沈崢嶸，時(shí)鐘，游曼

（工業(yè)和信息化部電子第五研究所，廣州 510610；廣東省電子信息產(chǎn)品可靠性技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510610；廣州市電子信息產(chǎn)品可靠性與環(huán)境工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510610）

引言

產(chǎn)品失效是一個(gè)十分復(fù)雜的過程，一些產(chǎn)品的失效和應(yīng)力累計(jì)有關(guān)，當(dāng)產(chǎn)品性能參數(shù)隨著時(shí)間產(chǎn)生退化，最終超出產(chǎn)品性能正常閾值，導(dǎo)致產(chǎn)品故障或失效。通過這一原理，我們可以在沒有失效數(shù)據(jù)的情況下，對(duì)產(chǎn)品的壽命進(jìn)行評(píng)價(jià)。然而，許多產(chǎn)品的退化速度都很緩慢，在實(shí)驗(yàn)室中我們可以采用加速退化試驗(yàn)方法。加速退化試驗(yàn)方法在不改變產(chǎn)品失效機(jī)理的前提下，通過加大產(chǎn)品的敏感應(yīng)力（如熱應(yīng)力、電應(yīng)力或機(jī)械應(yīng)力等）加快產(chǎn)品的性能退化，利用高應(yīng)力水平下的退化數(shù)據(jù)，外推正常使用應(yīng)力下產(chǎn)品的壽命和可靠性。加速退化試驗(yàn)需要開展多組試驗(yàn)，投放多個(gè)試驗(yàn)樣品，應(yīng)力值的選取和樣本量的投放以及截尾時(shí)間或截尾數(shù)的確定直接影響了加速退化試驗(yàn)的效率和質(zhì)量，這樣加速退化試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)問題成為試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)的關(guān)鍵因素。

1 加速退化試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

為了便于討論，以下說(shuō)明和推導(dǎo)是基于性能參數(shù)退化是朝著性能參數(shù)的合格上邊界退化的，即為正漂移布朗運(yùn)動(dòng)。

退化方程為：

式中：Y（t）——在t時(shí)刻時(shí)，產(chǎn)品的性能值，在t0（初始）時(shí)刻時(shí)，產(chǎn)品的性能（初始）值為Y（t0），在t0+Δt時(shí)刻，產(chǎn)品的性能值為Y（t0+Δt）；

μ——漂移系數(shù)，即某應(yīng)力水平下的退化速度，μ>0；

σ——擴(kuò)散系數(shù)，σ> 0，在整個(gè)加速退化試驗(yàn)中，σ不隨應(yīng)力而改變；

B（Δt）——標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，B（Δt）～N（0，Δt）。

因此得到：

退化率函數(shù)是應(yīng)力的函數(shù)，其與應(yīng)力的關(guān)系可以表示為：

其中iφ為應(yīng)力元素，可以是溫度、振動(dòng)、電應(yīng)力、濕度或電應(yīng)力等，jγ為其系數(shù)。

式（3）的關(guān)系可以描述大多數(shù)加速模型，如Arrhenius模型、Eyring模型和Peck模型等。

2 試驗(yàn)方案優(yōu)化問題

2.1 加速退化試驗(yàn)方案

恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)的核心目的是利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)式（3）中的未知參數(shù) γi(i = 1,...,p)進(jìn)行估計(jì)，因最小二乘估計(jì)要求設(shè)計(jì)矩陣X為列滿序，即設(shè)計(jì)矩陣的行數(shù)要大于等于其列數(shù)，基于這一理論，恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)的試驗(yàn)組數(shù)和未知參數(shù)數(shù)目應(yīng)滿足：n≥p。假設(shè)在恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)中產(chǎn)品不發(fā)生失效，每種應(yīng)力Sl（l=1,...L）共K個(gè)應(yīng)力水平（Sil,...,SiK），產(chǎn)品在每種應(yīng)力下的極限工作應(yīng)力值記為Simax，正常應(yīng)力記為Si0，則應(yīng)有（Si0≤Si1

對(duì)于單應(yīng)力加速退化試驗(yàn)，試驗(yàn)組數(shù)n就是應(yīng)力的n個(gè)水平。對(duì)于多應(yīng)力加速退化試驗(yàn)，試驗(yàn)組數(shù)n是各應(yīng)力的 n個(gè)組合。

2.2 優(yōu)化目標(biāo)

獨(dú)立增量的概率密度函數(shù)為：

其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

優(yōu)化目標(biāo)為其參數(shù)極大似然估計(jì)的協(xié)方差陣最?。?/p>

對(duì)于恒定應(yīng)力加速退化試驗(yàn)，其模型參數(shù)的評(píng)估精度可以用參數(shù)的極大似然估計(jì)的協(xié)方差表示，根據(jù)Cramer-Rao不等式，只要使得 fisher信息矩陣I()θ的行列式最大，就表示模型參數(shù)評(píng)估精度最高。

即 maxdet(I(θ))

約束條件從兩方面考慮，試驗(yàn)成本和試驗(yàn)變量范圍的約束。

試驗(yàn)成本考慮：樣本費(fèi)用，即樣本單價(jià)與樣本量的乘積；實(shí)施試驗(yàn)的費(fèi)用包括試驗(yàn)箱、測(cè)試設(shè)備的耗損折舊，人力、電力等資源的消耗，即試驗(yàn)單價(jià)與試驗(yàn)時(shí)間的乘積。試驗(yàn)費(fèi)用約束為

式中，Ct為試驗(yàn)總成本；Cu為單位時(shí)間內(nèi)實(shí)施試驗(yàn)的費(fèi)用；Cd為樣本單價(jià)。

試驗(yàn)變量實(shí)際取值約束條件為

假設(shè)退化模式不隨應(yīng)力改變，為使各組應(yīng)力下都有足夠的退化信息，退化率小的應(yīng)力組合試驗(yàn)不小于退化率達(dá)的組合時(shí)間，即

綜上所述，優(yōu)化問題可以描述為：

以上所述的優(yōu)化問題十分復(fù)雜，求得其解析解十分困難，我們只能用空間搜索的辦法找到其數(shù)值最優(yōu)解。

首先根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和費(fèi)用約束確定試驗(yàn)時(shí)間和樣本量的取值空間。

其次，根據(jù)試驗(yàn)情況，給出各應(yīng)力水平、樣本分配比和時(shí)間分配比率的搜索步長(zhǎng)，搜索所有滿足約束條件，各組應(yīng)力的選取應(yīng)滿足退化率約束，構(gòu)成應(yīng)力S的取值空間；同樣選擇合適的步長(zhǎng)，搜索滿足約束條件的時(shí)間分配比和樣本分配比的取值空間。

由各變量的取值空間，構(gòu)建整個(gè)優(yōu)化問題解的方案集，計(jì)算方案集中每一個(gè)方案對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)。

3 經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的粗略估計(jì)

開展加速退化試驗(yàn)的目的就是對(duì)退化函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)以推導(dǎo)出正常應(yīng)力下的退化率，進(jìn)而確定產(chǎn)品性能參數(shù)的首達(dá)時(shí)間（即壽命）。但如果對(duì)退化率中的待定參數(shù)一無(wú)所知，就無(wú)法對(duì)加速退化試驗(yàn)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，這是一個(gè)矛盾。

在開展加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)前，需要對(duì)退化率函數(shù)中待定參數(shù)進(jìn)行粗略估計(jì)，產(chǎn)品設(shè)計(jì)人員可以按照經(jīng)驗(yàn)給定待定參數(shù)。在沒有更多先驗(yàn)信息的情況下，本節(jié)提供基于失效率轉(zhuǎn)化的方法對(duì)退化函數(shù)中的參數(shù)進(jìn)行粗略估計(jì)。

利用電子元器件失效率轉(zhuǎn)化方法獲得退化函數(shù)待定參數(shù)的粗略估計(jì)步驟如下：

3.1 獲得完整受試產(chǎn)品的元器件清單。

3.2 查閱GJB 299C得到所有元器件的基本失效率。

基本失效率選取器件在常溫、基準(zhǔn)電應(yīng)力環(huán)境溫度下的失效率。

3.3 利用IEC 61709提供的方法，計(jì)算多組應(yīng)力下的元器件失效率。

其失效率可以表示為：

λref——基準(zhǔn)條件下的失效率；

πU——電壓應(yīng)力系數(shù)；

πI——電流應(yīng)力系數(shù)；

πT——溫度應(yīng)力系數(shù)。

式中： ——工作電壓（V）；

Uref——基準(zhǔn)電壓（V）；

Urat——額定電壓（V）；

C2，C3——常數(shù)。

上述公式給出了失效率與電壓關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

溫度應(yīng)力系數(shù)Tπ

式（9）是基于Arrhenius方程的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，它描述了溫度與失效率的關(guān)系。理想情況下，應(yīng)針對(duì)每類失效模式進(jìn)行計(jì)算，但通常應(yīng)用時(shí)是采用所有失效模式的平均激活能來(lái)計(jì)算溫度對(duì)失效率的影響。必須說(shuō)明的是，由于溫度與不同潛在失效模式的激活能有關(guān)，在后面這種情況中激活能也可能是關(guān)于溫度的函數(shù)，但是這種受溫度的影響通常可忽略。

某些情況中可采用式（8）這種包含兩個(gè)激活能的更為復(fù)雜的模型描述溫度和失效率的關(guān)系，含兩個(gè)激活能（Ea1，Ea2）的模型的使用被認(rèn)為可充分為失效率和溫度關(guān)系建模。（有時(shí)將其稱為競(jìng)爭(zhēng)風(fēng)險(xiǎn)，詳見JESD-85）

為避免基準(zhǔn)溫度變化時(shí)激活能隨溫度變化，阿倫尼斯方程已作標(biāo)準(zhǔn)化處理：

在式（8）和式（9）：

A——常數(shù)；

Ea1，Ea2——激活能（eV）；

k0=8.616×10-5eV/K；

T0＝313K；

Tref=θref＋273（K）；

Top=θop＋273（K）。

此處θref和θop(℃)表示的是：

——對(duì)于集成電路：θref為基準(zhǔn)的實(shí)際（等效）結(jié)溫，θop為實(shí)際的（等效）結(jié)溫；

——對(duì)于分立器件和光電器件：θref為基準(zhǔn)結(jié)溫，θop為實(shí)際結(jié)溫；

——對(duì)于電容器：θref為基準(zhǔn)的電容器溫度，θop為實(shí)際的電容器溫度；

——對(duì)于電阻器：θref為平均基準(zhǔn)溫度，θop為平均的實(shí)際溫度；

——對(duì)于電感器：θref為線圈的平均基準(zhǔn)溫度，θop為線圈的平均實(shí)際溫度；

——對(duì)于其他電子元器件：θref為基準(zhǔn)環(huán)境溫度，θop為實(shí)際環(huán)境溫度。

3.4 計(jì)算各應(yīng)力下受試產(chǎn)品總失效率

根據(jù)基本可靠性的串聯(lián)模型，各個(gè)單元的失效率等于包含的所有元器件失效率之和，產(chǎn)品的失效率等于各個(gè)單元的失效率之和：

以退化率函數(shù) d( S )= exp(A + B/ T + C lnV)為例，大致估算參數(shù)A、B、C的取值，該式中，T為絕對(duì)溫度，單位為K；V為電壓，單位為V。

對(duì)退化率函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)，有l(wèi)nd（S）＝A+B/ T+ClnV，認(rèn)為退化率和失效率是正向相關(guān)的量，問題轉(zhuǎn)化為：

每個(gè)元器件在應(yīng)力條件下的失效率為相應(yīng)的應(yīng)力系數(shù)和基準(zhǔn)失效率的乘積，基準(zhǔn)失效率可以通過相關(guān)數(shù)據(jù)手冊(cè)查到（GJB 299或Siemense標(biāo)準(zhǔn)）。

3.5 利用最小二乘法計(jì)算退化率函數(shù)中的待估參數(shù)

設(shè)X是列滿秩矩陣，參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)為：

此處涉及到高維矩陣求逆，可利用Matlab等數(shù)值計(jì)算軟件求得。

4 算例

某型LED照明燈具元器件的基本失效率和激活能見表1，其元器件基本失效率參看GJB 299C，激活能和參數(shù)A查看IEC 61709。

25℃下，該LED照明燈具的是效率計(jì)算過程見表2。

85℃下該型產(chǎn)品的失效率計(jì)算過程見表3。

表1 某LED產(chǎn)品主要元器件失效率

表2 該型產(chǎn)品25℃的是效率計(jì)算

表3 該型產(chǎn)品85℃下失效率預(yù)計(jì)值

把溫度和對(duì)應(yīng)的是效率帶入（6）式中，可得到參數(shù)A、B的粗略估計(jì)。

可得B=-5640，A=18.6

這樣可以粗略的認(rèn)為產(chǎn)品退化方程滿足u(T) = exp(18.6-5640/T)，進(jìn)而開展優(yōu)化設(shè)計(jì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

以上總結(jié)了基于布朗漂移運(yùn)動(dòng)的加速退化試驗(yàn)方案優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)表達(dá)，給出了一種基于可靠性預(yù)計(jì)的加速退化試驗(yàn)方案優(yōu)化問題經(jīng)驗(yàn)參數(shù)粗略估計(jì)方法，為工程解上決這一問題提供了參考。

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