李浩，佘浩平

(北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081)

0 引言

現(xiàn)代精確制導(dǎo)武器重要的發(fā)展方向是強(qiáng)抗干擾能力、遠(yuǎn)射程和高精度制導(dǎo)。盡管近年來導(dǎo)引頭探測和跟蹤技術(shù)水平已大幅提高，但同時目標(biāo)隱身技術(shù)也在同步發(fā)展，導(dǎo)引頭的探測距離遠(yuǎn)不能滿足遠(yuǎn)程攻擊射前截獲的要求，遠(yuǎn)程攻擊的主要模式還是基于遠(yuǎn)程數(shù)據(jù)鏈和尋的導(dǎo)引頭的復(fù)合制導(dǎo)體制。

目前，尋的導(dǎo)彈的中、末制導(dǎo)導(dǎo)引律一般均采用比例導(dǎo)引律，這是由于比例導(dǎo)引律形式簡單且需要的制導(dǎo)信息少的緣故。然而，當(dāng)導(dǎo)彈在復(fù)雜背景下進(jìn)行攻擊，例如攻擊低空下視目標(biāo)時，比例導(dǎo)引所形成的彈道必然是俯沖攻擊，導(dǎo)引頭要在復(fù)雜的地物背景和地雜波的情況下完成對目標(biāo)的截獲和跟蹤，目標(biāo)信號可能淹沒在極強(qiáng)的雜波干擾中。為了克服或減小這種影響，對中制導(dǎo)彈道進(jìn)行規(guī)劃是一個合理的思路。由于中制導(dǎo)數(shù)據(jù)鏈一般能夠提供包括目標(biāo)的位置、速度等較為豐富的制導(dǎo)信息，利用這些信息可以對中制導(dǎo)彈道進(jìn)行成型設(shè)計，使得中末制導(dǎo)交接和末制導(dǎo)時段內(nèi)彈目視線滿足抬頭攻擊的要求，這樣就能避免或減小導(dǎo)引頭接收到的雜波干擾。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對彈道成型導(dǎo)引律開展了較多的研究［1］，主要的研究內(nèi)容集中在基于最優(yōu)控制理論和基于比例導(dǎo)引理論進(jìn)行彈道成型控制兩個方面。基于最優(yōu)控制理論的彈道成型導(dǎo)引律在文獻(xiàn)［2］中首次提出，該文研究側(cè)重于終端姿態(tài)角約束條件下線性制導(dǎo)系統(tǒng)的最優(yōu)控制。文獻(xiàn)［3］提出了彈道軌跡可預(yù)測條件下的機(jī)動目標(biāo)攻擊使用的彈道角約束最優(yōu)導(dǎo)引律。文獻(xiàn)［4］利用最優(yōu)控制理論推導(dǎo)了存在動力學(xué)滯后時的末端彈道成型導(dǎo)引律，可以滿足期望的終端攻擊要求。文獻(xiàn)［5］在最優(yōu)控制理論和微分對策理論的基礎(chǔ)上，利用零效脫靶量概念推導(dǎo)了末端彈道成型導(dǎo)引律，在目標(biāo)機(jī)動和較大前置角誤差的情況下仍具有良好的性能。文獻(xiàn)［6］在彈道成型導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上加入對攻擊終端時間約束條件，利用最優(yōu)控制理論完成了同時帶有攻擊時間和末端彈道角度約束的導(dǎo)引律，可以實現(xiàn)對低機(jī)動目標(biāo)的協(xié)同飽和攻擊。文獻(xiàn)［7］中實現(xiàn)了過載的幅值約束和末端彈道角約束，但導(dǎo)引律表達(dá)形式復(fù)雜，不適合工程應(yīng)用?；诒壤龑?dǎo)引理論的彈道成型導(dǎo)引律主要有兩種類型:偏置比例導(dǎo)引(BPN)律和分段比例導(dǎo)引律。BPN 律首先在文獻(xiàn)［8］中被提出，在傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律的基礎(chǔ)上，加入與剩余距離相關(guān)的偏置過載，可以完成對末端角度的約束。文獻(xiàn)［9 -10］從不同的角度對BPN 律進(jìn)行了完善，解決了偏置過載需求過大，飛行初段無法得到目標(biāo)視線信息等問題。文獻(xiàn)［11 -12］基于傳統(tǒng)比例導(dǎo)引理論，分別針對固定目標(biāo)和勻速目標(biāo)設(shè)計了分段比例導(dǎo)引律，攻擊的第一階段控制導(dǎo)彈爬升和平飛，并根據(jù)比例導(dǎo)引律的彈道特性實時計算視線角參數(shù)，當(dāng)參數(shù)值滿足所需終端視線角要求時，切換比例導(dǎo)引系數(shù)進(jìn)入比例導(dǎo)引的第二階段，完成對目標(biāo)的俯沖攻擊。此外滑模變結(jié)構(gòu)控制理論也在彈道成型導(dǎo)引律設(shè)計方面有著較多應(yīng)用，文獻(xiàn)［13］在考慮了自動駕駛儀動力學(xué)特性的基礎(chǔ)上，利用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論完成了相應(yīng)導(dǎo)引律的設(shè)計。

本文基于最優(yōu)控制理論，在考慮彈道過載合理分配的情況下，提出了一種終端相對運(yùn)動方向顯式約束的導(dǎo)引律。該導(dǎo)引律在新的建模方法的基礎(chǔ)上，控制的目標(biāo)是保持彈目相對距離和彈目相對速度的矢量方向為預(yù)先設(shè)定的理想視線方向。這種控制方式只對垂直于理想視線方向上的導(dǎo)彈運(yùn)動進(jìn)行控制，使得終端角度約束導(dǎo)引律形式更加簡潔。為避免彈道成型設(shè)計面臨的末端過載需求過大的問題，本文采用了過載分配優(yōu)化設(shè)計［14］，使末端彈道過載需求更小，具有更好的工程利用價值。

1 彈目相對運(yùn)動學(xué)模型

為了使模型簡化便于線性二次型控制理論的應(yīng)用，做如下假設(shè):

1)導(dǎo)彈和目標(biāo)均看作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動;

2)導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度為常值;

3)制導(dǎo)系統(tǒng)是理想的，即制導(dǎo)控制系統(tǒng)沒有延遲，導(dǎo)彈的運(yùn)動每一瞬間都符合導(dǎo)引律的要求。

在二維運(yùn)動情況下，導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運(yùn)動關(guān)系如圖1所示。

圖1 彈目相對運(yùn)動示意圖Fig.1 Engagement geometry of missile and target

圖1中:OXY 為慣性坐標(biāo)系，以發(fā)射時刻導(dǎo)彈位置為原點(diǎn)，X 軸為發(fā)射時刻視線在水平面上的投影，Y 軸沿高度方向;M 為導(dǎo)彈位置;T 為目標(biāo);L 為理想視線;R 為彈目相對距離;v 為彈目相對速度;R⊥為R 在垂直于L 方向上的投影;v⊥為v 在垂直于L 方向上的投影。

根據(jù)圖1可以建立彈目相對運(yùn)動學(xué)方程:

式中:a 為彈目相對加速度;aT為目標(biāo)加速度;aM為導(dǎo)彈加速度。

將矢量R、v、a 在理想視線L 上進(jìn)行投影。設(shè)L對應(yīng)的單位向量為i，則沿L 方向的投影為

垂直于L 方向的分量為

設(shè)x1=R⊥，x2=v⊥，則可建立垂直于L 方向的彈目相對運(yùn)動方程:

2 彈道成型導(dǎo)引律

在建模完成的基礎(chǔ)上，可以利用最優(yōu)控制理論［15］對推導(dǎo)導(dǎo)引律，控制目標(biāo)期望終端時刻彈目相對位置和相對速度處于理想視線L 上，即要求終端時刻相對位置分量x1(tf)和相對速度分量x2(tf)為0，并且希望對飛行中的過載進(jìn)行合理的分配，以使過載盡可能地集中在飛行的初段，避免中末制導(dǎo)交接段出現(xiàn)大的過載需求，所以選取性能指標(biāo)如(5)式:

式中:c1、c2為終端狀態(tài)加權(quán)系數(shù);k 為過載分配加權(quán)系數(shù);tf為終端時間。下面根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程和指標(biāo)泛函，應(yīng)用最優(yōu)控制理論求解使J 最小的控制量a⊥.

2.1 推導(dǎo)過程

構(gòu)造哈密頓函數(shù):

得到

構(gòu)造伴隨方程:

邊界條件為

由(8)式可以解出λ1(t)和λ2(t):

將(10)式代人(7)式可得

將(11)式代入狀態(tài)方程并從t 到tf進(jìn)行積分，可將u(t)改寫為

式中:

2.2 結(jié)果分析

從(12)式可以看出，u(t)不僅僅是v(t)、R(t)和剩余時間tgo的函數(shù)，還是待定常數(shù)c1、c2的函數(shù)。c1、c2選擇不同的值，可以得到不同的導(dǎo)引律。因要求導(dǎo)彈終端狀態(tài)x1(tf)和x2(tf)都盡可能小，故設(shè)c1→∞，c2→∞，并將其代入(12)式，可得

(13)式就是彈道成型最優(yōu)導(dǎo)引律，若取k =0，則可進(jìn)一步簡化為

這與采用一般建模方法［4-5］的無過載約束的彈道成型導(dǎo)引律形式是一致的，但其中參數(shù)變量的物理意義是不同的。

3 攻擊低空下視目標(biāo)制導(dǎo)策略設(shè)計

利用第2 節(jié)推導(dǎo)的彈道成型最優(yōu)導(dǎo)引律，可進(jìn)行彈道成型中制導(dǎo)策略設(shè)計。

構(gòu)造理想視線單位方向矢量

式中:qf為終端抬頭攻擊角度，其值可根據(jù)導(dǎo)引頭的視場角范圍確定，以保證地雜波不易落入導(dǎo)引頭的視場內(nèi)。

計算相對位置和相對速度在垂直于最優(yōu)終端方向上的分量:

剩余飛行時間計算如下:

中制導(dǎo)段的制導(dǎo)指令計算如下:

導(dǎo)彈轉(zhuǎn)入未制導(dǎo)后，采用比例導(dǎo)引律進(jìn)行制導(dǎo)，制導(dǎo)指令為

式中:N 為有效導(dǎo)航比;v 為彈目相對速度;q 為視線角;q·為視線角變化率。

4 仿真分析

下面針對所設(shè)計的制導(dǎo)策略，建立制導(dǎo)系統(tǒng)平面仿真模型，并進(jìn)行了制導(dǎo)系統(tǒng)數(shù)字仿真驗證。

仿真時導(dǎo)彈和目標(biāo)在同一鉛垂平面內(nèi)運(yùn)動，目標(biāo)沿水平方向勻速直線運(yùn)動。導(dǎo)彈的初始位置為(0，10 000 m)，初始速度為240 m/s，速度傾角為0°.目標(biāo)的位置為(20 000 m，5 000 m)速度為100 m/s，速度傾角為0°.取理想視線角qf為10°、20°、30°，加速度加權(quán)系數(shù)分別取0、0.05、0.1.仿真結(jié)果如圖2～圖4所示。圖2表示在理想視線角為20°的情況下，不同加速度加權(quán)系數(shù)k 下的彈道曲線。圖3表示當(dāng)理想視線角為20°時，不同的加速度加權(quán)系數(shù)所產(chǎn)生的過載曲線。圖4表示在同一個加權(quán)系數(shù)不同的理想視線角要求的情況下，仿真得到的實際視線角結(jié)果。

從仿真結(jié)果可以看出，導(dǎo)彈在中制導(dǎo)段以理想視線為基準(zhǔn)調(diào)整飛行航跡，在中制導(dǎo)末端達(dá)到要求的攻擊角度。導(dǎo)引頭截獲目標(biāo)后按比例導(dǎo)引律以設(shè)定的攻擊角度對目標(biāo)進(jìn)行攻擊。

通過修改加權(quán)系數(shù)k，可對過載進(jìn)行分配。當(dāng)k取0 時，表示不對過載進(jìn)行分配，此時交接班過載需求較大。當(dāng)k 取值越大，表示過載集中分配在彈道的初始段，從而降低了末端彈道的過載需求。

圖2 彈道曲線(qf =20°)Fig.2 Trajectories of missiles (qf =20°)

圖3 過載曲線(qf =20°)Fig.3 Accelerations of missiles (qf =20°)

圖4 視線角曲線(k=0.05)Fig.4 Line-of-sight angles of missiles(k=0.05)

5 結(jié)論

本文針對終端彈目相對運(yùn)動方向的角度約束和彈道加速度的分配需求，以理想視線為控制目標(biāo)，設(shè)計了彈道成型過載優(yōu)化導(dǎo)引律。并以低空下視攻擊彈道為例進(jìn)行了制導(dǎo)策略設(shè)計和數(shù)字仿真驗證，仿真結(jié)果表明:該導(dǎo)引律在實現(xiàn)終端運(yùn)動方向約束的同時，改善了飛行過程中的過載分配問題，可有效地減小地面背景和地雜波干擾對導(dǎo)彈截獲跟蹤的影響，在工程上有一定的應(yīng)用參考價值。而理想視線信息的準(zhǔn)確獲取還需要進(jìn)一步開展研究。

References)

［1］ 蔡洪，胡正東，曹淵.具有終端角度約束的導(dǎo)引律綜述［J］.宇航學(xué)報，2010，31(2):315 -323.CAI Hong，HU Zheng-dong，CAO Yuan.A survey of guidance law with terminal impact angle contraints［J］.Journal of Astronautics，2010，31(2):315 -323.(in Chinese)

［2］ Kim M，Grider K V.Terminal guidance for impact attitude angle constrained flight trajectories［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Eletronic Systems，1973，AES-9(6):852 -859.

［3］ Idan M，Golan O M，Guelman M.Optimal planar interception with terminal constraint［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1995，18(6):1078 -1083.

［4］ Song T L，Shin S J，Cho H.Impact angle control for planar engagements［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1999，35(4):1439 -1444.

［5］ Shaferman V，Shima T.Linear quadratic guidance laws for imposing a terminal intercept angle［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31(5):1400 -1412.

［6］ Lee J I，Jeon I S，Tahk M J.Guidance law to control impact time and angle［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2007，43(1):301 -310.

［7］ Taub I，Shima T.Intercept angle missile guidance under timevarying acceleration bounds［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2013，36(3):686 -699.

［8］ Kim B S，Lee J G，Han H S.Biased PNC law for impact with angular constraint［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1998，34(1):277 -288.

［9］ Kim T H，Park B G，Tahk M J.Bias-shaping method for biased proportional navigation with terminal-angle constraint［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2013，36(6):1810 -1816.

［10］ Erer K S，Merttop?uoglu O.Indirect impact-ingle-control against stationary targets using biased pure proportional navigation［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35(2):700 -704.

［11］ Ratnoo A，Ghose D.Impact angle constrained interception of stationary targets［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2008，31(6):1817 -1822.

［12］ Ratnoo A，Ghose D.Impact angle guidance against nonstationary nonmaneuvering targets［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，32(1):269 -275.

［13］ Zhou D，Qu P P，Sun S.A guidance law with terminal impact angle constraint accounting for missile autopilot［J］.Journal of Dynamic Systems Measurement and Control-Transactions of the ASME，2013，135(5):DS-12 -1144.

［14］ Ben-Asher J Z，Levinson S.New proportional navigation law for ground-to-air systems［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2003，26(5):822 -825.

［15］ 張洪鋮，王青.最優(yōu)控制理論與應(yīng)用［M］.北京:高等教育出版社，2006:31 -63.ZHANG Hong-cheng，WANG Qing.Optimal control theory and application［M］.Beijing:Higher Education Press，2006:31 -63.(in Chinese)