梁國龍，張柯，安少軍，范展

(1.哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱150001;2.哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

近20年來，聲矢量傳感器一直是國內(nèi)外水聲技術(shù)的研究熱點(diǎn)之一。與標(biāo)量傳感器相比，聲矢量傳感器能夠同步、共點(diǎn)測(cè)量聲場(chǎng)中任一點(diǎn)處的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速信息，這為新的信號(hào)處理方法提供了可能;單個(gè)聲矢量傳感器即可對(duì)目標(biāo)進(jìn)行全空間無模糊定向;聲矢量傳感器具有抗各向同性噪聲干擾的能力?；谝陨细鼽c(diǎn)，聲矢量傳感器陣列得到了國內(nèi)外學(xué)者廣泛的關(guān)注和研究，基于聲矢量陣的波束形成器及高分辨方位估計(jì)算法等研究成果不斷涌現(xiàn)［1-7］，其中包括Capon 算法［1-3］、ML 算法［4］、MUSIC 類算法［5］和ESPRIT 算法［6-7］等。但是，以上算法均是在理想的聲矢量陣陣列流形的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，由于聲矢量陣陣列誤差如陣元位置誤差、幅相誤差、互耦及陣元姿態(tài)誤差的存在，這些算法的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)性能將會(huì)嚴(yán)重下降，甚至失效。所以，在使用聲矢量陣進(jìn)行DOA估計(jì)之前，陣列誤差的校正工作是不可避免的。

在聲矢量傳感器陣列誤差校正方面，國內(nèi)外學(xué)者的研究成果并不多見［8-11］。文獻(xiàn)［8］推導(dǎo)了存在陣元位置誤差、幅相誤差及陣元姿態(tài)誤差情況下聲矢量陣波束響應(yīng)的理論表達(dá)式，并就各類陣列誤差對(duì)聲矢量陣測(cè)向性能的影響做了簡(jiǎn)要的理論分析，但未給出任何陣列誤差校正的方法。文獻(xiàn)［9］通過設(shè)置方位精確已知的輔助聲源對(duì)聲矢量陣相位誤差進(jìn)行校正，其基本原理與標(biāo)量陣有源校正算法相同。針對(duì)聲矢量陣陣元位置誤差校正問題，文獻(xiàn)［10］利用單矢量傳感器測(cè)向技術(shù)得到兩個(gè)方位未知的Disjoint 源的方位，然后運(yùn)用特征分解法構(gòu)造方程組求解陣列位置誤差參數(shù)，該方法誤差參數(shù)估計(jì)性能取決于單矢量傳感器對(duì)Disjoint 源的方位估計(jì)精度。在可查閱的文獻(xiàn)中，僅文獻(xiàn)［11］對(duì)聲矢量陣特有的陣元姿態(tài)誤差進(jìn)行了研究，文中建立了二維聲矢量陣平面旋轉(zhuǎn)擾動(dòng)產(chǎn)生的陣元姿態(tài)誤差模型，并提出了陣元姿態(tài)誤差的有源校正算法。但是，在實(shí)際的工作環(huán)境中，校正源方位不可能精確已知，且某些特殊陣列(如拖曳陣及柔性陣)的陣元姿態(tài)誤差受風(fēng)浪的影響幾乎是時(shí)變的，故有源校正方法并不能滿足實(shí)際的工程需求。

針對(duì)聲矢量陣陣元姿態(tài)誤差校正問題，本文就陣元姿態(tài)誤差對(duì)聲矢量陣測(cè)向性能的影響進(jìn)行了理論研究，并提出一種陣元姿態(tài)誤差的自校正算法，該方法能夠?qū)崿F(xiàn)聲矢量陣陣元姿態(tài)誤差和信源DOA的聯(lián)合估計(jì)。

1 陣元姿態(tài)誤差有源校正算法

考慮二維平面中，M 個(gè)陣元構(gòu)成的聲矢量傳感器陣列放置于各向同性的噪聲環(huán)境中，遠(yuǎn)場(chǎng)有K 個(gè)方位角為θk(k =1，2，…，K)的窄帶平面波入射，則聲矢量陣?yán)硐氲年嚵休敵鰹?/p>

式中:X(t)=［x1(t)，x2(t)，…，xM(t)］T為M×1 維觀測(cè)的數(shù)據(jù)向量;S(t)=［s1(t)，s2(t)，…，sK(t)］T為零均值復(fù)高斯信號(hào)向量;N (t )=［n1(t)，n2(t)，…，nM(t)］T為M×1 維零均值高斯白噪聲向量，且信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立;A(θ)=［a(θ1，r)，a(θ2，r)，…，a(θK，r)］為3M×K 維理想的陣列導(dǎo)向矢量矩陣，其中a(θk，r)=ap(θk，r)?uk，?表示Kron 積，ap(θk，r)為聲矢量陣聲壓通道的導(dǎo)向矢量，r 為聲矢量陣的陣元位置矢量，uk=［1 cos θksin θk］T為第k 個(gè)聲源的單矢量傳感器響應(yīng)矢量。

圖1 陣元姿態(tài)誤差示意圖Fig.1 The attitude error of array sensor

當(dāng)聲矢量陣中的陣元受到外力而產(chǎn)生二維平面旋轉(zhuǎn)擾動(dòng)時(shí)，其第m(m=1，2，…，M)個(gè)陣元將出現(xiàn)擾動(dòng)角度為αm姿態(tài)誤差，如圖1中所示。此時(shí)，第m 個(gè)聲矢量傳感器的響應(yīng)矢量將變?yōu)?/p>

式中:fc(αm)和fs(αm)分別表示cos αm和sin αm泰勒展開式的高階項(xiàng)。當(dāng)聲矢量陣存在陣元姿態(tài)誤差時(shí)，其實(shí)際的陣列輸出為

式中:

根據(jù)MUSIC 算法原理，可得

式中:H 為共軛轉(zhuǎn)置;Un為噪聲子空間，由聲矢量陣協(xié)方差矩陣的M-K 個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成。(7)式可表示為

由(8)式可得到如下關(guān)系式:

式中:Π 和Ψ 分別表示(9)式中左邊和右邊的已知矩陣。由(10)式計(jì)算出，繼而可得到平面擾動(dòng)角度正、余弦值的估計(jì)值sin和sin(n=1，2，…，∞)，由cos和sin構(gòu)造姿態(tài)誤差矩陣即可對(duì)聲矢量陣陣元姿態(tài)誤差進(jìn)行校正，故cos和sin的估計(jì)精度決定了陣元姿態(tài)誤差校正算法的性能。

2 陣元姿態(tài)誤差對(duì)波束圖的影響

波束圖是單位功率平面波的空間響應(yīng)，它只與陣列的導(dǎo)向矢量有關(guān)，能夠反映波束形成器及子空間類算法的測(cè)向性能。對(duì)于存在陣元姿態(tài)誤差的聲矢量陣而言，其波束響應(yīng)為

注意，此時(shí)αm是弧度。當(dāng)αm較小時(shí)，可去掉三角函數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開的高階項(xiàng)，可得

若{α1，α2，…，αM}服從均值為δ、方差為σ2的高斯分布，則(13)式可化簡(jiǎn)為

由(14)式可得以下結(jié)論:

1)聲矢量陣波束圖的主瓣位置及幅度都會(huì)受到陣元姿態(tài)誤差的影響;

2)當(dāng)δ=0 時(shí)，波束圖的主瓣位置不變，其幅度僅受方差σ2的影響;

3)若δ 和σ2不變，當(dāng)M 增加時(shí)，陣元姿態(tài)誤差對(duì)波束圖主瓣位置的影響將降低。

3 陣元姿態(tài)誤差自校正算法

利用MUSIC 算法的思想，本文提出一種聲矢量陣陣元姿態(tài)誤差自校正算法。當(dāng)聲矢量陣存在陣元姿態(tài)誤差且信源方位未知時(shí)，可通過將(15)式最小化實(shí)現(xiàn)信源方位和陣元姿態(tài)誤差參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。

(15)式為自校正算法的目標(biāo)函數(shù)，由子空間原理可知:無噪聲情況下，當(dāng)J=0 時(shí)，可準(zhǔn)確得到方位角θk(k=1，2，…，K)和陣元姿態(tài)誤差矩陣Φ;當(dāng)有噪聲存在時(shí)，最小化J，可得到相應(yīng)的估計(jì)值和下面給出陣元姿態(tài)誤差自校正算法的迭代過程:

1)初始化:設(shè)i =0，令α1=α2=… =αM=0 或由已知的陣元擾動(dòng)信息得到{α1，α2，…，αM}，由此得到陣元姿態(tài)誤差向量及陣元姿態(tài)誤差矩陣;

2)通過MUSIC 算法由下式獲得K 個(gè)信源角度的估計(jì)值(k=1，2，…，K)，由此可得到相應(yīng)的理想導(dǎo)向矢量a(，r)和Ω)，從而得到和，

4)計(jì)算

由以上迭代過程可知，當(dāng)^J 收斂時(shí)，其迭代過程才會(huì)終止，且該迭代算法的性能和收斂速度取決于步驟2 中信源方位的初始估計(jì)值，初始估計(jì)值越接近真值，則算法的收斂速度越快，初始估計(jì)值與真值偏差的大小取決于陣元姿態(tài)誤差的大小。由(14)式可知，當(dāng)M?max (δ，σ)時(shí)，聲矢量陣方位估計(jì)偏差不大，上述迭代算法將具有較快的收斂速度。從另一個(gè)角度考慮，由于陣元姿態(tài)誤差只存在于聲矢量陣的振速通道中，對(duì)聲壓通道并無影響，當(dāng)陣元姿態(tài)誤差較小時(shí)，聲矢量陣的方位估計(jì)的偏差不大，此時(shí)該自校正算法具有較高的參數(shù)估計(jì)精度和較快的收斂速度。該自校正算法的迭代過程是非線性的，其適用條件很難用理論推導(dǎo)進(jìn)行詳細(xì)的說明，經(jīng)大量仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文算法擁有較為寬松的適用條件:

1)由于聲矢量陣的導(dǎo)向矢量不具有范德蒙特性［12］，故本文算法適用于聲矢量均勻線列陣;

2)信源數(shù)目(非Disjoint 源)需滿足2≤K ＜M.

4 計(jì)算機(jī)仿真

4.1 陣元姿態(tài)誤差對(duì)波束圖及MUSIC 算法的影響

圖2表示不同陣元姿態(tài)誤差及陣元數(shù)情況下聲矢量陣的波束圖，目標(biāo)方位θ0= 0°，波束響應(yīng)取20lg (|P(θ)|).在圖2(a)中，6 元聲矢量陣陣元擾動(dòng)角度的均值δθ=50°，標(biāo)準(zhǔn)差σθ=50°，從圖中可以看出，在該誤差條件下，聲矢量陣波束圖主瓣的幅度將下降明顯，并且主瓣的極大值點(diǎn)偏差了0.7°;在圖2(b)中，δθ=0°，其他仿真條件不變，圖中波束圖主瓣幅度略有下降，而主瓣的極大值點(diǎn)幾乎無偏差;在圖2(c)中，聲矢量陣陣元數(shù)為10，其他條件同圖2(a)，如圖所示，聲矢量陣波束圖主瓣極大值點(diǎn)只偏差了0.2°.上述仿真結(jié)果表明，δθ對(duì)主瓣極大點(diǎn)值偏差的影響較大，當(dāng)陣元數(shù)增加時(shí)，主瓣極大值點(diǎn)偏差將減小，這與文中的結(jié)論一致。

圖3表示陣元姿態(tài)誤差對(duì)MUSIC 算法的影響，仿真條件為:6 元聲矢量均勻線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)，兩個(gè)相互獨(dú)立的窄帶高斯信號(hào)，中心頻率為2 000 Hz，帶寬為40 Hz，它們的方位分別為θ1=-15°和θ2=20°，噪聲是與信號(hào)相互獨(dú)立的高斯白噪聲，信噪比為20 dB，快拍數(shù)為100.圖3(a)中，δθ=0°，σθ∈［0°，90°］，從圖中可以看出，MUSIC 譜的峰值隨著σθ的增大而減小。在圖3(b)中，δθ=20°，其他條件同圖3(a)，如圖所示，MUSIC 譜的峰值同樣隨著σθ的增大而減小，但是MUSIC 譜的初始峰值(σθ=0°時(shí))僅為1.5 dB.在圖3(c)與圖3(d)中，δθ∈［0°，90°］，σθ分別為0°和20°，δθ∈［0°，90°］，MUSIC 譜隨δθ的變化情況分別與圖3(a)與圖3(b)中MUSIC 譜隨σθ的變化情況相似。從圖3可以看出，當(dāng)δθ和σθ較大時(shí)，MUSIC 譜的峰值下降嚴(yán)重，但是MUSIC 算法估計(jì)的方位變化不大，故自校正算法DOA 估計(jì)的初始值偏差不大，所以本文自校正算法能夠擁有較快的收斂速度和DOA 估計(jì)精度。

4.2 陣元姿態(tài)誤差自校正算法性能仿真分析

圖2 不同條件下的聲矢量陣波束圖Fig.2 Beam patterns of AVSA in different conditions

在圖4中，δθ=80°，σθ=20°，信噪比為10 dB，其他仿真條件同圖3.在圖4(a)中，當(dāng)i =0 時(shí)，陣列處于未校正狀態(tài)，MUSIC 譜峰值約為-9 dB，此時(shí)MUSIC 算法估計(jì)出的方位偏差較大;當(dāng)i =1 時(shí)，MUSIC 譜峰值約為14 dB，譜峰較尖銳，方位估計(jì)偏差較小;當(dāng)i =2 時(shí)，MUSIC 譜峰值上升為19 dB，譜峰已非常尖銳，方位估計(jì)精度與有源校正基本相同;當(dāng)i=3 時(shí)，自校正算法收斂，自校正算法(i =3)、自校正算法(i=2)以及有源校正后的陣列MUSIC 譜圖曲線已經(jīng)重合在一起，在圖4(b)(圖4(a)中G 處放大圖)中可以非常清楚地看出這3 條曲線。另外，當(dāng)σθ不變，δθ減小時(shí)(如δθ=30°)，自校正算法只需4 次迭代就能夠收斂，這表明該自校正算法具有較快的收斂速度。

圖3 陣元姿態(tài)誤差對(duì)MUSIC 算法的影響Fig.3 The influence of attitude errors on MUSIC algorithm

圖4 有源校正與自校正MUSIC 譜Fig.4 MUSIC spectra of off-calibration andself-calibration

為分析自校正算法對(duì)聲矢量陣陣元姿態(tài)誤差參數(shù)及DOA 的估計(jì)性能，定義陣元擾動(dòng)角度正、余弦估計(jì)值及DOA 估計(jì)值的均方根誤差(RMSE)分別為

式中:N 為蒙特卡洛仿真次數(shù)。

圖5表示不同信噪比條件下有源校正及自校正算法的RMSEsc隨快拍數(shù)變化的曲線圖。其中，N =100，信噪比分別為5 dB、10 dB、15 dB 和20 dB，快拍數(shù)從20 變化到200，間隔為20，其他仿真條件同圖4.從圖中可以看出，在不同信噪比及快拍數(shù)的條件下，兩種算法的RMSEsc曲線幾乎完全重合，這表明自校正算法擁有與有源校正算法相同的陣元姿態(tài)誤差參數(shù)估計(jì)性能，這與圖4中的仿真結(jié)果一致。

圖5 RMSEsc隨快拍數(shù)的變化曲線圖Fig.5 RMSEsc versus SNR and the number of snapshots

圖6表示不同信噪比情況下不存在陣元姿態(tài)誤差時(shí)MUSIC 算法及存在陣元姿態(tài)誤差(δθ=80°，σθ=20°)時(shí)自校正算法的RMSEθ隨快拍數(shù)的變化曲線圖，其中N=200，其他仿真條件同圖5.從圖中可以看出，在不同信噪比和快拍數(shù)條件下，自校正算法(存在陣元姿態(tài)誤差時(shí))的DOA 估計(jì)精度略遜于無陣元姿態(tài)誤差時(shí)的MUSIC 算法，這表明本文自校正算法具有良好的信源DOA 估計(jì)性。

圖6 RMSEθ 隨快拍數(shù)的變化曲線圖Fig.6 RMSEθ versus SNR and the number of snapshots

5 結(jié)論

針對(duì)聲矢量陣陣元姿態(tài)誤差校正問題，理論分析了陣元姿態(tài)誤差對(duì)聲矢量陣波束圖的影響，得到了一些有價(jià)值的結(jié)論，并提出了一種聲矢量陣陣元姿態(tài)誤差自校正算法。該算法能夠?qū)崿F(xiàn)陣元姿態(tài)誤差參數(shù)和信源方位的聯(lián)合估計(jì)，適用于聲矢量均勻線陣且具有較快的收斂速度。更重要的是，該自校正算法擁有與有源校正算法相近的陣元姿態(tài)誤差參數(shù)估計(jì)性能，并且該算法的DOA 估計(jì)精度與無誤差時(shí)的MUISC 算法相差無幾。在實(shí)際工程中，校正源方位很難準(zhǔn)確獲得，對(duì)于某些特殊陣列(如拖曳陣及柔性陣)，陣元姿態(tài)誤差是時(shí)變的，故本文提出的自校正算法更符合實(shí)際的工程需求。

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