么這一個(gè)三角形能很容易地成功轉(zhuǎn)化？原來(lái)這一個(gè)是等腰三角形，能沿著高剪成2個(gè)完全相同的三角形。有什么方法能使不等邊三角形也轉(zhuǎn)化？學(xué)生會(huì)想到“也使它變成兩個(gè)完全相同的三角形”“再找一個(gè)和它完全相同的三角形”，并得到“三角形面積=底×高÷2”。此時(shí)，教師只要抓住“底÷2×高”與“底×高÷2”的聯(lián)系進(jìn)行溝通，就能讓學(xué)生獲取與割補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)有效銜接的“雙拼法”面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生在自發(fā)的再生性經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，借助比較、觀察等探究活動(dòng)生成了再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)，解決了不等邊三角形面積推導(dǎo)問(wèn)題。教師隨即引導(dǎo)學(xué)生將兩種推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)打通，又進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)推導(dǎo)過(guò)程的理解。先用后延，立足再生性經(jīng)驗(yàn)，延伸再認(rèn)性經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生獲取的不僅僅是三角形面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，更積累了基于原有經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的有效經(jīng)驗(yàn)。

四、改造概括性經(jīng)驗(yàn)，抓住斷層分解難度，構(gòu)建“教”和“學(xué)”的通道

當(dāng)學(xué)生遇到形式不同、本質(zhì)一樣的新情況時(shí)，按照原有“模式”經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)就稱(chēng)為概括性經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，六年級(jí)學(xué)生初次接觸圓的面積時(shí)，有近60%學(xué)生認(rèn)為圓能轉(zhuǎn)化成平行四邊形推導(dǎo)其面積。這種在直線(xiàn)圖形中積累形成的割補(bǔ)、拼接經(jīng)驗(yàn)就稱(chēng)其為概括性經(jīng)驗(yàn)。

這一經(jīng)驗(yàn)雖然有利于圓面積公式的推導(dǎo)，但因?yàn)閳A面積的“形式”與學(xué)生之前接觸的直線(xiàn)圖形的“形式”太過(guò)“不同”，所以學(xué)生仍然無(wú)法借此模式解決新問(wèn)題。只有11%的學(xué)生想到沿著半徑切割拼成平行四邊形，其中還包括了預(yù)習(xí)過(guò)教材的學(xué)生。經(jīng)個(gè)別訪(fǎng)談發(fā)現(xiàn)，即便是已經(jīng)了解了圓面積推導(dǎo)過(guò)程的學(xué)生也認(rèn)為圓只能“近似”地轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)圖形?？梢?jiàn)，學(xué)生形成了轉(zhuǎn)化的探究思路后，隨即陷入了因“化曲為直”“極限思想”匱乏所造成的經(jīng)驗(yàn)困境。

如果教師從“轉(zhuǎn)化”入手，指導(dǎo)學(xué)生沿直徑將圓平均分成幾份再拼成近似的平行四邊形（或長(zhǎng)方形），學(xué)生就能運(yùn)用概括性經(jīng)驗(yàn)完成后續(xù)面積公式的推導(dǎo)。但這樣的過(guò)程無(wú)疑掠過(guò)了學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)，學(xué)生無(wú)法真正理解圓面積推導(dǎo)的準(zhǔn)確性。造成教、學(xué)經(jīng)驗(yàn)斷層的主要原因有兩個(gè)：一是學(xué)生原有轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)里沒(méi)有教材所呈現(xiàn)的“圖形展合”經(jīng)驗(yàn)；二是極限思想對(duì)于小學(xué)生而言抽象度過(guò)高。要修復(fù)教與學(xué)的斷層，教師就必須突破這兩個(gè)難點(diǎn)，需要借助直觀圖像、動(dòng)手操作活動(dòng)進(jìn)行分層突破，幫助學(xué)生積累相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，然后讓學(xué)生憑借概括式經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)自主探究。

第一層：豐厚“曲直”轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)

在認(rèn)識(shí)圓以后，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“曲直”轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的積累。讓學(xué)生多說(shuō)多操作，如將圓的周長(zhǎng)用線(xiàn)一繞再把線(xiàn)拉直，感受化曲為直，將正方形紙折成圓扇，感受直線(xiàn)圖形化為曲線(xiàn)圖形等。

第二層：感受“圓始于方”，感悟極限

從圓內(nèi)接三角形開(kāi)始，一步步變化，從形狀大小差異明顯的正三角形和圓形到差異微小的正二十邊形和圓形，引導(dǎo)學(xué)生想象正五十邊形、正一百邊形……邊越來(lái)越多、越來(lái)越短……在直觀圖像的支撐下，學(xué)生初悟“圓始于方”。

生：邊會(huì)越來(lái)越多，越來(lái)越短。

生：我覺(jué)得圓就是一個(gè)正無(wú)數(shù)邊形。

師：正無(wú)數(shù)邊形？那得是怎樣的邊？

生：就像一個(gè)點(diǎn)那樣的邊。

生：無(wú)數(shù)條邊，每個(gè)邊是一個(gè)點(diǎn)，就是 “圓”了。

第三層：切割“正多邊形”，積累中心切割經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)學(xué)生感悟到圓就像一個(gè)“正無(wú)數(shù)邊形”時(shí)，教師追問(wèn)：那么多的邊，怎么研究呢？學(xué)生提出“化繁為簡(jiǎn)”先研究正八邊形面積，再推導(dǎo)圓的面積。正八邊形面積，學(xué)生借助直觀圖會(huì)很快將其分割成8個(gè)一樣大的三角形，然后用底×高÷2×8求得面積。通過(guò)交流，逐步拓展到正N邊形只要沿著中心點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線(xiàn)分割成N個(gè)一樣大的三角形，然后用底×高÷2×N就能求得面積。

第四層：直觀操作，引導(dǎo)學(xué)生利用概括式經(jīng)驗(yàn)自主推導(dǎo)面積

有了中心切割正多邊形這一腳手架，學(xué)生就能帶著“圓如何分割成三角形？分割成幾個(gè)三角形適合你探究？分割出來(lái)的三角形又和圓的什么有關(guān)？”這些問(wèn)題，邊操作，邊思考，利用概括式經(jīng)驗(yàn)自主推導(dǎo)出面積。

生：我將圓平均分成8個(gè)近似的三角形，三角形的底就是周長(zhǎng)，高就是半徑，所以圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2×8=周長(zhǎng)×半徑÷2。

生：我將圓平均分成24個(gè)近似的三角形，三角形的底就是周長(zhǎng)，高就是半徑，所以圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2×24=周長(zhǎng)×半徑÷2。

師：這兩位同學(xué)的方法有什么相似點(diǎn)？

生：我發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)論都是圓的面積=周長(zhǎng)×半徑÷2。

生：假設(shè)把圓平均分成n個(gè)三角形，每個(gè)三角形的底就是圓周長(zhǎng)的，它的高就是半徑r，所以三角形面積=×r×，那么圓的面積=×r××n=cr。

生：老師我有別的方法，我是拼成平行四邊形。

整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，教師不僅鋪墊了“曲”“直”轉(zhuǎn)化的活動(dòng)，又借直觀動(dòng)態(tài)讓學(xué)生感悟了“極限”和“無(wú)窮分割”，還為學(xué)生搭建了正多邊形這一腳手架，幫助學(xué)生憑借概括性經(jīng)驗(yàn)順利推導(dǎo)出圓面積，并理解了圓面積的推導(dǎo)過(guò)程，感悟了其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，其程度達(dá)到甚至超越了教材所要求的圓面積推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)的要求。

作為教師，必然知道經(jīng)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的重要性。課堂教學(xué)要從學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合經(jīng)驗(yàn)的層次特點(diǎn)深入剖析“教”與“學(xué)”的斷層本質(zhì)，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)的有效改造，修復(fù)“教”與“學(xué)”的斷層，使學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與教材所要求的經(jīng)驗(yàn)順利銜接。平面圖形面積計(jì)算教學(xué)可以如此改造經(jīng)驗(yàn)，其他知識(shí)體系的教學(xué)又當(dāng)如何呢？有待教師進(jìn)一步思考和探究。

（浙江省奉化市實(shí)驗(yàn)小學(xué) 315500）endprint