鞏長忠，蔡曉東

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

時(shí)變時(shí)延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步

鞏長忠＊，蔡曉東

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津 300300）

研究兩個(gè)帶有時(shí)變時(shí)延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步（GFPS）問題，其中驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)是基于一個(gè)變換矩陣漸近同步的.基于LaSalle不變?cè)砗蚅yapunov穩(wěn)定性理論，得到使這兩個(gè)系統(tǒng)同步的充分條件，并用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真，驗(yàn)證了方法的有效性.

廣義函數(shù)投影同步；混沌系統(tǒng)；時(shí)變時(shí)延；自適應(yīng)控制

自從混沌同步問題提出以來，許多研究涉及到混沌同步現(xiàn)象，例如完全同步（CS）［1］、廣義同步（GS）［2］、延遲同步（LS）［3］、投影同步（PS）［4－6］等.在一系列混沌同步現(xiàn)象中，投影同步由于其更快的反饋速度特征而得到廣泛關(guān)注，Li Zhenbo［7］，Li Chunlai［8］，Wu Xiangjun［9］等對(duì)超混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步問題進(jìn)行了進(jìn)一步探討.而在實(shí)際問題中，系統(tǒng)中一般存在著不可忽視的時(shí)間延遲，時(shí)延會(huì)徹底改變系統(tǒng)中動(dòng)力學(xué)行為之間的相互作用，因此，為了更好地模擬現(xiàn)實(shí)情況，須把時(shí)延條件加入到系統(tǒng)模型中.Wu Xiangjun等［10］曾對(duì)兩個(gè)帶有時(shí)延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步（GFPS）問題進(jìn)行分析，并用合適的自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)了兩系統(tǒng)的同步，但其考慮的時(shí)延為定值.在本文中，筆者擬基于LaShall不變?cè)砗蚅yapunov穩(wěn)定性理論，探討兩個(gè)帶有時(shí)變時(shí)延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步問題，通過構(gòu)造自適應(yīng)控制器實(shí)現(xiàn)兩系統(tǒng)的同步.

1 問題描述

假設(shè)把一個(gè)時(shí)變時(shí)延的混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，其模型可表示為

響應(yīng)系統(tǒng)模型為

其中x（t）＝（x1，x2，…，x n）T，y（t）＝（y1，y2，…，y n）T∈Rn是相應(yīng)于系統(tǒng)（1）和（2）的靜態(tài)變量，A和B是維數(shù)適當(dāng)?shù)某?shù)矩陣，f，g：Rn→Rn是兩個(gè)非線性連續(xù)函數(shù)，時(shí)變時(shí)延τ（t）為非負(fù)函數(shù)，且滿足0≤˙τ（t）≤ε＜1，ε是一常數(shù)，u（t）是控制器.

定義1（GFPS） 假設(shè)對(duì)于系統(tǒng)（1）和（2）中相應(yīng)的變量為x（t）和y（t），存在一合適的控制器使得limt→∞‖y（t）－P（t）x（t）‖＝0成立，那么稱系統(tǒng)（1）和（2）達(dá)到廣義函數(shù)投影同步，其中P（t）＝diag（α1（t），α2（t），…，αn（t））為變換矩陣，αi（t）≠0（i＝1，2，…，n）是有界的連續(xù)可微函數(shù).

2 主要結(jié)果

引理1 對(duì)于任意向量x，y∈Rn和可逆正定矩陣Q∈Rn×n，以下矩陣不等式成立：2xTy≤xTQx＋yTQ－1y.

定義系統(tǒng)（1）和（2）之間的同步軌道誤差向量為

為了使系統(tǒng)（1）和（2）達(dá)到同步，須構(gòu)造一個(gè)合適的控制器u（t），使得limt→∞‖e（t）‖＝0.

定理1 由已知的非零變換函數(shù)αi（t）（≠0）和時(shí)變時(shí)延函數(shù)τ（t），系統(tǒng)（1）和（2）在控制器

下可以達(dá)到廣義函數(shù)投影同步，其中˙k＝μeT（t）e（t），μ是任意正常數(shù).證明 對(duì)誤差向量e（t）求導(dǎo)得

將式（1），（2），（4）代入式（5），得

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

WHO調(diào)查了近年來29個(gè)發(fā)展中國家的普通孕婦中子癇前期發(fā)病率0.02%～7.67%，平均發(fā)病率為2.16%。針對(duì)正常孕婦的子癇前期試驗(yàn)，發(fā)病率不高。Valio等[15]研究了妊娠35～37周的3 953例單胎普通孕婦，最終只有65例發(fā)展為子癇前期。一些針對(duì)高危孕婦進(jìn)行的研究中，子癇前期的發(fā)病率明顯上升[11]。本研究中的研究對(duì)象為子癇前期高危孕婦，271例病人中有11例發(fā)病，明顯提高了sFlt-1、PLGF對(duì)于子癇前期的預(yù)測(cè)價(jià)值。早期診斷子癇前期，盡早對(duì)于高危孕婦進(jìn)行干預(yù)及監(jiān)管，減少不良圍產(chǎn)期母嬰結(jié)局的發(fā)生具有重要意義。

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)，并將誤差系統(tǒng)（6）代入其中，由引理1可得

顯然存在一個(gè)足夠大的正常數(shù)k＊，即k＊＝λmax（2－1BBT）＋2－1（1－ε）－1＋1，使得˙V（t）≤－eT（t）e（t），即˙V（t）≤0.包含于E＝｛˙V（t）＝0｝＝｛e（t）＝0｝的最大不變集為M＝｛e（t）＝0，k＝k＊｝.由誤差系統(tǒng)（6）可知，當(dāng)t→∞時(shí)，e（t）→0，k→k＊，即兩個(gè)不同的混沌系統(tǒng)（1）和（2）達(dá)到了廣義函數(shù)投影同步.定理證畢.

由定理1可以很容易得到以下推論.

推論1 假如驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）具有相同的動(dòng)態(tài)，即A＝B，f＝g，由已知的非零變換函數(shù)αi（t）（≠0）和時(shí)變時(shí)延函數(shù)τ（t），兩系統(tǒng)可在以下控制器作用下達(dá)到廣義函數(shù)投影同步：

其中μ是任意正常數(shù).

3 數(shù)據(jù)仿真

本文采用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真來驗(yàn)證方法的有效性，混沌系統(tǒng)選用有時(shí)延的Lü系統(tǒng)，模型如下：

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的模型分別為

其中ui（t）（i＝1，2，3）是兩時(shí)變時(shí)延混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)廣義函數(shù)投影同步的控制器.定義GFPS誤差向量為

其中αi（t）（i＝1，2，3）為非零縮放函數(shù).

由推論1中的公式（8）可以得到控制器為

為了保證混沌行為的存在，Lü系統(tǒng)中a＝36，b＝20，c＝3；驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（10）和響應(yīng)系統(tǒng)（11）的初值設(shè)為0到1之間的隨機(jī)值；k的初值設(shè)為k（0）＝0.01，μ的 取 值 為 2；縮 放 函 數(shù) 選 取α1（t）＝1.5＋sin（0.5t），α2（t）＝2－0.5cost，α3（t）＝ －2＋sin（5t）；時(shí)變時(shí)延函數(shù)設(shè)為τ（t）＝0.01t.

采用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真，由圖1可以看出，兩系統(tǒng)的誤差向量e1（t），e2（t），e3（t）迅速收斂到0，也就是說兩系統(tǒng)達(dá)到了廣義函數(shù)投影同步.

圖1 Lü系統(tǒng)（10）和（11）的誤差曲線Fig.1 Errors between Lüsystem （10）and（11）

［1］PECORA L M，CARROLL T L.Synchronization in chaotic systems［J］.Phys Rev Lett，1990，64（8）：821－824.

［2］GE Zhengming，CHANG Chingming.Generalized synchronization of chaotic systems by pure error dynamics and elaborate Lyapunov function［J］.Nonlinear Anal：Theor Meth Appl，2009，71（11）：5301－5312.

［3］LI Chuandong，LIAO Xiaofeng，WONG Kwokwo.Chaotic lag synchronization of coupled time－delayed systems and its applications in secure communication［J］.Phys D：Nonlinear Phenom，2004，194（3／4）：187－202.

［4］MAINIERI R，REHACEK J.Projective synchronization in three－dimensional chaotic systems［J］.Phys Rev Lett，1999，82（15）：3042－3045.

［5］XU Daolin.Control of projective synchronization in chaotic systems［J］.Phys Rev E，2001，63（2）：027201：1－4.

［6］趙磊，胡馮儀，鄭永愛，等.不同混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)混合投影同步 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，11（3）：45－48.

［7］LI Zhenbo，ZHAO Xiaoshan.Generalized function projective synchronization of two different hyperchaotic systems with unknown parameters［J］.Nonlinear Anal：Real World Appl，2011，12（5）：2607－2615.

［8］LI Chunlai.Generalized function projective synchronization and tracking control of a class of hyperchaotic systems with unknown parameters and disturbance［C］／／2011 Second International Conference on Mechanic Automation and Control Engineering（MACE）.Hohhot：IEEE，2011：1336－1338.

［9］WU Xiangjun，GUO Nian.Generalized functional projective synchronization of a new hyperchaotic system based parameters identification［C］／／2011 Third Pacific－Asia Conference on Circuits，Communications and System（PACCS）.Wuhan：IEEE，2011：1－4.

［10］WU Xiangjun，WANG Hui.Generalized function projective synchronization of a class of delayed chaotic systems［C］／／2010 International Workshop on Chaos－Fractals Theories and Applications（IWCFTA）.Kunming：IEEE，2010：48－52.

Generalized function projective synchronization of a class of chaotic systems with time－varying delays

GONG Changzhong＊，CAI Xiaodong

（Coll of Sci，Civ Aviat Univ of China，Tianjin 300300，China）

Generalized function projective synchronization（GFPS）of a class of chaotic systems with time－varying delays is studied in this paper，where the drive and response systems are asymptotically synchronized up to a scaling function matrix.Based on LaSalle theory and Lyapunov stability theory，the sufficient condition is obtained to achieve GFPS between two different chaotic systems.Numerical simulations using Matlab are presented to verify the effectiveness of the proposed scheme.

generalized function projective synchronization；chaotic systems；time－varying delay；adaptive control

TP 273.2

A

1007－824X（2014）01－0056－04

2013－10－14.＊ 聯(lián)系人，E－mail：g－chzh＠163.com.

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)資助項(xiàng)目（ZXH2012B003，ZXH2012K002）；天津市自然科學(xué)基金青年項(xiàng)目（13JCQNJC－04400）.

鞏長忠，蔡曉東.時(shí)變時(shí)延混沌系統(tǒng)的廣義函數(shù)投影同步 ［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，17（1）：56－59.

（責(zé)任編輯 時(shí) 光）