左 林，郭鵬飛

（江蘇師范大學(xué)連云港校區(qū)數(shù)學(xué)系，江蘇 連云港 222006）

關(guān)于有限群次正規(guī)子群的幾個(gè)結(jié)果

左 林＊，郭鵬飛

（江蘇師范大學(xué)連云港校區(qū)數(shù)學(xué)系，江蘇 連云港 222006）

研究次正規(guī)子群對(duì)有限群冪零性和超可解性的影響.在群系中利用群G的Sylow子群的正規(guī)化子、素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群等在G中次正規(guī)，得到G為冪零群的一些充要條件.若G的Sylow 2－子群的極大子群均在G中次正規(guī)，且G滿足下列條件之一，則G為超可解群：1）G滿足置換條件；2）G為QCLT－群.推廣了有關(guān)共軛置換子群的一些已知結(jié)果.

次正規(guī)子群；正規(guī)子群；超可解群；冪零群

本文中涉及的群均為有限群，所用群論術(shù)語(yǔ)、符號(hào)都是規(guī)范的，可參閱文獻(xiàn)［1］.特別地，HsnG，HcharG分別表示H為G的次正規(guī)子群、特征子群，N表示包含所有冪零群的飽和群系，F(xiàn)表示包含所有有限群的群系.

如果群G的子群H與G的任意子群K可置換（即H K＝K H），則稱H為G的擬正規(guī)子群.如果群G的子群H與G的每個(gè)Sylow子群可置換，則稱H為G的s－擬正規(guī)子群.1997年，F(xiàn)oguel［2］證明了s－擬正規(guī)子群必定是次正規(guī)子群，且研究中發(fā)現(xiàn)介于兩者之間存在一種新的子群——共軛置換子群.設(shè)H為群G的子群，若?g∈G，H H g＝H g H都成立，則稱H為G的共軛置換子群.

對(duì)于群的冪零性、超可解性等，國(guó)內(nèi)外群論研究者曾利用子群的正規(guī)性［3］、擬正規(guī)性［4］、s－擬正規(guī)性［5］、次正規(guī)性［6］等獲得豐富的成果.徐明曜等［7］利用子群的共軛置換性獲得冪零群的若干充要條件，并推廣到群系.關(guān)于這方面的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)［3－15］.在本文中，筆者擬利用次正規(guī)子群的性質(zhì)來(lái)刻畫(huà)群G的冪零性，從而推廣文獻(xiàn)［7］的部分結(jié)論.

Srinivasan［3］證明了：若群G的Sylow子群的極大子群均在G中正規(guī)，則G為超可解群；并且得到群G的Sylow子群的極大子群均在G中分別擬正規(guī)、s－擬正規(guī)時(shí)結(jié)論也成立.但當(dāng)群G的Sylow子群的極大子群均在G中次正規(guī)時(shí)，G未必是超可解群，四次交錯(cuò)群A4即為反例.本文考慮群G的Sylow 2－子群的極大子群均在G中次正規(guī)以及G滿足一些附加條件，得到G為超可解群的兩個(gè)充分條件.

1 基本概念和引理

定義1［16］74對(duì)于有限群G的階的任一約數(shù)d，若存在G的d階子群，則稱群G為CLT－群；群G的所有商群都是CLT－群，則G稱為QCLT－群.

定義2［17］97令H≤G，稱子群PG（H）＝〈x｜x∈G，〈x〉／H＝H〈x〉〉為H在G中的置換化子；如果對(duì)G的每一真子群H恒有H＜PG（H），則稱群G滿足置換條件.

引理1［16］64若群G的每一個(gè)包含Sylow子群正規(guī)化子的極大子群在G內(nèi)都有素?cái)?shù)指數(shù)，則G為超可解群.

引理2［16］47設(shè)G為可解外－超可解群，則G＝MN，M＜·G，M∩N＝1，CG（N）＝N＝F（G），其中N為G的唯一極小正規(guī)子群，且M的Sylowp－子群為交換群，N為pα階初等交換p－群，α＞1.

引理3［18］設(shè)G為有限群，P∈Sylp（G）.若P的極大子群均在G中次正規(guī)，則對(duì)任意NG，均有PN／N的極大子群在G／N中次正規(guī).

引理4［19］若G有子群M和K，使得G＝MK，則對(duì)任意x，y∈G，均有G＝M x K y.

2 次正規(guī)子群與冪零性

定理1 設(shè)G是一個(gè)群且F是包含N的群系.若G滿足下列條件之一，則G∈F：

（i）群G的所有Sylow子群的正規(guī)化子都在G中次正規(guī)；

（ii）群G的所有極大子群的Sylow子群都在G中次正規(guī)；

（iii）群G的所有素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群都在G中次正規(guī)；

（iv）群G的所有極大子群的Sylow子群的循環(huán)子群都在G中次正規(guī)；

（v）群G的所有Sylow子群的正規(guī)化子的極大子群都在G中次正規(guī)；

（vi）群G的所有包含Sylow子群正規(guī)化子的極大子群都在G中次正規(guī)；

（vii）任給M＜·G，P∈Sylp（M），有N M（P）snG成立；

（viii）群G的所有Sylow子群的極大子群都在G中次正規(guī)，且G與p nq階p－基本群無(wú)關(guān).

證明 （i）任給P∈Sylp（G），由題設(shè)知N G（P）snG.由文獻(xiàn)［1］59命題2.5知，N G（P）＝N G（N G（P））.若N G（P）＜G，則與題設(shè)矛盾，所以N G（P）＝G，即PG.由P的任意性知G為冪零群，因此G∈N?F.

（ii）設(shè)G為極小階反例.任給M＜·G，P∈Sylp（M），由題設(shè)知PsnG，得PsnM，從而P M.由P的任意性可知，M為冪零群，故G為內(nèi)冪零群.由文獻(xiàn)［1］142定理4.2知，｜G｜＝p aq b，且對(duì)于P∈Sylp（G），Q∈Sylq（M），有PG且Q為循環(huán)群.由文獻(xiàn)［1］141定理4.1得G為可解群，則對(duì)于G的某個(gè)元素x，G必存在一極大子群N，使得Qx≤N.由題設(shè)知QxsnG，又有Qx∈Sylq（G），故QxG.與G為內(nèi)冪零群矛盾，極小階反例不存在，從而G為冪零群，因此G∈N?F.

（iii）設(shè)G為極小階反例.任給M≤G，設(shè)N為M的任意素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群，于是N也是G的素?cái)?shù)冪階循環(huán)子群.由題設(shè)知NsnG，NsnM，故定理?xiàng)l件子群遺傳.由M的任意性知M是冪零群，故G為內(nèi)冪零群.由文獻(xiàn)［1］142定理4.2知，｜G｜＝p aq b，且對(duì)于P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），有PG，Q為循環(huán)群.由題設(shè)知QsnG，得QG，與假設(shè)矛盾.極小階反例不存在，從而G為冪零群，因此G∈N?F.

（iv）設(shè)G為極小階反例.任給M＜·G，由題設(shè)知M的所有Sylow子群的循環(huán)子群都在G中次正規(guī)，從而在M中次正規(guī).由（iii）得M為冪零群.由M的任意性知G是內(nèi)冪零群.同（ii）可證G為冪零群，因此G∈N?F.

（v）任給P∈Sylp（G），M＜·N G（P）.由于MsnG，故MsnN G（P），從而N G（P）為冪零群.不妨設(shè)NG（P）＝P1×P2×…×Pr，其中P∈Sylpi（NG（P）），i＝1，2，…，r.令M為包含P的N G（P）的極大子群，則PMsnG，故PsnG，進(jìn)而PG.由P的任意性得G是冪零群，故G∈N?F.

（vi）設(shè)G為極小階反例.易證命題條件商群遺傳.因?yàn)槿篏的極大次正規(guī)子群必是正規(guī)的，所以可設(shè)M＜·G且MG.若｜G∶M｜是合數(shù)，則商群G／M必定存在非平凡子群K／M，故M＜K＜G，與題設(shè)矛盾，因此｜G∶M｜必為素?cái)?shù).由引理1知G是可解的，則G是可解外－冪零群.設(shè)N為G的任意極小正規(guī)子群，則N必是初等交換p－群.設(shè)N1，N2為G的兩個(gè)極小正規(guī)子群，則N1∩N2＝1.由于G?G／N1∩N2?（G／N1）×（G／N2），又由G為可解外－冪零群，所以（G／N1）×（G／N2）為冪零群，進(jìn)而G為冪零群，與假設(shè)矛盾，故N為G的唯一極小正規(guī)子群.由于G為可解外－冪零群，若Φ（G）≠1，則G／Φ（G）為冪零群，從而G為冪零群，與假設(shè)矛盾，故Φ（G）＝1.由引理2可得，G＝AN，A∩N＝1，A＜·G，CG（N）＝N＝F（G）∈Sylp（G）.不妨設(shè)G＝NA＝N（P1×…×Pr）.任給Pi∈Sylpi（A），則N G（Pi）≥A.若N G（Pi）＝A，則由于AsnG，且A＜·G，故AG，因此G是冪零群，這與假設(shè)矛盾，于是N G（Pi）＝G，即G為冪零群.又與假設(shè)矛盾，因此極小階反例不存在，故G為冪零群，G∈N?F.

（vii）任給M1＜·G，P1∈Sylp（M1），由題設(shè)知N M1（P1）snG，有N M1（P1）snM1.同（i）的證明可知M1為冪零群，從而G的任一極大子群均為冪零群.任給P∈Sylp（G），若PG，則N G（P）＜G，從而必存在M＜·G使得N G（P）≤M.顯然，P∈Sylp（M）.由M為冪零群知，PM，故M≤NG（P），從而M＝NG（P）＝N M（P）.由題設(shè)可知MsnG，得MG.由PcharMG得PG，與假設(shè)矛盾，所以對(duì)任意的P∈Sylp（G），有PG，即G為冪零群，因此G∈N?F.

（viii）設(shè)G為極小階反例.易證題設(shè)既是子群遺傳的又是商群遺傳的，因此G為極小非冪零群.由題設(shè)知群G與p nq階p－基本群無(wú)關(guān)，因此G是冪零群，故G∈N?F.

3 次正規(guī)子群與超可解性

定理2 設(shè)群G為QCLT－群，若G的Sylow 2－子群的極大子群均在G中次正規(guī)，則G超可解.

證明 設(shè)G為極小階反例.

1）G為可解外－超可解群，且Φ（G）＝1.由引理3及QCLT－群的定義可知，定理?xiàng)l件商群遺傳.若Φ（G）≠1，則由G／Φ（G）為超可解群得G為超可解群，所以可設(shè)Φ（G）＝1.由于QCLT－群是可解群，故G為可解外－超可解群.

2）由引理2可知，G＝MN，M＜·G，M∩N＝1，CG（N）＝N＝F（G），其中N為G的唯一極小正規(guī)子群，且M的Sylowp－子群為交換群，N為pα階初等交換p－群，α＞1.

3）N∈Syl2（G）.若P循環(huán)，則G與S4無(wú)關(guān).由文獻(xiàn)［20］可知，G為超可解群，矛盾，故P為非循環(huán)群.設(shè)P1，P2＜·P，由P1，P2snG可得〈P1，P2〉＝P1P2＝PsnG，所以PG，故N≤P.由2）可知N＝P∈Syl2（G）.

4）導(dǎo)出矛盾.由1），2），4）可知，G＝MN且｜N｜＝2α，α＞1.由于G是QCLT－群，故G存在2α－1｜M｜階子群K.又因M為G的 Hall子群，故K＝N1M x，其中N1＜·N，x∈G.這時(shí)M x＜N1M x＜G，與M x＜·G矛盾.

極小階反例不存在，G為超可解群.

定理3 設(shè)群G滿足置換條件，若G的Sylow 2－子群的極大子群均在G中次正規(guī)，則G為超可解群.

證明 設(shè)G為極小階反例.類似于定理2的證明，由文獻(xiàn)［21］推論3可知：

1）G為可解外－超可解群，且Φ（G）＝1.

2）G＝MN，M＜·G，M∩N＝1，CG（N）＝N＝F（G），其中N為G的唯一極小正規(guī)子群，且M的Sylowp－子群為交換群，N為pα階初等交換p－群，α＞1.

3）N∈Syl2（G）.

4）導(dǎo)出矛盾.因?yàn)镚滿足置換條件，所以存在g∈G，使得G＝M〈g〉＝〈g〉M且〈g〉＝〈x〉〈y〉，其中〈x〉為〈g〉的2′－Hall子群，〈y〉≤N.由于G的可解性，故可設(shè)〈x〉≤Mz，z∈G.由引理4可知，G＝Mz〈g〉＝Mz〈x〉〈y〉＝Mz〈y〉＝MN，〈y〉為G的Sylow 2－子群，故N＝〈y〉，與2）矛盾.

極小階反例不存在，G為超可解群.

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Some results on subnormal subgroups of finite groups

ZUO Lin＊，GUO Pengfei

（Dept of Math，Lianyungang Coll of Jiangsu Norm Univ，Lianyungang 222006，China）

The authors investigate the influence of subnormal subgroups on nilpotency and supersolvability of finite groups.A series of necessary and sufficient conditions for a group to be nilpotent are given in formation by means of the subnormality of some subgroups ofG，such as the nomalizer of the Sylow subgroups ofG，cyclic subgroups with prime powers orders ofG，etc.If all maximal subgroups of the Sylow 2－subgroups ofGare subnormal inG，andGsatisfies one of the following conditions，thenGis supersolvable，1）Gsatisfies the permutizer condition；2）Gis a QCLT－group.These generalize the results of the investigation on conjugate－permutable subgroups of finite groups.

subnormal subgroups；normal subgroups；supersolvable groups；nilpotent groups

O 152.1

A

1007－824X（2014）01－0001－04

2013－06－21.＊ 聯(lián)系人，E－mail：13505130188＠163.com.

江蘇省“青藍(lán)工程”基金資助項(xiàng)目（蘇教師［2012］39號(hào)）；江蘇省現(xiàn)代教育技術(shù)研究規(guī)劃課題（2012－R－21998）.引文格式：左林，郭鵬飛.關(guān)于有限群次正規(guī)子群的幾個(gè)結(jié)果 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，17（1）：1－4.

（責(zé)任編輯 時(shí) 光）