杜文舉，張建剛，俞建寧，安新磊

（蘭州交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系，蘭州 730070）

Van der Pol－Duffing方程的非線性部分含有Van der Pol系統(tǒng)維持自激振動的非線性阻尼項和Duffing系統(tǒng)三次非線性恢復(fù)力項.文獻［1－6］研究了Van der Pol－Duffing系統(tǒng)的動力學(xué)行為；文獻［7］研究了Hopf分岔的控制問題；文獻［8］設(shè)計了閉環(huán)系統(tǒng)，并對一個三維熱對流混沌模型的Hopf分岔進行控制；文獻［9］對一個七維連續(xù)非線性系統(tǒng)的Hopf分岔進行了控制；文獻［10］利用設(shè)計的轉(zhuǎn)換控制器研究了光滑平面系統(tǒng)極限環(huán)的產(chǎn)生、幅值及其穩(wěn)定性；文獻［11］利用設(shè)計的二次非線性控制器，將具有潛在威脅的亞臨界Hopf分岔控制為超臨界Hopf分岔；文獻［12］對耦合的Van der Pol振子采用攝動法和多尺度法研究極限環(huán)幅值控制；文獻［13］基于 Wash－out－filter方法為非線性系統(tǒng)設(shè)計Hopf分岔狀態(tài)反饋控制器，在保持平衡點不變的情況下，使系統(tǒng)在期望的參數(shù)值處，將原來發(fā)生的亞臨界Hopf分岔轉(zhuǎn)化為超臨界Hopf分岔，并保證了系統(tǒng)在參數(shù)值范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的；文獻［14］介紹了動分岔的相關(guān)理論及目前非線性系統(tǒng)中常用的兩種分岔控制方法，并論述了用Washout－filter法對電力系統(tǒng)的動分岔進行控制.本文基于Washout濾波器設(shè)計一種狀態(tài)反饋控制器，并討論控制增益對Hopf分岔的存在性及極限環(huán)幅值的影響.

本文對同時含有平方項和5次冪項的Van der Pol－Duffing系統(tǒng)進行研究，其動力學(xué)方程為

其中：b1，b2，b3分別為非線性剛性系數(shù)；f為振幅；Ω為外干擾力頻率；ω0為系統(tǒng)的固有頻率.

1 自治系統(tǒng)的Hopf分岔分析

因此，當(dāng)μ＝0時，系統(tǒng)（2）在平衡點E0處發(fā)生余維一的亞臨界Hopf分岔.如圖1所示.由圖1可見，當(dāng)μ＝－0.05＜0時，系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的焦點；當(dāng)μ＝0.5＞0時，系統(tǒng)存在為穩(wěn)定的焦點和不穩(wěn)定的極限環(huán).

圖1 μ取不同值時系統(tǒng)（2）的相圖Fig.1 Phase diagram of system （2）with different values ofμ

2 基于Washout濾波器的反饋控制

對方程（3）施加Washout濾波器控制，則受控系統(tǒng)為

其中u＝k1（y－mv）＋k2（y－mv）3，k1和k2分別為線性和非線性控制增益.實際應(yīng)用中可通過調(diào)節(jié)k1和k2值的大小控制Hopf分岔的產(chǎn)生、極限環(huán)幅值的大小和Hopf分岔的類型及其穩(wěn)定性.

Washout濾波器不改變平衡點的類型，系統(tǒng)（9）在平衡點E0＝（0，0，0）處的Jacobi矩陣為

相應(yīng)的特征多項式為

根據(jù)Hopf分岔定理［17］，系統(tǒng)（9）在平衡點E0發(fā)生Hopf分岔時滿足的參數(shù)條件為

圖2 線性控制增益k1與分岔參數(shù)μ的關(guān)系曲線Fig.2 Relation curve between the linear control gain k1and the bifurcation parameterμ

當(dāng)參數(shù)ε＝0.2，ω0＝1，m＝0.5時，線性控制增益k1與分岔參數(shù)μ的關(guān)系如圖2所示.由圖2可見，μ隨k1的增大而增大.

當(dāng)k1＝0時，系統(tǒng)在μ＝0處發(fā)生Hopf分岔，與未加控制器的情況一致.若k1＝0.5，k2＝0.2，則可求得分岔臨界值μ0＝2.071 1，即線性控制器使系統(tǒng)的Hopf分岔點延后，消除了μ＝0處的Hopf分岔現(xiàn)象，如圖3所示.若k1＝－0.5，k2＝0.2，則可求得分岔臨界值μ0＝－1.909 8，即線性控制器使系統(tǒng)的Hopf分岔點提前，如圖4所示.

圖3 k1＝0.5，k2＝0.2，μ＝2.071 1時系統(tǒng)（9）的時間響應(yīng)圖（A）和相圖（B）Fig.3 Time history（A）and phase diagram （B）of system （9）with k1＝0.5，k2＝0.2，μ＝2.071 1

圖4 k1＝－0.5，k2＝0.2，μ＝－1.909 8時系統(tǒng)（9）的時間響應(yīng)圖（A）和相圖（B）Fig.4 Time history（A）and phase diagram （B）of system （9）with k1＝－0.5，k2＝0.2，μ＝－1.909 8

下面討論非線性控制增益k2對系統(tǒng)的影響.固定參數(shù)ε＝0.2，ω0＝1，m＝0.5，b1＝3，b2＝1.2，b3＝2.5，Washout控制器設(shè)計為

若μ2＞0（μ2＜0），則Hopf分岔是超臨界的（亞臨界的），當(dāng)m＞m0（m＜m0）時存在周期解；若β2＜0（β2＞0），則周期解在中心流形上是穩(wěn)定的（不穩(wěn)定的）；當(dāng)τ2＞0（τ2＜0）時，周期是遞增的（遞減的）.若非線性控制增益k2＝0.5，則u＝0.5（y－0.5v）＋0.5（y－0.5v）3，通過計算可得

此時，受控系統(tǒng)（9）在平衡點E0發(fā)生超臨界Hopf分岔.

受控系統(tǒng)（9）的極限環(huán)幅值近似解為受控系統(tǒng)（9）的極限環(huán)幅值r與非線性控制增益k2的關(guān)系曲線如圖5所示.由圖5可見：若k2＞0，則極限環(huán)的幅值增大；若k2＜0，則極限環(huán)的幅值減小；當(dāng)k2→－0.007時，r→0，即不再發(fā)生 Hopf分岔.

圖5 極限環(huán)幅值r與非線性控制增益k2的關(guān)系曲線Fig.5 Relation curve between the limit cycle amplitude and the nonlinear control gain

若k2＝0，即未添加非線性控制器時，系統(tǒng)（9）的極限環(huán)幅值r＝0.344 5，此時的極限環(huán)如圖6（A）所示；若k2＝－0.007，則系統(tǒng)（9）的極限環(huán)幅值r＝0.098 1，即添加非線性控制器減小了極限環(huán)幅值，此時的極限環(huán)如圖6（B）所示；若k2＝0.1，則系統(tǒng)（9）的極限環(huán)幅值r＝1.295 1，即添加非線性控制器增大了極限環(huán)幅值，此時的極限環(huán)如圖6（C）所示；將上述3個極限環(huán)在相同坐標(biāo)下比較，其控制效果如圖6（D）所示.

圖6 不同非線性控制增益k2下的極限環(huán)Fig.6 Limit cycle amplitude under different nonlinear control gains

綜上，本文研究了同時含有平方項和5次冪項的Van der Pol－Duffing系統(tǒng).先對自治的Van der Pol－Duffing系統(tǒng)進行了Hopf分岔分析，通過非線性動力學(xué)理論，得到了Hopf分岔的存在性及發(fā)生Hopf分岔的條件.然后基于Washout濾波器設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器，討論了控制增益對Hopf分岔的存在性及其極限環(huán)幅值的影響，并用數(shù)值模擬方法研究了參數(shù)對系統(tǒng)分岔的影響.

［1］徐鑒，陸啟韶，王乘.Van der Pol－Duffing時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性和 Hopf分岔 ［J］.力學(xué)學(xué)報，2000，32（1）：112－116.（XU Jian，LU Qishao，WANG Cheng.Stability and Bifurcations in a Van der Pol－Duffing Time－Delay System ［J］.Acta Mechanica Sinica，2000，32（1）：112－116.）

［2］彭解華，唐駕時，于德介，等.Van der Pol－Dufing系統(tǒng)的非共振 Hopf分叉 ［J］.國防科技大學(xué)學(xué)報，2001，23（2）：107－110.（PENG Jiehua，TANG Jiashi，YU Dejie，et al.Nonresonant Hopf Bifurcation of Van der Pol－Duffing System ［J］.Journal of National University of Defense Technology，2001，23（2）：107－110.）

［3］管慶光，臧林.三維分片光滑F(xiàn)ilippov－型方程Hopf分支周期解的數(shù)值計算 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2010，48（3）：371－374.（GUAN Qingguang，ZANG Lin.Numerical Computation of Periodic Solutions Generated by Generalized Hopf Bifurcation of 3－Dimensional Piecewise Smoth Filippov－Type Equation ［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2010，48（3）：371－374.）

［4］林延新，張?zhí)焓妫酵?參激Duffing－Van der Pol振子的混沌演化與激變 ［J］.東華大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，37（2）：246－255.（LIN Yanxin，ZHANG Tianshu，F(xiàn)ANG Tong.Evolution and Crisis of the Chaos Attractor in the Duffing－Van der Pol Oscillator under Parametric Excitations［J］.Journal of Donghua University：Natural Science，2011，37（2）：246－255.）

［5］顧仁財，許勇，郝孟麗，等.Lévy穩(wěn)定噪聲激勵下的Duffing－Van der Pol振子的隨機分岔 ［J］.物理學(xué)報，2011，60（6）：060513.（GU Rencai，XU Yong，HAO Mengli，et al.Stochastic Bifurcations in Duffing－Van der Pol Oscillator with Lévy Stable Noise［J］.Acta Phys Sin，2011，60（6）：060513.）

［6］郭爽，張玲.一類食物鏈模型的Fold－Hopf分支現(xiàn)象分析 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2013，51（5）：802－806.（GUO Shuang，ZHANG Ling.Fold－Hopf Bifurcation Analysis on a Food Chain Model［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2013，51（5）：802－806.）

［7］Abed E H，F(xiàn)u J H.Local Feedback Stabilization and Bifurcation Control，Ⅰ.Hopf Bifurcation［J］.Systems ＆Control Letters，1986，7（1）：11－17.

［8］Wang H O，Abed E H.Bifurcation Control of a Chaotic System ［J］.Automatica，1995，31（9）：1213－1226.

［9］WEN Guilin，XU Daolin.Control Algorithm for Creation of Hopf Bifurcations in Continuous－Time Systems of Arbitrary Dimension［J］.Physics Letters A，2005，337（1／2）：93－100.

［10］Angulo F，Bernardo M，F(xiàn)ossas E，et al.Feedback Control of Limit Cycles：A Switching Control Strategy Based on Nonsmooth Bifurcation Theory［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，2005，52（2）：366－378.

［11］李鵬松，陳書吉，呂雪，等.單參數(shù)電力系統(tǒng)亞臨界Hopf分岔控制 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2013，51（4）：618－622.（LI Pengsong，CHEN Shuji，LüXue，et al.Subcritical Hopf Bifurcation Control of Power System with Single Parameter［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2013，51（4）：618－622.）

［12］唐駕時，蕭寒.耦合的 Van der Pol振子的極限環(huán)幅值控制 ［J］.物理學(xué)報，2007，56（1）：101－107.（TANG Jiashi，XIAO Han.Amplitude Control of Limit Cycle of Coupled Van der Pol Oscillator［J］.Acta Physica Sinica，2007，56（1）：101－107.）

［13］安袆春，張慶靈，張艷，等.基于 Wash－Out－Filter方法控制非線性系統(tǒng)Hopf分岔 ［J］.東北大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，29（10）：1381－1384.（AN Yichun，ZHANG Qingling，ZHANG Yan，et al.Control Based on Wash－Out－Filter for Hopf Bifurcation of Nonlinear Systems［J］.Journal of Northeastern University：Natural Science，2008，29（10）：1381－1384.）

［14］馬幼捷，李小雙，周雪松，等.基于 Washout－Filter方法的電力系統(tǒng)動分岔控制 ［J］.電力系統(tǒng)保護與控制，2011，39（23）：54－59.（MA Youjie，LI Xiaoshuang，ZHOU Xuesong，et al.Control of Dynamic Bifurcation in Power System Based on Washout－Filter［J］.Power System Protection and Control，2011，39（23）：54－59.）

［15］Sotomayor J，Mello L F，Braga D C.Bifurcation Analysis of the Watt Governor System ［J］.Computational ＆Applied Mathematics，2007，26（1）：19－44.

［16］Kuznetsov Y A.Elements of Applied Bifurcation Theory［M］.3rd ed.New York：Springer，2004：293－313.

［17］Dias F S，Mello L F，ZHANG Jiangang.Nonlinear Analysis in a Lorenz－Like System ［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（5）：3491－3500.

［18］Hassard B D，Kazarinoff N D，Wan Y H.Theory and Applications of Hopf Bifurcation［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1981：73－86.