顧志能

現(xiàn)代學(xué)習(xí)理論表明，學(xué)習(xí)過程是認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成、變化和完善的過程。在影響學(xué)習(xí)的諸多因素中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)是決定學(xué)習(xí)成效的一個關(guān)鍵和直接因素?；谶@樣的理論，要開展數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，就需要對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有正確的認(rèn)識和全面的把握。

李士锜教授對此開展了研究，他提出，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)在形式上可以看作是由節(jié)點(diǎn)和連線組成的復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點(diǎn)就是結(jié)構(gòu)中的元素或?qū)ο螅硎緮?shù)學(xué)對象（如概念、性質(zhì)等）在心理上的表示形態(tài)，即數(shù)學(xué)對象的心理表象。連線則是元素間存在的穩(wěn)定的聯(lián)系，它是認(rèn)識理解問題的入口，是回憶知識的線索，又是指明節(jié)點(diǎn)“地址”的“指針”。 數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)最基本的形式有三種：線性結(jié)構(gòu)、樹形結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)（如圖1）。

圖1

這樣的觀點(diǎn)，較為形象地展現(xiàn)了數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組成形式，也在一定程度上刻畫了數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的運(yùn)行機(jī)制，這為深入研究數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)提供了有益的啟示。

然而，盡管李士锜教授對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)給出了如此形象的解讀，但他卻又和大多數(shù)研究者持有相同的觀點(diǎn)，即“心理結(jié)構(gòu)或認(rèn)知結(jié)構(gòu)只能看作是心理現(xiàn)象、思維形態(tài)的一種假設(shè)。這個結(jié)構(gòu)不能被肉眼看到，目前也很少有可能真實(shí)地全面地描繪出來”。

這就是對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的研究一直以來都面臨的障礙——不能描繪并呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。但顯然，這樣的觀點(diǎn)讓人疑惑——倘若我們不知道數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)具體的形態(tài)，我們又憑什么去討論數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)這個概念呢？而“學(xué)習(xí)的過程就是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)改變或完善的過程”的共識，我們又怎樣去認(rèn)識并研究它呢？

基于上述原因，筆者想在學(xué)習(xí)相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐和思考，嘗試著對數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的具體形態(tài)作一描繪，并簡要分析其運(yùn)作的基本形式。

一、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形態(tài)

首先，筆者也傾向于用網(wǎng)絡(luò)圖的形式來表達(dá)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。之所以如此，是因?yàn)楣P者覺得，既然“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者頭腦中的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)”，那么，它就應(yīng)當(dāng)是以數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)“材料”，以學(xué)習(xí)者個性心理特征為“黏合劑”，從無至有、從簡單到復(fù)雜，逐步搭建起來的一個“建筑物”。而我們所教學(xué)的數(shù)學(xué)知識，其結(jié)構(gòu)有鮮明的層次性和邏輯性，具有網(wǎng)絡(luò)狀的結(jié)構(gòu)，這就會導(dǎo)致我們在搭建“建筑物”時，不可避免地會以這個網(wǎng)絡(luò)狀結(jié)構(gòu)為基本框架，然后去逐步擴(kuò)展并建構(gòu)。那么，如此建立出來的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，自然也就會具有網(wǎng)絡(luò)狀的結(jié)構(gòu)，即可以用網(wǎng)絡(luò)圖的形式來表達(dá)。

下面，筆者就以“三角形”為例，試著描繪某個學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形這個單元后，他頭腦中具有的關(guān)于三角形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

圖2

圖2中的A、B兩個圓角矩形，分別表示三角形和平行四邊形兩個知識點(diǎn)，這樣的點(diǎn)，我們暫且稱之為基點(diǎn)。基點(diǎn)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)中組成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的主要知識點(diǎn)。在基點(diǎn)的周圍，散布著很多個橢圓，這些橢圓中的內(nèi)容，我們不妨稱之為附點(diǎn)。附點(diǎn)與基點(diǎn)緊密相關(guān)，主要反映的是基點(diǎn)的屬性、特征，或?qū)W習(xí)者的學(xué)習(xí)經(jīng)歷、情感等。如圖2中，三角形的附點(diǎn)有“概念”“畫高”“穩(wěn)定性”“三邊關(guān)系”“擺小棒”等很多個。如把這些附點(diǎn)進(jìn)一步分類，我們就會發(fā)現(xiàn)它們可分為指向于知識、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)、情感等不同的方面。如“概念”“三邊關(guān)系”等就屬于知識范疇，“畫高”“拼組”則體現(xiàn)出技能的特性，“分類”帶有一定的數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵，“擺小棒”“拼內(nèi)角”等，較多地反映了學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)，“有趣”“很麻煩”則是學(xué)生學(xué)習(xí)情感的展示?；c(diǎn)和附點(diǎn)之間，或附點(diǎn)與附點(diǎn)之間，都有一些連接線，這些連接線，我們姑且稱之為通道。通道反映了點(diǎn)和點(diǎn)之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，這個聯(lián)系事實(shí)上就是學(xué)生頭腦中對數(shù)學(xué)知識組織方式的體現(xiàn)。

這樣，一個網(wǎng)絡(luò)狀的關(guān)于三角形數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖就呈現(xiàn)出來了（虛線左側(cè)部分）。這個網(wǎng)絡(luò)圖與數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)圖的最大區(qū)別——它并非僅是三角形知識點(diǎn)的羅列，而是包含著學(xué)生對三角形相關(guān)內(nèi)容的理解、感受、經(jīng)驗(yàn)、情感等各種成分，并且是經(jīng)由學(xué)生的心理重組后而得到的結(jié)構(gòu)圖。

從這個結(jié)構(gòu)圖中我們還可以看到，三角形的附點(diǎn)“內(nèi)角和”“拉得動拉不動”“拼組”“沿高剪拼”，都與平行四邊形（虛線右側(cè)部分）有一定的聯(lián)系，如“由三角形內(nèi)角和180°”可聯(lián)想至“平行四邊形內(nèi)角和360°”。于是，三角形的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)就通過這樣的附點(diǎn)以及通道，搭建到了（或者聯(lián)系上了）平行四邊形的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)由此可得到擴(kuò)張。

可以想見，平行四邊形認(rèn)知結(jié)構(gòu)也是一個像三角形那樣的復(fù)雜系統(tǒng)，而與三角形、平行四邊形有關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容還有很多，這些內(nèi)容都各自會擁有類似這樣的系統(tǒng)。這很多個復(fù)雜的系統(tǒng)，最后就與三角形、平行四邊形一起匯成了一個更加龐大、更加錯綜復(fù)雜的大網(wǎng)絡(luò)。然而，這個大網(wǎng)絡(luò)，主要涉及的還僅僅是幾何領(lǐng)域。那么，數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域的內(nèi)容呢？也都可組成各種各樣的網(wǎng)絡(luò)。最終，這些不同的網(wǎng)絡(luò)，卻又通過內(nèi)在的微妙的聯(lián)系，交織在一起，形成了一個更龐大的網(wǎng)絡(luò)——關(guān)于數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)。

這樣的網(wǎng)絡(luò)，僅規(guī)模而言，就已經(jīng)復(fù)雜到幾乎讓人難以全面地描述了。帶給人更大的挑戰(zhàn)是，在這個網(wǎng)絡(luò)中，除卻展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的基點(diǎn)和部分附點(diǎn)尚可分析外，那些體現(xiàn)學(xué)生個體的認(rèn)知狀況、心理特征的附點(diǎn)及相關(guān)通道，我們又怎么可能全部知悉，怎么可能準(zhǔn)確地建構(gòu)它們呢？站在這樣的角度來想象，一個人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的確“很少有可能真實(shí)地全面地描繪出來”——實(shí)在太復(fù)雜了。

二、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的運(yùn)作方式

研究表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是新的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相互作用，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。其中的“相互作用”，主要形式就是我們常說的“同化”和“順應(yīng)”。下面擬結(jié)合實(shí)例，以這個過程中數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)運(yùn)作形式的角度對同化和順應(yīng)作具體詮釋。

（一）連接舊基點(diǎn)，建立新通道，認(rèn)知結(jié)構(gòu)自然地擴(kuò)張——同化

學(xué)生在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)內(nèi)容時，教師往往會以待解決的問題形式刺激他們，此時，學(xué)生就會從腦中已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去搜尋可用的資源（即結(jié)構(gòu)圖中的有關(guān)基點(diǎn)及附點(diǎn)，主要是基點(diǎn)）。倘若，這些基點(diǎn)能對待解決的問題作出解釋或處理，那么，新的數(shù)學(xué)內(nèi)容就與原有的基點(diǎn)建立起了有意義的聯(lián)系，解決問題的有效通道（可能是多條）就得以形成，問題得以解決。這就是同化的過程，即把新的數(shù)學(xué)內(nèi)容納入到了原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到自然擴(kuò)張的過程。endprint

以“小數(shù)加減法”為例，在學(xué)習(xí)這個內(nèi)容前，學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，有“小數(shù)的初步認(rèn)識”“小數(shù)的意義”“整數(shù)加減法”等相關(guān)知識，對小數(shù)可用元、角、分直觀理解或用計數(shù)單位抽象理解，對整數(shù)加減法的法則也非常清晰。此時，新的問題呈現(xiàn)：“水費(fèi)6.54元，電費(fèi)20.8元，兩項(xiàng)費(fèi)用一共多少元？”面對6.54+20.8要進(jìn)行豎式計算，有學(xué)生調(diào)用了基點(diǎn)1（元、角、分的知識）實(shí)現(xiàn)對位并進(jìn)行解釋，有學(xué)生調(diào)用了基點(diǎn)2（小數(shù)意義中計數(shù)單位的知識）實(shí)現(xiàn)了更理性的操作，也有學(xué)生從基點(diǎn)3（整數(shù)加減法的法則）遷移過來，三條通道就此建立。在進(jìn)一步地探究分析之后，小數(shù)加減法又和整數(shù)加減法實(shí)現(xiàn)了溝通，歸并到了共同的原理上（相同計數(shù)單位的數(shù)才可相加減），由此，兩個基點(diǎn)又被一個新的內(nèi)涵串聯(lián)在了一起（如圖3）。這個過程，就是新知與舊基點(diǎn)連接，各種通道新建的過程，這事實(shí)上就是知識同化的過程。經(jīng)過這樣的過程，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)自然擴(kuò)張，認(rèn)知水平也隨之提升。

圖3

這個例子，還給我們帶來了啟示——復(fù)習(xí)鋪墊、自主探究都是有利于同化進(jìn)行的有效策略。新課前的復(fù)習(xí)鋪墊，能使得原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的基點(diǎn)、附點(diǎn)進(jìn)一步清晰和穩(wěn)定，成為新知學(xué)習(xí)、構(gòu)建通道時強(qiáng)有力的固著點(diǎn)，如上例中對原結(jié)構(gòu)中三個基點(diǎn)的復(fù)習(xí)就可起到這樣的作用。而學(xué)生的自主探究，則是學(xué)生充分運(yùn)用自己的能力，對已有結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和辨別，找尋新舊知識間的通道并提升認(rèn)知水平的過程，如上例中各個通道的建立。所以，這兩種方式都是學(xué)生自主建構(gòu)知識的有效方式。

（二）斷開原通道，改組舊網(wǎng)絡(luò)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)主動地調(diào)整——順應(yīng)

當(dāng)新知不能被原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化時，我們就需要重新審視原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，剖析結(jié)構(gòu)中的瑕疵乃至錯誤，并對它進(jìn)行調(diào)整，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要。從理論上分析，這種瑕疵或者錯誤，主要是因?yàn)樵Y(jié)構(gòu)中點(diǎn)與點(diǎn)之間的連接通道存在問題，導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)信息進(jìn)入時，與原有結(jié)構(gòu)發(fā)生矛盾，即產(chǎn)生認(rèn)知沖突。

以“平行四邊形面積”的學(xué)習(xí)為例，之前，學(xué)生受“長方形面積等于長乘寬”和“平行四邊形易拉動可變形為長方形”等已有認(rèn)知的影響，頭腦中已建立了如下的結(jié)構(gòu)圖（圖4虛線以下部分），并誤以為平行四邊形也可像長方形那樣，相鄰的兩條邊相乘就可得到面積。

圖4

剖析這個認(rèn)知結(jié)構(gòu)，我們不難發(fā)現(xiàn)，問題產(chǎn)生的根源就是通道①和②的建立。假設(shè)沒有這兩個通道，平行四邊形通過拉動化歸為長方形進(jìn)而求面積的錯誤思路就不會產(chǎn)生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于這個錯誤的結(jié)構(gòu)，學(xué)生才產(chǎn)生了“平行四邊形拉動不斷變形而面積怎么會不變”的認(rèn)知沖突，于是，學(xué)習(xí)進(jìn)入了反思分析階段。在這個階段，學(xué)生依托觀察、討論、交流、比較、動手等豐富的學(xué)習(xí)方式，找到了問題的癥結(jié)：拉動平行四邊形，周長不變，但面積要變化。進(jìn)一步地，就會發(fā)現(xiàn)要實(shí)現(xiàn)面積不變的化歸，應(yīng)該斷開通道②，然后重新建立附點(diǎn)“可割補(bǔ)成長方形”，以基點(diǎn)“平行四邊形”連接它，并再連接“長方形面積等于長乘寬”（虛線以上部分）。如此，一輪對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的調(diào)整和改造就完成了，新的結(jié)構(gòu)建立，問題得以解決，這個過程就可看作是順應(yīng)的過程。

這種現(xiàn)象，體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，那就是他們遇到了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。這也給我們的教學(xué)帶來啟示——遇到教學(xué)難點(diǎn)，我們可有意地制造并放大認(rèn)知沖突，然后將問題拋還給學(xué)生。學(xué)生應(yīng)對的過程，就是他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，就是他們調(diào)動經(jīng)驗(yàn)、深刻內(nèi)省、激揚(yáng)思維的過程。而正是在這樣的過程中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)一步完善，認(rèn)知能力進(jìn)一步發(fā)展。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并非只有同化和順應(yīng)兩種形式，同化和順應(yīng)也不是機(jī)械地獨(dú)立存在于學(xué)習(xí)的過程中，因此，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的運(yùn)作也絕不可能如上文所述的兩種情況那樣簡單。人的思維是復(fù)雜的，對人的思維的分析永遠(yuǎn)跟不上人的思維的實(shí)際狀況，但是，就在這樣的分析中，我們卻有可能得到進(jìn)步，教學(xué)卻有可能得到發(fā)展。這，也許就是教學(xué)研究的意義！

（浙江省海鹽縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán) 314300）endprint

以“小數(shù)加減法”為例，在學(xué)習(xí)這個內(nèi)容前，學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，有“小數(shù)的初步認(rèn)識”“小數(shù)的意義”“整數(shù)加減法”等相關(guān)知識，對小數(shù)可用元、角、分直觀理解或用計數(shù)單位抽象理解，對整數(shù)加減法的法則也非常清晰。此時，新的問題呈現(xiàn)：“水費(fèi)6.54元，電費(fèi)20.8元，兩項(xiàng)費(fèi)用一共多少元？”面對6.54+20.8要進(jìn)行豎式計算，有學(xué)生調(diào)用了基點(diǎn)1（元、角、分的知識）實(shí)現(xiàn)對位并進(jìn)行解釋，有學(xué)生調(diào)用了基點(diǎn)2（小數(shù)意義中計數(shù)單位的知識）實(shí)現(xiàn)了更理性的操作，也有學(xué)生從基點(diǎn)3（整數(shù)加減法的法則）遷移過來，三條通道就此建立。在進(jìn)一步地探究分析之后，小數(shù)加減法又和整數(shù)加減法實(shí)現(xiàn)了溝通，歸并到了共同的原理上（相同計數(shù)單位的數(shù)才可相加減），由此，兩個基點(diǎn)又被一個新的內(nèi)涵串聯(lián)在了一起（如圖3）。這個過程，就是新知與舊基點(diǎn)連接，各種通道新建的過程，這事實(shí)上就是知識同化的過程。經(jīng)過這樣的過程，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)自然擴(kuò)張，認(rèn)知水平也隨之提升。

圖3

這個例子，還給我們帶來了啟示——復(fù)習(xí)鋪墊、自主探究都是有利于同化進(jìn)行的有效策略。新課前的復(fù)習(xí)鋪墊，能使得原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的基點(diǎn)、附點(diǎn)進(jìn)一步清晰和穩(wěn)定，成為新知學(xué)習(xí)、構(gòu)建通道時強(qiáng)有力的固著點(diǎn)，如上例中對原結(jié)構(gòu)中三個基點(diǎn)的復(fù)習(xí)就可起到這樣的作用。而學(xué)生的自主探究，則是學(xué)生充分運(yùn)用自己的能力，對已有結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和辨別，找尋新舊知識間的通道并提升認(rèn)知水平的過程，如上例中各個通道的建立。所以，這兩種方式都是學(xué)生自主建構(gòu)知識的有效方式。

（二）斷開原通道，改組舊網(wǎng)絡(luò)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)主動地調(diào)整——順應(yīng)

當(dāng)新知不能被原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化時，我們就需要重新審視原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，剖析結(jié)構(gòu)中的瑕疵乃至錯誤，并對它進(jìn)行調(diào)整，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要。從理論上分析，這種瑕疵或者錯誤，主要是因?yàn)樵Y(jié)構(gòu)中點(diǎn)與點(diǎn)之間的連接通道存在問題，導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)信息進(jìn)入時，與原有結(jié)構(gòu)發(fā)生矛盾，即產(chǎn)生認(rèn)知沖突。

以“平行四邊形面積”的學(xué)習(xí)為例，之前，學(xué)生受“長方形面積等于長乘寬”和“平行四邊形易拉動可變形為長方形”等已有認(rèn)知的影響，頭腦中已建立了如下的結(jié)構(gòu)圖（圖4虛線以下部分），并誤以為平行四邊形也可像長方形那樣，相鄰的兩條邊相乘就可得到面積。

圖4

剖析這個認(rèn)知結(jié)構(gòu)，我們不難發(fā)現(xiàn)，問題產(chǎn)生的根源就是通道①和②的建立。假設(shè)沒有這兩個通道，平行四邊形通過拉動化歸為長方形進(jìn)而求面積的錯誤思路就不會產(chǎn)生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于這個錯誤的結(jié)構(gòu)，學(xué)生才產(chǎn)生了“平行四邊形拉動不斷變形而面積怎么會不變”的認(rèn)知沖突，于是，學(xué)習(xí)進(jìn)入了反思分析階段。在這個階段，學(xué)生依托觀察、討論、交流、比較、動手等豐富的學(xué)習(xí)方式，找到了問題的癥結(jié)：拉動平行四邊形，周長不變，但面積要變化。進(jìn)一步地，就會發(fā)現(xiàn)要實(shí)現(xiàn)面積不變的化歸，應(yīng)該斷開通道②，然后重新建立附點(diǎn)“可割補(bǔ)成長方形”，以基點(diǎn)“平行四邊形”連接它，并再連接“長方形面積等于長乘寬”（虛線以上部分）。如此，一輪對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的調(diào)整和改造就完成了，新的結(jié)構(gòu)建立，問題得以解決，這個過程就可看作是順應(yīng)的過程。

這種現(xiàn)象，體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，那就是他們遇到了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。這也給我們的教學(xué)帶來啟示——遇到教學(xué)難點(diǎn)，我們可有意地制造并放大認(rèn)知沖突，然后將問題拋還給學(xué)生。學(xué)生應(yīng)對的過程，就是他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，就是他們調(diào)動經(jīng)驗(yàn)、深刻內(nèi)省、激揚(yáng)思維的過程。而正是在這樣的過程中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)一步完善，認(rèn)知能力進(jìn)一步發(fā)展。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并非只有同化和順應(yīng)兩種形式，同化和順應(yīng)也不是機(jī)械地獨(dú)立存在于學(xué)習(xí)的過程中，因此，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的運(yùn)作也絕不可能如上文所述的兩種情況那樣簡單。人的思維是復(fù)雜的，對人的思維的分析永遠(yuǎn)跟不上人的思維的實(shí)際狀況，但是，就在這樣的分析中，我們卻有可能得到進(jìn)步，教學(xué)卻有可能得到發(fā)展。這，也許就是教學(xué)研究的意義！

（浙江省海鹽縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)教育集團(tuán) 314300）endprint

以“小數(shù)加減法”為例，在學(xué)習(xí)這個內(nèi)容前，學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，有“小數(shù)的初步認(rèn)識”“小數(shù)的意義”“整數(shù)加減法”等相關(guān)知識，對小數(shù)可用元、角、分直觀理解或用計數(shù)單位抽象理解，對整數(shù)加減法的法則也非常清晰。此時，新的問題呈現(xiàn)：“水費(fèi)6.54元，電費(fèi)20.8元，兩項(xiàng)費(fèi)用一共多少元？”面對6.54+20.8要進(jìn)行豎式計算，有學(xué)生調(diào)用了基點(diǎn)1（元、角、分的知識）實(shí)現(xiàn)對位并進(jìn)行解釋，有學(xué)生調(diào)用了基點(diǎn)2（小數(shù)意義中計數(shù)單位的知識）實(shí)現(xiàn)了更理性的操作，也有學(xué)生從基點(diǎn)3（整數(shù)加減法的法則）遷移過來，三條通道就此建立。在進(jìn)一步地探究分析之后，小數(shù)加減法又和整數(shù)加減法實(shí)現(xiàn)了溝通，歸并到了共同的原理上（相同計數(shù)單位的數(shù)才可相加減），由此，兩個基點(diǎn)又被一個新的內(nèi)涵串聯(lián)在了一起（如圖3）。這個過程，就是新知與舊基點(diǎn)連接，各種通道新建的過程，這事實(shí)上就是知識同化的過程。經(jīng)過這樣的過程，學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)自然擴(kuò)張，認(rèn)知水平也隨之提升。

圖3

這個例子，還給我們帶來了啟示——復(fù)習(xí)鋪墊、自主探究都是有利于同化進(jìn)行的有效策略。新課前的復(fù)習(xí)鋪墊，能使得原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的基點(diǎn)、附點(diǎn)進(jìn)一步清晰和穩(wěn)定，成為新知學(xué)習(xí)、構(gòu)建通道時強(qiáng)有力的固著點(diǎn)，如上例中對原結(jié)構(gòu)中三個基點(diǎn)的復(fù)習(xí)就可起到這樣的作用。而學(xué)生的自主探究，則是學(xué)生充分運(yùn)用自己的能力，對已有結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和辨別，找尋新舊知識間的通道并提升認(rèn)知水平的過程，如上例中各個通道的建立。所以，這兩種方式都是學(xué)生自主建構(gòu)知識的有效方式。

（二）斷開原通道，改組舊網(wǎng)絡(luò)，認(rèn)知結(jié)構(gòu)主動地調(diào)整——順應(yīng)

當(dāng)新知不能被原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)同化時，我們就需要重新審視原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，剖析結(jié)構(gòu)中的瑕疵乃至錯誤，并對它進(jìn)行調(diào)整，以適應(yīng)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容的需要。從理論上分析，這種瑕疵或者錯誤，主要是因?yàn)樵Y(jié)構(gòu)中點(diǎn)與點(diǎn)之間的連接通道存在問題，導(dǎo)致新的數(shù)學(xué)信息進(jìn)入時，與原有結(jié)構(gòu)發(fā)生矛盾，即產(chǎn)生認(rèn)知沖突。

以“平行四邊形面積”的學(xué)習(xí)為例，之前，學(xué)生受“長方形面積等于長乘寬”和“平行四邊形易拉動可變形為長方形”等已有認(rèn)知的影響，頭腦中已建立了如下的結(jié)構(gòu)圖（圖4虛線以下部分），并誤以為平行四邊形也可像長方形那樣，相鄰的兩條邊相乘就可得到面積。

圖4

剖析這個認(rèn)知結(jié)構(gòu)，我們不難發(fā)現(xiàn)，問題產(chǎn)生的根源就是通道①和②的建立。假設(shè)沒有這兩個通道，平行四邊形通過拉動化歸為長方形進(jìn)而求面積的錯誤思路就不會產(chǎn)生（即通道③和通道④的形成）。

但是，也正是基于這個錯誤的結(jié)構(gòu)，學(xué)生才產(chǎn)生了“平行四邊形拉動不斷變形而面積怎么會不變”的認(rèn)知沖突，于是，學(xué)習(xí)進(jìn)入了反思分析階段。在這個階段，學(xué)生依托觀察、討論、交流、比較、動手等豐富的學(xué)習(xí)方式，找到了問題的癥結(jié)：拉動平行四邊形，周長不變，但面積要變化。進(jìn)一步地，就會發(fā)現(xiàn)要實(shí)現(xiàn)面積不變的化歸，應(yīng)該斷開通道②，然后重新建立附點(diǎn)“可割補(bǔ)成長方形”，以基點(diǎn)“平行四邊形”連接它，并再連接“長方形面積等于長乘寬”（虛線以上部分）。如此，一輪對認(rèn)知結(jié)構(gòu)的調(diào)整和改造就完成了，新的結(jié)構(gòu)建立，問題得以解決，這個過程就可看作是順應(yīng)的過程。

這種現(xiàn)象，體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，那就是他們遇到了學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。這也給我們的教學(xué)帶來啟示——遇到教學(xué)難點(diǎn)，我們可有意地制造并放大認(rèn)知沖突，然后將問題拋還給學(xué)生。學(xué)生應(yīng)對的過程，就是他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，就是他們調(diào)動經(jīng)驗(yàn)、深刻內(nèi)省、激揚(yáng)思維的過程。而正是在這樣的過程中，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)一步完善，認(rèn)知能力進(jìn)一步發(fā)展。

當(dāng)然，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)并非只有同化和順應(yīng)兩種形式，同化和順應(yīng)也不是機(jī)械地獨(dú)立存在于學(xué)習(xí)的過程中，因此，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的運(yùn)作也絕不可能如上文所述的兩種情況那樣簡單。人的思維是復(fù)雜的，對人的思維的分析永遠(yuǎn)跟不上人的思維的實(shí)際狀況，但是，就在這樣的分析中，我們卻有可能得到進(jìn)步，教學(xué)卻有可能得到發(fā)展。這，也許就是教學(xué)研究的意義！

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