張 榮花加鳳丁 兵

（1.江蘇省鹽城市水利勘測設(shè)計研究院 鹽城 224000 2.長江科學院河流研究所 武漢 430010）

長江流域和淮河流域年徑流豐枯遭遇分析

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（1.江蘇省鹽城市水利勘測設(shè)計研究院 鹽城 224000 2.長江科學院河流研究所 武漢 430010）

本文運用Copula理論構(gòu)造了長江流域大通站和淮河流域魯臺子站年徑流聯(lián)合分布，并用所建模型定量描述了長江和淮河流域年徑流豐枯遭遇的概率。結(jié)果表明，應用Copula方法來描述不同地區(qū)徑流豐枯變化是可行的。通過分析可知，長江流域和淮河流域同為豐水年的概率為20.6%；同為枯水年19.4%；長江流域為豐水年的概率為37.7%；長江流域為豐水年，淮河流域為枯水年的概率為8.5%?？梢?，長江流域和淮河流域年徑流具有豐枯補償特性，可以相機從長江流域向淮河流域調(diào)水。

長江流域 淮河流域 年徑流 Copula理論

一、引言

徑流豐枯遭遇分析對研究徑流補償特性具有重要的意義。鄭紅星等根據(jù)同步水文系列進行經(jīng)驗頻率計算，確定南水北調(diào)東、中兩線不同水文區(qū)降水豐枯的遭遇概率，但該法沒有考慮水源區(qū)與受水區(qū)之間大氣降雨的內(nèi)在聯(lián)系，理論上尚待完善。戴昌軍和梁忠民通過統(tǒng)計試驗對正態(tài)變換等3種聯(lián)合分布計算方法進行比較研究，并用正態(tài)變換的Mom法分析了南水北調(diào)東線徑流豐枯遭遇頻率。該法計算比較復雜，且在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換過程中難免會使一些信息失真。閆寶偉等運用Copula方法理論構(gòu)造了南水北調(diào)中線工程水源區(qū)與各受水區(qū)汛期、非汛期及各年降雨量的聯(lián)合分布，并用所建模型對水源區(qū)與各受水區(qū)的豐枯遭遇進行了研究。

本文采用Copula方法對長江流域大通站和淮河流域魯臺子站年徑流的豐枯遭遇進行研究，選取1956～1991年共36年年徑流系列，通過Copula函數(shù)構(gòu)造兩站年徑流的聯(lián)合分布，定量分析兩站的徑流豐枯遭遇概率。

二、基于Copula理論的聯(lián)合分布

Sklar定理：設(shè)X、Y為連續(xù)的隨機變量，邊緣分布函數(shù)為FX、FY，F(xiàn)（x，y）為變量X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)，如果FX、FY連續(xù)，則存在唯一函數(shù)Cθ（u，v）使得：

式中：Cθ（u，v）為Copula函數(shù)，θ為待定參數(shù)。

3種比較常用的阿基米德Copula函數(shù)及參數(shù)θ的范圍如下：

GumbelCopula函數(shù)：exp{-〔（-lnu）1/θ+（-lnv）1/θ〕θ}，0≤θ≤1

基于Copula理論聯(lián)合分布的建立，一個完整的水文事件一般包含多個水文變量，而多個變量間往往存在一定的相關(guān)性，Copula理論正是通過構(gòu)造聯(lián)合分布來描述這種相關(guān)結(jié)構(gòu)的。具體應用包括以下幾個步驟：（1）確定各水文變量的邊緣分布；（2）構(gòu)建聯(lián)合分布的似然最大函數(shù)，采用加速遺傳算法率定參數(shù)θ；（3）根據(jù)評價指標選擇Copula函數(shù)，建立聯(lián)合分布；（4）根據(jù)所建分布進行相應分析。

三、聯(lián)合分布模型的建立

1.邊際分布函數(shù)的選定

我國水文分析中一般假定洪量服從P—Ⅲ分布，其概率密度函數(shù)為：

其中：r（α）為伽瑪函數(shù)；α、β、a0分別為形狀、尺度和位置參數(shù)?？梢酝谱C三者與常用統(tǒng)計參數(shù)x、CV、CS之間的關(guān)系：

文中采用線性矩法估計上述參數(shù)，并根據(jù)目估適線作適當?shù)恼{(diào)整，可得到大通站和魯臺子站年徑流的常用統(tǒng)計特征參數(shù)，見表1。

表1 大通站和魯臺子站年徑流分布參數(shù)估計結(jié)果

根據(jù)Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗法檢驗大通站和魯臺子站年徑流的分布函數(shù)是否符合要求，得到統(tǒng)計量D分別為0.09和0.05，小于顯著水平位0.05的D值0.21，則接受兩者年徑流為選定的P-Ⅲ型邊際分布。

2.用極大似然估計計算Copula模型的參數(shù)

一般地，聯(lián)合分布函數(shù)的密度函數(shù)為：

式中：θc為Copula函數(shù)的1×mc維參數(shù)向量；fn（xn；θn）為邊緣分布函數(shù)；θn為邊緣分布函數(shù)Fn（xn；θn）的1× mn維參數(shù)向量；θ=（θ1，θ2，…θN；θc）'；n=1，2，…，N。

因此，可以得到使樣本（x1t，x2t，…，xNT），t=1，2，…，T的對數(shù)似然函數(shù)為：

使似然函數(shù)取最大值的θ即是最大似然估計值。

而且Copula技術(shù)建模的特點是其極適合于采用多階段估計法，很多學者的實證都表明采用一步極大似然估計法和兩階段極大似然估計法來估計Copula模型，得到的參數(shù)估計值差異不顯著，所以一般采用兩階段極大似然估計法來估計Copula模型的參數(shù)。即首先分別估計出邊緣分布的參數(shù)θ1，θ2，…θN，然后將其估計值作為已知參數(shù)代入Copula函數(shù)中，進而估計Copula函數(shù)中的參數(shù)。兩階段極大似然函數(shù)估計使得Copula模型參數(shù)的估計問題大為簡化。

采用Kolmogorov-Smirnov（K-S）檢驗來評價聯(lián)合分布計算頻率與聯(lián)合觀測值經(jīng)驗頻率的擬合程度，其統(tǒng)計量D計算如下：

式中：F（xi，yi）為（xi，yi）的聯(lián)合分布；m（i）為聯(lián)合觀測值樣本中滿足條件x≤xi且y≤yi的聯(lián)合觀測值的個數(shù)。

采用離差平方和最小準則（OLS）來評價Copula方法的有效性，并選取OLS最小的Copula作為聯(lián)接函數(shù)。OLS的計算公式如下：

式中：Pei、Pi分別為經(jīng)驗頻率和計算頻率。

由大通站與魯臺子站年徑流的組合分布得出各Copula的參數(shù)及評價指標，計算結(jié)果如表2。

表2 各Copula參數(shù)及評價指標計算結(jié)果

所選3種函數(shù)均能通過K-S檢驗，因GumbelCopula函數(shù)可用于描述具有上文相關(guān)特性的相關(guān)關(guān)系，且OLS最小，因此選用GumbelCopula函數(shù)作為聯(lián)結(jié)函數(shù)，表達形式為：

計算分布與經(jīng)驗頻率擬合值見圖1。

圖1 計算分布與經(jīng)驗頻率擬合值

四、結(jié)果分析

根據(jù)以上所建聯(lián)合分布模型，可以求出長江大通站和淮河魯臺子站年徑流遭遇概率，圖2給出了長江大通站和淮河魯臺子站年徑流的聯(lián)合分布等值線圖。

圖2 大通站與魯臺子站年徑流遭遇

根據(jù)上述所建立的聯(lián)合分布模型對大通站和魯臺子站豐枯頻率進行分析。規(guī)定其豐枯指標分別為豐水頻率pf=62.5%，枯水頻率pk=27.5%。分四種情況進行討論，計算結(jié)果見表3。

表3 長江流域和淮河流域年徑流遭遇分析

可見，長江流域和淮河流域同為豐水年的概率20.6%；同為枯水年19.4%；長江流域為豐水年，淮河流域為任意年的概率為37.7%；長江流域為豐水年，淮河流域為枯水年的概率為8.5%。因此，長江流域和淮河流域年徑流具有豐枯補償特性，可以相機從長江流域向淮河流域調(diào)水■