劉平安，廖小東，程雯玉，王 銓

（華東交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌 330013）

雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作與設(shè)計(jì)

劉平安，廖小東，程雯玉，王 銓

（華東交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌 330013）

為了方便雙曲拋物面薄殼屋蓋的制作，采用數(shù)學(xué)建模的方法對(duì)雙曲拋物面薄殼屋蓋進(jìn)行理論計(jì)算，得到了直母線鋼筋數(shù)以及直母線鋼筋在空間的位置、錨固面方程以及與直母線交點(diǎn)、直母線之間的交點(diǎn)和直母線與錨固面的法線之間夾角的數(shù)學(xué)表達(dá)式。利用Matlab軟件經(jīng)過(guò)實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證了其有效性，為今后雙曲薄殼屋蓋的制作提供了理論依據(jù)。

雙曲薄殼屋蓋；數(shù)學(xué)建模；預(yù)應(yīng)力鋼筋；錨固面

隨著建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論、設(shè)計(jì)手段及施工水平的不斷提高，新的建筑型式不斷出現(xiàn)。用鋼筋混凝土澆筑的雙曲拋物面薄殼屋蓋具有利于排水、不易滲漏、節(jié)約材料、剛度較大、造型優(yōu)美等優(yōu)點(diǎn)，可以用于廠房、商場(chǎng)、影劇院等民用建筑［1］。許多學(xué)者對(duì)雙曲拋物薄殼屋蓋的設(shè)計(jì)、施工和風(fēng)壓的分布等進(jìn)行了研究［2-5］。但薄殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)計(jì)算難度較大，施工復(fù)雜，對(duì)設(shè)計(jì)及施工技術(shù)要求較高。若能在制作前能為配筋、錨固面位置的確定等進(jìn)行相關(guān)理論計(jì)算，將為雙曲薄殼屋蓋的制作帶來(lái)切實(shí)的方便。

如圖1為雙曲拋物面薄殼屋蓋示意圖。

1 直母線鋼筋數(shù)與空間位置直線方程

如圖2所示的雙曲拋物面又稱(chēng)馬鞍面，其數(shù)學(xué)方程為

圖1 雙曲拋物面薄殼屋蓋Fig.1 Hyperbolic paraboloid shell roof

圖2 雙曲拋物面Fig.2 Hyperbolic paraboloid

式中：x，y，z是直角坐標(biāo)系3個(gè)坐標(biāo)軸方向上的變量；a，b是常數(shù)。

作為屋蓋的雙曲拋物面其長(zhǎng)度方向必須是上凸的，而在寬度方向有相對(duì)小的凹曲。在雙曲拋物面薄殼上建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如圖3所示。

0,0 ,0 往兩邊沿馬鞍面的兩族直母線配筋后再澆注混凝土或樹(shù)脂。配筋布置如圖4所示，圖中a為板寬之半；b為屋蓋長(zhǎng)度之半；fx為橫向下?lián)细叨?；fy為縱向上拱高度。

圖3 雙曲拋物面薄殼坐標(biāo)系的建立Fig.3 The coordinate system of hyperbolic paraboloid shell

圖4 馬鞍面薄殼配筋在x-y平面投影Fig.4 Projection of saddle shell reinforcement in the x-y plane

k為從W1中間向x增大方向開(kāi)始對(duì)直母線鋼筋的編號(hào)數(shù)。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知最多可安排2(2k+1)根過(guò)點(diǎn)所要求直母線鋼筋。

圖5 直母線投影到x-o-y平面Fig.5 Projected straight generatrix in the x-o-y plane

2 錨固面方程以及與直母線交點(diǎn)的求解

根據(jù)錨固面的定義可知兩條主直母線共有4個(gè)錨固面，其中兩兩相交在直母線兩端分別形成一個(gè)折線型面。如圖6所示，n1，n2為兩條錨固面直線。

直線方程：y=±b±l1與方程（6）的其中一個(gè)交點(diǎn)為

圖6 錨固面與錨固面直線示意Fig.6 Schematic diagram of anchorage and anchoring line

則通過(guò)M點(diǎn)在第1，2，3，4象限的錨固面方程分別為

聯(lián)立（1）（2）（7）共3個(gè)方程可求第1象限的錨固面與直母線的交點(diǎn)為

3 直母線之間的交點(diǎn)求解

首先證明異族的任何二直母線共面但不重合（即必相交），根據(jù)兩簇直母線方程可以用變量表示交點(diǎn)坐標(biāo)x，y和z[8]。

根據(jù)兩族直母線方程可求得x，y坐標(biāo)表達(dá)式

4 直母線和錨固面的法線之間夾角求解

因?yàn)橹蹦妇€具有對(duì)稱(chēng)性，其與錨固面的夾角相同，同理可知其余夾角參數(shù)。

5 計(jì)算實(shí)例

5.1 相關(guān)參數(shù)

這里選用文獻(xiàn)［1］中的相關(guān)參數(shù)如下：

5.2 具體計(jì)算

1）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入（5）式中得0≤k≤4.681 6，取正整數(shù)得Max(k)=4，2(2k+1)=18。

2）在W1寬度中9條直母線公式中的所對(duì)應(yīng)的v的值為

[v]=[-0.159 9-0.119 9-0.080 0-0.040 0-0.040 0 0.080 0 0.119 0.159 9]，另外一族9條直母線的v值與上面的值對(duì)應(yīng)。利用MATLAB［9］計(jì)算9條直母線與錨固面的交點(diǎn)坐標(biāo)值如表1所示。

3）異族直母線之間的交點(diǎn)限于文章篇幅，只例舉x的坐標(biāo)值如表2，y，z坐標(biāo)值同樣可計(jì)算得到。

表1 直母線與錨固面的交點(diǎn)坐標(biāo)Tab.1 The intersection points of straight generatrix and anchorage

表2 異族直母線之間的交點(diǎn)x的坐標(biāo)值Tab.2 x coordinates of the intersection between 2 groups of straight generatrix

6 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)研究，得出如下結(jié)論：

雙曲拋物面薄殼的直母線鋼筋數(shù)除與板寬之半和間距有關(guān)外，還與橫向下?lián)虾涂v向上拱高度有關(guān)；從錨固面的直線方程與相關(guān)布置方案（圖6）可知，左、右邊的兩條錨固面的直線方程關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而且它們與直母線的交點(diǎn)也有類(lèi)似的規(guī)律；直母線之間的交點(diǎn)坐標(biāo)值都與直母線方程中的常數(shù)u，v有關(guān)，而直母線和錨固面的法線之間的夾角是板寬之半、長(zhǎng)度之半、橫向下?lián)虾涂v向上拱高度的函數(shù)。文中所得到的一系列配筋表達(dá)式，對(duì)于設(shè)計(jì)自重輕、耗材少、受力性能好、剛度大的雙曲拋物面薄殼屋蓋具有重要參考價(jià)值，且可以縮短設(shè)計(jì)周期和有效提高設(shè)計(jì)質(zhì)量和效率。

[1]江西省人民政府學(xué)位辦.2012年江西省研究生數(shù)學(xué)建模A題[EB/OL].(2012-05-26)[2013-07-01].http://xwyyjs.jxedu.gov.cn.

[2]劉強(qiáng).健康-綠色-可持續(xù)性-當(dāng)今建筑設(shè)計(jì)的發(fā)展趨勢(shì)[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào),2002,19(4):25-27.

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Production and Design of Hyperbolic Paraboloid Shell Roof

Liu Ping’an,Liao Xiaodong,Cheng Wenyu,Wang Quan
(School of Mechatronical Engineering,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China)

Aiming at the production of hyperbolic paraboloid shell roof,this paper adopts the mathematical model?ing of hyperbolic paraboloid shell roof for theoretical calculation.It obtains the straight generatrix steel number,the position of the straight generatrix steel,anchoring surface equation in space,the intersection between rectilin?ear and straight generatrix and the mathematic expression of the angle between the generatrix and anchorage.Through the Matlab software,calculation results verify the effectiveness of the proposed model,which may provide a theoretical basis for the future production of hyperbolic shell roof.

hyperbolic shell roof;mathematical modeling;prestressed reinforcement;anchor surface

TU33+5

A

1005-0523（2014）02-0079-07

2013-07-01

江西省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（20122BBE500041）

劉平安（1962—），男，教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)、機(jī)構(gòu)學(xué)、機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)。

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