劉雪峰

摘 要： 中考復(fù)習(xí)關(guān)鍵在于精選巧編例題，強(qiáng)化聚合、發(fā)散和逆向等思維訓(xùn)練，把單向輸入的信息變成綜合輸入信息，向外擴(kuò)散和延展，在復(fù)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的能力.

關(guān)鍵詞： 中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 聚合思維訓(xùn)練 發(fā)散思維訓(xùn)練 逆向思維訓(xùn)練

在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，存在一種看法，認(rèn)為題型見得越多題目做得越多越好.在這種觀點(diǎn)的支撐下，“題海戰(zhàn)術(shù)”成了最佳的選擇.于是，老師廣羅習(xí)題，家長緊隨其后.做完了“匯編”做“經(jīng)典”，做完“經(jīng)典”還有“精選”.這就苦了學(xué)生.要說“題海戰(zhàn)術(shù)”無任何價(jià)值也是不客觀的，否則，它也流行不起來.問題的關(guān)鍵在于，它的價(jià)值是以犧牲學(xué)生、老師有限的復(fù)習(xí)時(shí)間的巨大代價(jià)換來的.如果在時(shí)間非常寶貴的中考復(fù)習(xí)階段，各門功課都采取“題海戰(zhàn)術(shù)”，形成“惡性競爭”，那么勢必會干擾正常的復(fù)習(xí).這種事倍功半的做法，其最終結(jié)果常常事與愿違.

我從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)十幾個(gè)年頭，根據(jù)多年的教學(xué)實(shí)踐和探索，并大膽進(jìn)行了一定的嘗試，形成了自己的教學(xué)特色.

我認(rèn)為中考復(fù)習(xí)，尤其是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行系統(tǒng)性的歸納和升華，把書本由“厚”變“簿”，并用已有的知識解決新問題，進(jìn)一步加深對概念、定理、規(guī)律等的理解，弄清各部分知識間的內(nèi)在聯(lián)系，熟練掌握數(shù)學(xué)解題技能，從而達(dá)到發(fā)展學(xué)生思維、開發(fā)智力、培養(yǎng)能力的目的.完成這一任務(wù)的重要環(huán)節(jié)，是在引導(dǎo)學(xué)生對知識進(jìn)行歸納的基礎(chǔ)上，精選巧編例題，強(qiáng)化聚合、發(fā)散和逆向等思維訓(xùn)練，把單向輸入的信息變成綜合輸出信息，向外擴(kuò)散和延展，把培養(yǎng)學(xué)生的能力寓于復(fù)習(xí)之中.具體做法，我分三步走。

一、圍繞知識的系統(tǒng)化，進(jìn)行聚合思維訓(xùn)練.

聚合思維是將輸入的多種信息匯成一種信息輸出，也就是把概念、公式、原理等眾多信息重新組合成一個(gè)有序的系統(tǒng)，使學(xué)生掌握知識的一般規(guī)律，學(xué)會思維方法，使思維規(guī)范化、知識系統(tǒng)化.在這一過程中，引導(dǎo)學(xué)生將分散學(xué)習(xí)的知識、思想方法等基本元素納入體系，使其結(jié)構(gòu)化，從而真正了解它們在整個(gè)初中數(shù)學(xué)中的地位和作用.進(jìn)行聚合思維訓(xùn)練的主要方法有：

（一）理清知識的脈絡(luò).例如在復(fù)習(xí)《特殊的平行四邊形》，這一節(jié)課的關(guān)鍵就在于理清平行四邊形、矩形、菱形和正方形它們之間的關(guān)系：

歸納時(shí)，特別要讓學(xué)生知道矩形的特殊性：四個(gè)角是直角和對角線相等；菱形的特殊性：四條邊相等和對角線互相垂直，這樣對這幾種特殊的平行四邊形之間的關(guān)系就很清楚了.

（二）歸納解題的思路.初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，要經(jīng)常給學(xué)生歸納解題的思路.中考綜合題中，很多類型與面積有關(guān)，面積類型可以分為兩大類型——靜態(tài)型和動態(tài)型.

所謂靜，就是在題設(shè)條件下，圖形及其性質(zhì)已基本確定，只要尋求各已知條件的內(nèi)在聯(lián)系，就能找到解決這類題的線索.例如：

拋物線y=-x+2（m-1）x+m+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A在x軸的正半軸上，B在x軸的負(fù)半軸上，OA的長為a，OB的長為b.

（1）求m的求值范圍.

（2）設(shè)a：b=3：1，求出m的值，并寫出此時(shí)的拋物線的解析式.

（3）設(shè)（2）中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，拋物線頂點(diǎn)是M，問拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于△BCM的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（1999南京中考題，有改動）

略解：（1）m的取值范圍為m>-1.

（2）m=2，拋物線的解析式為y=-x+2x+3

（3）如圖，易求A（3，0），B（-1，0），C（0，3），頂點(diǎn)（1，4），直線BM的解析式為：y=2x+2.故直線BM與y軸交于N（0，2）.S=S+S=1.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），S=S，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)為：

簡評：面積相等（根據(jù)等底同高的性質(zhì)），x軸上下的拋物線上各有兩個(gè)點(diǎn)，由于拋物線已定，故P點(diǎn)有四解.由上例可以看到：假如面積關(guān)系是靜止的、固定的，那么我們就能通過面積公式、幾何圖形、同底不同高等關(guān)系找出潛在的內(nèi)在的聯(lián)系，得到相應(yīng)的條件與等式，從而解決此類問題.

所謂動，就是在題設(shè)條件下，圖形給我們一種動感，而結(jié)論則要求在變化過程中給予確定.例如：已知一三角形紙片ABC，面積為25，BC邊長為10，∠B與∠C為銳角，點(diǎn)M為AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)（M與點(diǎn)A，B不重合），過點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，設(shè)MN=x，

（1）用x的代數(shù)式表示△AMN的面積S，

（2）將△AMN沿MN折疊，使△AMN緊貼四邊形BCMN（邊AM、AN落在四邊形BCMN所在的平面內(nèi)），設(shè)點(diǎn)A落在平面BCMN內(nèi)的點(diǎn)A′，△A′MN與四邊形BCMN重疊部分的面積為y，①試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍，②當(dāng)x為何值時(shí)，重疊部分y的面積最大，最大值為多少？

略解：（1）S=x ；

（2）①當(dāng)0

②當(dāng)5

簡評：當(dāng)點(diǎn)、線段、圖形運(yùn)動時(shí)，要分清運(yùn)動的方向、速度，是否與其他的圖形重疊、重合，時(shí)刻分清內(nèi)在的聯(lián)系.

（三）巧設(shè)例題，講練結(jié)合.通過講練例題，反饋信息，對存在的問題作點(diǎn)撥，由學(xué)生提出解題思路并總結(jié)、歸納解題技巧，這樣，有利于培養(yǎng)學(xué)生聚合思維和思維的條理性、深刻性.如：

解方程：-+2=0（2007蘇州市中考）

方法一：去分母（x+2）-3x（x+2）+2x=0

去括號、整理得x=2

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的解.

方法二：用換元法設(shè)=y①，則原方程化為：y-3y+2=0，

解這個(gè)方程得y1=1，y2=2，分別代入①可得x=2，

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的解.

在訓(xùn)練這道題時(shí)，體現(xiàn)了聚合思維的效果.我在引導(dǎo)學(xué)生分析解答過程中，常常沖破單一角度思考的框框，用多種方法顯示出發(fā)散思維的功能.在聚合與發(fā)散的這種矛盾運(yùn)動中，學(xué)生思維的深刻性與靈活性隨之獲得發(fā)展，使所學(xué)知識系統(tǒng)化.在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練也就水到渠成了.

二、為使知識縱深化，進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練.

發(fā)散思維是將輸入的一中信息變成多種信息輸出.即對單一的信息，沿著不同角度和方向思考，并依據(jù)規(guī)律、概念和梯形等產(chǎn)生多種想法，廣開思路，提出新的假設(shè)、新的構(gòu)思，發(fā)現(xiàn)和解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神，使解題方法更富新意.一題多解，一題多變，一法多用等都是很好的形式，已被教學(xué)實(shí)踐證明，對溝通和深化知識，引起發(fā)散思維，效果顯著.例如：

如圖，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F.

求證：四邊形DECF為菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四邊形DECF是平行四邊形，故只要證一組鄰邊相等，過點(diǎn)D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G、H.再證△DGF≌△DHE即可.這種方法學(xué)生容易想到，三角形全等是證一組線段相等最常見的辦法.

方法二：連接CD.由∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D可知點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，所以CD也平分∠ABC，這樣很容易證得EC=ED.

通過這種形式的訓(xùn)練，在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化發(fā)散思維，這樣有利于知識結(jié)構(gòu)的建立和認(rèn)識上的飛躍，擴(kuò)展學(xué)生的復(fù)習(xí)時(shí)間、學(xué)習(xí)空間和獨(dú)立深化知識的自由度，為提高學(xué)生的能力創(chuàng)造了條件.在訓(xùn)練一題多解、一題多變、一法多用時(shí)，會很順利地涉及逆向思維的問題，真正的逆向思維訓(xùn)練也是不可或缺的.

三、追求知識的靈活化，進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練.

逆向思維又稱反向思維，是善于從不同的立場、角度、層次、側(cè)面思考問題，執(zhí)果索因，使思維序列方向從反方向開始.當(dāng)思維過程中出現(xiàn)障礙時(shí)，能迅速轉(zhuǎn)移到另一思路上，從而找到解決問題的方法，并能將輸入的單一信息轉(zhuǎn)化成一系列綜合信息輻射出來.這樣，就有利于防止學(xué)生理解僵化，思維定勢，有利于拓展學(xué)生的解題思路，使所學(xué)的知識靈活化，提高解題能力.如：若化簡|1-x|-|x-4|的結(jié)果為2x-5，求x的取值范圍.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根據(jù)題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范圍是：1≤x≤4

由此可見，強(qiáng)化逆向思維訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性和深刻性等，有利于克服由定向思維所造成的解題方法刻板和僵化.

在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中進(jìn)行思維訓(xùn)練，不可能一朝一夕就取得顯著的效果.在進(jìn)入復(fù)習(xí)階段前，我都要制訂較詳細(xì)的計(jì)劃，有系統(tǒng)、有重點(diǎn)地進(jìn)行思維訓(xùn)練.經(jīng)過努力，我所教的班級在重點(diǎn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)班招生中和中考中取得了令人滿意的成績.2005屆我所任教的兩個(gè)班級有15人考取了重點(diǎn)中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班（全昆山市共招200人），2008屆我所任教的兩個(gè)班級有20人考取了重點(diǎn)中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班.難能可貴的是，學(xué)生普遍反映，我布置的作業(yè)量相對不多，沒有“題海戰(zhàn)”的煩惱，而知識、能力卻不比其他平行的班級弱.這些成績，應(yīng)該歸功于我在思維訓(xùn)練方面所做的探討和嘗試.endprint

在訓(xùn)練這道題時(shí)，體現(xiàn)了聚合思維的效果.我在引導(dǎo)學(xué)生分析解答過程中，常常沖破單一角度思考的框框，用多種方法顯示出發(fā)散思維的功能.在聚合與發(fā)散的這種矛盾運(yùn)動中，學(xué)生思維的深刻性與靈活性隨之獲得發(fā)展，使所學(xué)知識系統(tǒng)化.在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練也就水到渠成了.

二、為使知識縱深化，進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練.

發(fā)散思維是將輸入的一中信息變成多種信息輸出.即對單一的信息，沿著不同角度和方向思考，并依據(jù)規(guī)律、概念和梯形等產(chǎn)生多種想法，廣開思路，提出新的假設(shè)、新的構(gòu)思，發(fā)現(xiàn)和解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神，使解題方法更富新意.一題多解，一題多變，一法多用等都是很好的形式，已被教學(xué)實(shí)踐證明，對溝通和深化知識，引起發(fā)散思維，效果顯著.例如：

如圖，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F.

求證：四邊形DECF為菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四邊形DECF是平行四邊形，故只要證一組鄰邊相等，過點(diǎn)D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G、H.再證△DGF≌△DHE即可.這種方法學(xué)生容易想到，三角形全等是證一組線段相等最常見的辦法.

方法二：連接CD.由∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D可知點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，所以CD也平分∠ABC，這樣很容易證得EC=ED.

通過這種形式的訓(xùn)練，在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化發(fā)散思維，這樣有利于知識結(jié)構(gòu)的建立和認(rèn)識上的飛躍，擴(kuò)展學(xué)生的復(fù)習(xí)時(shí)間、學(xué)習(xí)空間和獨(dú)立深化知識的自由度，為提高學(xué)生的能力創(chuàng)造了條件.在訓(xùn)練一題多解、一題多變、一法多用時(shí)，會很順利地涉及逆向思維的問題，真正的逆向思維訓(xùn)練也是不可或缺的.

三、追求知識的靈活化，進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練.

逆向思維又稱反向思維，是善于從不同的立場、角度、層次、側(cè)面思考問題，執(zhí)果索因，使思維序列方向從反方向開始.當(dāng)思維過程中出現(xiàn)障礙時(shí)，能迅速轉(zhuǎn)移到另一思路上，從而找到解決問題的方法，并能將輸入的單一信息轉(zhuǎn)化成一系列綜合信息輻射出來.這樣，就有利于防止學(xué)生理解僵化，思維定勢，有利于拓展學(xué)生的解題思路，使所學(xué)的知識靈活化，提高解題能力.如：若化簡|1-x|-|x-4|的結(jié)果為2x-5，求x的取值范圍.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根據(jù)題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范圍是：1≤x≤4

由此可見，強(qiáng)化逆向思維訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性和深刻性等，有利于克服由定向思維所造成的解題方法刻板和僵化.

在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中進(jìn)行思維訓(xùn)練，不可能一朝一夕就取得顯著的效果.在進(jìn)入復(fù)習(xí)階段前，我都要制訂較詳細(xì)的計(jì)劃，有系統(tǒng)、有重點(diǎn)地進(jìn)行思維訓(xùn)練.經(jīng)過努力，我所教的班級在重點(diǎn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)班招生中和中考中取得了令人滿意的成績.2005屆我所任教的兩個(gè)班級有15人考取了重點(diǎn)中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班（全昆山市共招200人），2008屆我所任教的兩個(gè)班級有20人考取了重點(diǎn)中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班.難能可貴的是，學(xué)生普遍反映，我布置的作業(yè)量相對不多，沒有“題海戰(zhàn)”的煩惱，而知識、能力卻不比其他平行的班級弱.這些成績，應(yīng)該歸功于我在思維訓(xùn)練方面所做的探討和嘗試.endprint

在訓(xùn)練這道題時(shí)，體現(xiàn)了聚合思維的效果.我在引導(dǎo)學(xué)生分析解答過程中，常常沖破單一角度思考的框框，用多種方法顯示出發(fā)散思維的功能.在聚合與發(fā)散的這種矛盾運(yùn)動中，學(xué)生思維的深刻性與靈活性隨之獲得發(fā)展，使所學(xué)知識系統(tǒng)化.在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)行發(fā)散思維的訓(xùn)練也就水到渠成了.

二、為使知識縱深化，進(jìn)行發(fā)散思維訓(xùn)練.

發(fā)散思維是將輸入的一中信息變成多種信息輸出.即對單一的信息，沿著不同角度和方向思考，并依據(jù)規(guī)律、概念和梯形等產(chǎn)生多種想法，廣開思路，提出新的假設(shè)、新的構(gòu)思，發(fā)現(xiàn)和解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造精神，使解題方法更富新意.一題多解，一題多變，一法多用等都是很好的形式，已被教學(xué)實(shí)踐證明，對溝通和深化知識，引起發(fā)散思維，效果顯著.例如：

如圖，在△ABC中，∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F.

求證：四邊形DECF為菱形.

方法一：由DE∥AC，DF∥BC易得四邊形DECF是平行四邊形，故只要證一組鄰邊相等，過點(diǎn)D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分別為G、H.再證△DGF≌△DHE即可.這種方法學(xué)生容易想到，三角形全等是證一組線段相等最常見的辦法.

方法二：連接CD.由∠CAB、∠ABC的平分線交于點(diǎn)D可知點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，所以CD也平分∠ABC，這樣很容易證得EC=ED.

通過這種形式的訓(xùn)練，在復(fù)習(xí)中強(qiáng)化發(fā)散思維，這樣有利于知識結(jié)構(gòu)的建立和認(rèn)識上的飛躍，擴(kuò)展學(xué)生的復(fù)習(xí)時(shí)間、學(xué)習(xí)空間和獨(dú)立深化知識的自由度，為提高學(xué)生的能力創(chuàng)造了條件.在訓(xùn)練一題多解、一題多變、一法多用時(shí)，會很順利地涉及逆向思維的問題，真正的逆向思維訓(xùn)練也是不可或缺的.

三、追求知識的靈活化，進(jìn)行逆向思維訓(xùn)練.

逆向思維又稱反向思維，是善于從不同的立場、角度、層次、側(cè)面思考問題，執(zhí)果索因，使思維序列方向從反方向開始.當(dāng)思維過程中出現(xiàn)障礙時(shí)，能迅速轉(zhuǎn)移到另一思路上，從而找到解決問題的方法，并能將輸入的單一信息轉(zhuǎn)化成一系列綜合信息輻射出來.這樣，就有利于防止學(xué)生理解僵化，思維定勢，有利于拓展學(xué)生的解題思路，使所學(xué)的知識靈活化，提高解題能力.如：若化簡|1-x|-|x-4|的結(jié)果為2x-5，求x的取值范圍.

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根據(jù)題意，要化成：x-1-（4-x）=2x-5

從絕對值概念的反方向考慮，推出其條件是：

1-x≤0，且x-4≤0.

∴x的取值范圍是：1≤x≤4

由此可見，強(qiáng)化逆向思維訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、廣闊性和深刻性等，有利于克服由定向思維所造成的解題方法刻板和僵化.

在中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中進(jìn)行思維訓(xùn)練，不可能一朝一夕就取得顯著的效果.在進(jìn)入復(fù)習(xí)階段前，我都要制訂較詳細(xì)的計(jì)劃，有系統(tǒng)、有重點(diǎn)地進(jìn)行思維訓(xùn)練.經(jīng)過努力，我所教的班級在重點(diǎn)中學(xué)實(shí)驗(yàn)班招生中和中考中取得了令人滿意的成績.2005屆我所任教的兩個(gè)班級有15人考取了重點(diǎn)中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班（全昆山市共招200人），2008屆我所任教的兩個(gè)班級有20人考取了重點(diǎn)中學(xué)的實(shí)驗(yàn)班.難能可貴的是，學(xué)生普遍反映，我布置的作業(yè)量相對不多，沒有“題海戰(zhàn)”的煩惱，而知識、能力卻不比其他平行的班級弱.這些成績，應(yīng)該歸功于我在思維訓(xùn)練方面所做的探討和嘗試.endprint