郝景新，劉文金，吳新鳳(.中南林業(yè)科技大學(xué)，長(zhǎng)沙40004；2.湖南省家具家飾工業(yè)設(shè)計(jì)中心，長(zhǎng)沙40004)

軟夾芯夾層梁最大彎曲正應(yīng)力的計(jì)算

郝景新1，2，劉文金1，2，吳新鳳1
(1.中南林業(yè)科技大學(xué)，長(zhǎng)沙410004；2.湖南省家具家飾工業(yè)設(shè)計(jì)中心，長(zhǎng)沙410004)

最大彎曲正應(yīng)力是衡量夾層梁彎曲性能的重要參數(shù)之一，本文推導(dǎo)出了將軟夾芯夾層梁等效成等截面均質(zhì)單層梁計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力的方法，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)的算例研究。結(jié)果表明：修正單層梁理論與層合梁理論計(jì)算的結(jié)果是一致的。當(dāng)破壞載荷與夾層梁橫截面的尺寸一定時(shí)，隨著芯層與總厚度比的增加，修正單層梁理論計(jì)算的最大正應(yīng)力值逐漸增加，而單層梁理論計(jì)算的結(jié)果為一恒定值。最大彎曲正應(yīng)力修正公式的建立為夾層梁的工程應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

夾層梁；彎曲正應(yīng)力；單層梁理論；彎曲特性

1 前言

如今，各種材料組合的復(fù)合層壓板廣泛應(yīng)用于航天、軍事及民用領(lǐng)域，其優(yōu)異的力學(xué)性能得到了眾多行業(yè)的認(rèn)可。蜂窩夾層板是由上下各一層厚度較薄、剛度較大的材料與剛度較小的蜂窩芯層膠合而成的三層結(jié)構(gòu)的復(fù)合層壓板，蜂窩芯可以是紙蜂窩、鋁蜂窩等金屬蜂窩，其中，基于紙蜂窩芯的木質(zhì)夾層板由于其優(yōu)異的比強(qiáng)度、比剛度性能廣泛應(yīng)用于包裝行業(yè)、家具制造等民用領(lǐng)域[1～4]。

當(dāng)夾心結(jié)構(gòu)梁（板）承受彎曲載荷時(shí)，上面板承受壓應(yīng)力，下面板承受拉應(yīng)力，芯子主要承受剪切力，這種結(jié)構(gòu)與工字梁相似，面板相當(dāng)于工字梁的翼緣，芯板相當(dāng)于工字梁的腹板，隨面板之間夾層厚度的增加，整個(gè)剖面的慣性矩呈冪級(jí)數(shù)增大[5，6]。最大彎曲正應(yīng)力是衡量夾層梁（板）彎曲性能的重要參數(shù)之一，許多學(xué)者經(jīng)常用傳統(tǒng)單層梁理論計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力[4，7，8]。由于夾層梁是由不同材料組成，每一層材料的彈性模量有時(shí)差異較大，用單層梁理論計(jì)算的最大正應(yīng)力值往往誤差很大。因此筆者推導(dǎo)了夾層梁等效彈性模量的表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上修正了傳統(tǒng)單層梁理論計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力的公式，最后將不同的計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比分析。

2 理論推導(dǎo)

2.1 單層梁橫截面最大彎曲正應(yīng)力

式（1）中，σb為橫截面最大彎曲正應(yīng)力；Pmax為破壞載荷；L為兩支座間的距離；b為夾層梁的寬度；h為夾層梁的厚度。

2.2 夾層梁的等效彈性模量

為了計(jì)算夾層梁橫截面最大彎曲正應(yīng)力，首先將夾層梁等效成同截面尺寸的均質(zhì)單層梁，推導(dǎo)出夾層梁的等效抗彎剛度和等效彈性模量，然后根據(jù)材料力學(xué)的理論計(jì)算而得。圖1為受力分析示意圖。

圖1 三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)的受力分析示意圖Fig.1 Three-point bending test of sandwich beam

如圖1所示，根據(jù)經(jīng)典層合梁理論[5]，蜂窩夾層梁的抗彎剛度可表示為：

式（2）中，(EI)eq為等效抗彎剛度；E(k)為第k層的彈性模量；Z(k+1)為(k+1)層的Z軸坐標(biāo)；Z(k)為k層的Z軸坐標(biāo)。

由于芯層蜂窩彈性模量很小，中間層可忽略不計(jì)，并且上下表板對(duì)稱(chēng)設(shè)置，則式（2）可簡(jiǎn)化為：

式（3）中，Ef=E(1)=E(3)；Ef為表板彈性模量；hf為表板厚度；hc為芯層厚度。

如果將夾層梁等效成相同截面尺寸的均質(zhì)單層梁，則等效截面慣性矩Ieq可表示為：

將式（4）代入式（3）中，推出：

式（5）中，Eeq指夾層梁等效彈性模量。

整理式（5），推出：

下面來(lái)分析不同的夾心結(jié)構(gòu)對(duì)k值的影響。由圖2可知，隨著芯層與總厚度比的增加，k值逐漸減小。當(dāng)這種比值等于0.3時(shí)，k等于0.97，這說(shuō)明當(dāng)芯層與總厚度的比小于0.3時(shí)，可以將表板的彈性模量近似成夾層梁的等效彈性模量。

圖2 不同的夾層結(jié)構(gòu)對(duì)k值的影響Fig.2 The effect of sandwich construction on value ofk

2.3 夾層梁橫截面最大正應(yīng)力

根據(jù)材料力學(xué)中的公式[9，10]，并將夾層梁的抗彎剛度進(jìn)行置換，可推出：

式中，σf指表板正應(yīng)力；M指橫截面彎矩；Z為Z軸坐標(biāo)值；σc指芯層蜂窩正應(yīng)力；Ec指芯層蜂窩彈性模量。

對(duì)于紙蜂窩而言，忽略其面內(nèi)剛度，即Ec≈0，我們推出σc≈0。橫截面正應(yīng)力分布見(jiàn)圖3，即芯層中正應(yīng)力可忽略不計(jì)，正應(yīng)力從芯層與表板的接觸面開(kāi)始向表板方向線性增加，上表板承受壓應(yīng)力，下表板承受拉應(yīng)力，應(yīng)力最大值出現(xiàn)在上下表板的外表面上。

圖3 夾層梁橫截面正應(yīng)力分布Fig.3 The distribution of normal stress along cross-sectional of sandwich beam

將式（6）代入式（7）中，推出：

進(jìn)行夾層梁三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)時(shí)，加載點(diǎn)處的彎矩可表示為：

式（10）中，P為橫向載荷。

將式（10）與式（4）代入式（9）中，推出：

發(fā)現(xiàn)式（12）與式（1）形式基本相同，二者之間僅相差一個(gè)系數(shù)，而該系數(shù)與夾層結(jié)構(gòu)的關(guān)系見(jiàn)圖2。當(dāng)芯層厚度與總厚度比小于0.3時(shí)，系數(shù)的值界于1.0～1.03，這說(shuō)明兩種方法計(jì)算的最大彎曲正應(yīng)力可近似一樣。但當(dāng)芯層厚度與總厚度的比大于0.3時(shí)，兩種方法計(jì)算的最大彎曲正應(yīng)力具有明顯的差異。

3 算例

設(shè)Pmax=200 N，L=350 mm，b=60 mm，h= 20 mm或40 mm，Ec≈0。

為了驗(yàn)證修正單層梁理論的有效性，本文引用基于層合梁理論計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力的公式作為對(duì)比[10]：

由圖4、圖5可知，模擬三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)時(shí)，修正單層梁理論與層合梁理論計(jì)算的結(jié)果是一致的，這說(shuō)明修正單層梁理論預(yù)測(cè)夾層梁最大彎曲正應(yīng)力是有效的。當(dāng)破壞載荷與夾層梁橫截面的尺寸一定時(shí)，基于單層梁理論計(jì)算的最大正應(yīng)力值是固定的，它與芯層厚度之間并沒(méi)有直接關(guān)系。而隨著夾層梁芯層與總厚度比的增加，修正單層梁理論計(jì)算的最大正應(yīng)力值逐漸增加。當(dāng)夾層梁芯層與總厚度比小于0.3時(shí)，修正單層梁理論與單層梁理論計(jì)算的最大正應(yīng)力差異值小于3%，也就是說(shuō)該種結(jié)構(gòu)的夾層梁可直接等效成同截面的均質(zhì)梁；而當(dāng)芯層與總厚度比為0.9時(shí)，這種差異值增加到3.69倍。

圖4 夾層梁橫截面最大正應(yīng)力（h=20 mm）Fig.4 The maximum normal stress of sandwich beam（h=20 mm）

圖5 夾層梁橫截面最大正應(yīng)力（h=40 mm）Fig.5 The maximum normal stress of sandwich beam（h=40 mm）

4 結(jié)語(yǔ)

本文建立了將軟夾芯夾層梁等效成等截面均質(zhì)單層梁計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力的方法，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行算例研究，結(jié)果表明：模擬三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)時(shí)，修正單層梁理論與層合梁理論計(jì)算的結(jié)果是一致的。當(dāng)破壞載荷與夾層梁橫截面的尺寸一定時(shí)，隨著芯層與總厚度比的增加，修正單層梁理論計(jì)算的最大正應(yīng)力值逐漸增加而單層梁理論計(jì)算的結(jié)果為一恒定值。

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The calculation of maximum bending normal stress for sandwich beam based on revised single beam theory

Hao Jingxin，Liu Wenjin，Wu Xinfeng
(1.Central South University of Forestry and Technology，Changsha 410004，China；2.Hunan I.D.Center of Furniture and Furnishing，Changsha 410004，China)

Maximum bending normal stress is one of the important parameters to measure flexural property of sandwich beam.Therefore，new methodology to calculate the stress is proposed based on the equivalent single beam theory，after that the numerical examples are demonstrated according to three point flexure test.The results showed that revised single beam theory (RSBT)are equivalent to multi-layer theory(MLT).When cross section of beam and maximum loading are fixed，the maximum bending normal stress calculated by RSBT is increased accordingly with increasing ratio of core thickness to the whole，but the result is constant for single beam theory(SBT).RSBT is set up to provide a new method for sandwich construction application in engineering industry.

sandwich beam；bending normal stress；single beam theory；bending property

TS62

A

1009-1742(2014)04-0092-04

2013-12-19

湖南省教育廳優(yōu)秀青年（13B151）；省研究生創(chuàng)新基金（CX2012B315）

郝景新，1982年出生，山東濟(jì)寧市人，工程師，研究方向?yàn)榧揖咴O(shè)計(jì)與工程；E-mail：haojingxin1@163.com