徐萬(wàn)里，劉 準(zhǔn)

(裝甲兵工程學(xué)院信息工程系，北京100072)

利用無(wú)源傳感器測(cè)量并實(shí)現(xiàn)輻射源的定位是軍事和民用領(lǐng)域的一個(gè)常見問(wèn)題，現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭(zhēng)的焦點(diǎn)是信息的獲取和處理，處理的基本問(wèn)題是對(duì)目標(biāo)進(jìn)行定位和識(shí)別。在定位裝備實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，得到的原始數(shù)據(jù)總會(huì)伴有噪聲和誤差，采用哪種定位算法來(lái)處理測(cè)得的數(shù)據(jù)，能更好地減小噪聲和測(cè)量誤差對(duì)目標(biāo)位置估計(jì)值的影響，成為研究此類定位問(wèn)題的重點(diǎn)［1］。

現(xiàn)代定位技術(shù)的主要算法有三角定位法、二次定位法和單站定位法等，而其核心技術(shù)是基于輻射源方位線(Lines Of Bearing，LOB)或到達(dá)時(shí)差(Time Difference Of Arrival，TDOA)?；?LOB的定位算法主要有 Pages-Zamora定位算法［2］、布朗定位算法［2］、概率定位算法［3］、模糊定位算法［4］。本文首先分析了以上4種算法的原理，計(jì)算了運(yùn)算量;然后提出了一種基于LOB的融合-迭代定位算法，并與以上4種算法進(jìn)行了蒙特卡羅仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，比較了5種算法的定位性能。

1 基于LOB的三角定位原理

為了便于比較基于LOB的輻射源定位的諸多算法的性能，同時(shí)不失一般性，可考慮如圖1所示的情況［5-6］。

圖1 中有N 個(gè)測(cè)向觀站點(diǎn) (xi，yi)，i=1，2，…，N，N個(gè)測(cè)向角度φi和1個(gè)輻射源目標(biāo)點(diǎn)(xT，yT)。在沒有噪聲和測(cè)量誤差的理想情況下，通過(guò)多組測(cè)向數(shù)據(jù)所求得的輻射源目標(biāo)坐標(biāo)會(huì)重合為一點(diǎn)。然而在實(shí)際測(cè)量中，測(cè)得的方位線總會(huì)受到噪聲和測(cè)量誤差的影響，其對(duì)位置估計(jì)結(jié)果的影響體現(xiàn)在多條方位線不交于一點(diǎn)。因此，采用三角定位原理的定位算法需要解決的問(wèn)題就是:利用多條方位線及其產(chǎn)生的多個(gè)交點(diǎn)，計(jì)算出目標(biāo)點(diǎn)的最佳估計(jì)值。

圖1 三角定位原理

2 Pages-Zamora定位算法

Pages-Zamora定位算法是基于向量關(guān)系的定位方法，其幾何原理如圖2所示。

圖2 Pages-Zamora定位算法原理

根據(jù)圖2中的向量關(guān)系有

式中:di為觀測(cè)站i與被測(cè)目標(biāo)之間的距離;vi為單位方向向量，可表示為 vi=(cosφi，sinφi)T。

采用如下方法將距離di從式(1)中消去:

由式(2)可得

將式(3)兩式相減得

對(duì)所有的站點(diǎn)信息進(jìn)行上述處理，可得如下矩陣形式的方程組:

或記為如下形式:

式(4)的最小二乘解為

利用N個(gè)觀測(cè)站對(duì)輻射源目標(biāo)進(jìn)行測(cè)向時(shí)，完成1次Pages-Zamora定位算法的運(yùn)算，需進(jìn)行(16N+8)次乘/除法和(11N+4)次加/減法。

3 布朗最小二乘定位算法

布朗定位算法是基于偏離距離的定位方法，其基本思想是使所求得的目標(biāo)位置估計(jì)值到各條方位線距離的平方和最小化［7］。圖3為布朗最小二乘定位算法原理。

圖3 布朗最小二乘定位算法原理

根據(jù)圖3可得總偏離距離的平方和為

令D關(guān)于xT和yT的一階偏導(dǎo)數(shù)為0，即得到使總偏離距離平方和最小化的xT和yT:

圖3中觀測(cè)站i的偏離距離可表示為

表示為矩陣的形式:

目標(biāo)方向向量XT的最小二乘估計(jì)為

利用N個(gè)測(cè)向觀測(cè)站對(duì)定位目標(biāo)進(jìn)行測(cè)向時(shí)，每完成1次布朗定位算法，需進(jìn)行(11N+10)次乘/除法和(6N+4)次加/減法。

4 概率定位算法

觀測(cè)站測(cè)量結(jié)果中的誤差是由多種因素的綜合作用形成的，依據(jù)統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)，可以認(rèn)為該誤差服從正態(tài)分布［3］。設(shè)測(cè)量結(jié)果為W，W0為任意一個(gè)具體的測(cè)量結(jié)果，則可以用概率密度函數(shù)來(lái)描述二者的關(guān)系，即

然后，需要將上述非線性問(wèn)題線性化。設(shè)測(cè)量W對(duì)應(yīng)一個(gè)子集，該子集的坐標(biāo)點(diǎn)與測(cè)量值之間的關(guān)系如下［8-9］:

將式(6)在(x0，y0)處進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，保留一階項(xiàng)，舍棄高階項(xiàng)，可得［9］

于是，式(5)可化為

式中:

F(x，y)是一個(gè)二次多項(xiàng)式，可將其記為如下標(biāo)準(zhǔn)形式［9］:

在這個(gè)問(wèn)題中，求解定位點(diǎn)估計(jì)值的過(guò)程就是求解概率密度最大的過(guò)程［8］。由于所有單個(gè)測(cè)量的概率密度函數(shù)都是指數(shù)函數(shù)，因此他們相乘得到的多個(gè)測(cè)量的總概率密度函數(shù)也是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，其指數(shù)是單個(gè)概率密度函數(shù)的指數(shù)之和［8-9］。那么，它們的和F(x，y)也將是關(guān)于x，y的二次多項(xiàng)式，可以繼續(xù)使用式(7)來(lái)表示。將式(7)分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)，令偏導(dǎo)數(shù)為0，可以得到求解目標(biāo)點(diǎn)估計(jì)值的方程組:

由式(8)可求出目標(biāo)點(diǎn)估計(jì)值的解為

利用N個(gè)測(cè)向觀測(cè)站對(duì)輻射源目標(biāo)進(jìn)行測(cè)向時(shí)，完成1次概率定位算法的運(yùn)算，需進(jìn)行(30N+13)次乘/除法和(17N+6)次加/減法。

5 模糊定位算法

從N個(gè)觀測(cè)站中任取2個(gè)觀測(cè)站點(diǎn)，分別記為(xi，yi)和 (xj，yj)，i，j=1，2，…，N ，由這 2 個(gè)觀測(cè)站測(cè)得的數(shù)據(jù)可求得交點(diǎn)坐標(biāo)(xij，yij):

將測(cè)向信息兩兩組合，可計(jì)算得到C2N個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)較為集中地分布在目標(biāo)點(diǎn)周圍，模糊定位算法利用各交點(diǎn)的相關(guān)程度來(lái)估計(jì)目標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)［10］。與概率定位算法相似，可以認(rèn)為測(cè)量誤差服從正態(tài)分布。

數(shù)定義為

式中:sx、sy分別為C2N個(gè)交點(diǎn)的x、y坐標(biāo)基于樣本均值計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差;r為C2N個(gè)交點(diǎn)的x、y坐標(biāo)基于sx、sy的相關(guān)系數(shù)。

定義各點(diǎn)對(duì)本身的隸屬度wmm=1，交點(diǎn)，)與交點(diǎn)，)的相關(guān)程度越大，則其隸屬度wmn越大。對(duì)于任意一個(gè)交點(diǎn)()，都有個(gè)隸屬度 wmn，m，n=1，2，…，由此可得到一個(gè)×的模糊矩陣:

式中:an為交點(diǎn)(xTn，yTn)對(duì)各交點(diǎn)的隸屬度之和。an越大，其對(duì)各交點(diǎn)的總體相關(guān)程度越高，因此，使an取得最大值的交點(diǎn)的坐標(biāo)可被視為目標(biāo)點(diǎn)的估計(jì)值。

利用N個(gè)觀測(cè)站對(duì)目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)向時(shí)，每完成1次模糊定位算法的運(yùn)算，需進(jìn)行(11N4-22N3+41N2-30N+40)/8次乘/除法和(2N4-4N3+19N2-17N-12)/2次加/減法。當(dāng)N較大時(shí)，可以采用11N4/8次乘/除法來(lái)衡量模糊定位算法的計(jì)算量。

6 融合-迭代算法

依據(jù)數(shù)據(jù)融合的思想，本文提出一種基于交點(diǎn)坐標(biāo)融合的目標(biāo)點(diǎn)估計(jì)方法，稱為融合-迭代定位算法。其基本思想是:依據(jù)LOB得到的一組交點(diǎn)，根據(jù)各交點(diǎn)到估計(jì)值的距離賦予相應(yīng)的權(quán)重值，距離估計(jì)值越近，權(quán)重越大，反之則越小;然后將交點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)融合并迭代運(yùn)算，逐步逼近目標(biāo)值。

設(shè)(x0，y0)為目標(biāo)的初始估計(jì)值，通過(guò)三角定位原理計(jì)算所有觀測(cè)站觀測(cè)輻射源的LOB兩兩相交的交點(diǎn) (xij，yij)，i，j=1，2，…，N ，且 i ＜ j。

計(jì)算每個(gè)交點(diǎn) (xij，yij)與目標(biāo)估計(jì)值(x0，y0)的距離:

根據(jù)dij來(lái)確立每個(gè)(xij，yij)所對(duì)應(yīng)的權(quán)重值:

計(jì)算加權(quán)融合后的估計(jì)值(xf，yf):

其中 i＜ j，經(jīng)迭代逐步逼近 (xT，yT)。

利用N個(gè)測(cè)向觀測(cè)站對(duì)定位目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)向時(shí)，每完成1次融合-迭代定位算法，需進(jìn)行(N4-2N3+29N2-28N)/4次乘/除法和(N4-2N3+29N2-28N-8)/4次加/減法。

7 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中輻射源(xT，yT)位置設(shè)定和觀測(cè)站的布站位置按照?qǐng)D1給定。輻射源位于y軸上，11個(gè)觀測(cè)站等距地分布在x軸上。采用蒙特卡羅［11］仿真實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生100組隨機(jī)測(cè)向角度，用數(shù)據(jù)的均值和圓概率誤差(Circular Error Probability，CEP)對(duì)各種算法的性能進(jìn)行比較。

設(shè)定位估計(jì)的協(xié)方差矩陣為

如果誤差服從正態(tài)分布，那么誤差區(qū)域是一個(gè)橢圓，稱為概率誤差橢圓(Elliptical Error Probability，EEP)，其半長(zhǎng)軸a和半短軸b的計(jì)算公式分別為

式中:C=-2ln(1-Pe)，其中Pe為目標(biāo)位于該誤差橢圓中的置信度［7］。

半長(zhǎng)軸a相對(duì)于x軸的傾角θ為

用R表示CEP，則

采用這種方法求得的圓半徑誤差在10%以內(nèi)［12］。

設(shè)輻射源位置固定不變，坐標(biāo)為(0，100)，在x軸的區(qū)間［-50，50］中，等距離布置上11個(gè)觀測(cè)站，對(duì)目標(biāo)進(jìn)行測(cè)量，假設(shè)觀測(cè)站測(cè)向角度誤差為2°。(σx，σy)為定位結(jié)果(xT，yT)的標(biāo)準(zhǔn)差，誤差為定位結(jié)果相對(duì)于輻射源坐標(biāo)(0，100)的距離。定位數(shù)據(jù)記錄如表1所示。

表1 仿真定位結(jié)果

由表1可知:Pages-Zamora定位算法與布朗定位算法估計(jì)結(jié)果完全一致，同屬最小二乘級(jí)精度，但布朗定位算法的運(yùn)算量更小;概率定位算法的精度較低，這是因?yàn)樗捎镁€性截?cái)?，直接丟棄了非線性項(xiàng)，其計(jì)算量與Pages-Zamora定位算法相近;基于隸屬度函數(shù)的模糊定位算法沒有引入截?cái)嗾`差，其定位誤差小于以上3種算法，但是該算法高度依賴于測(cè)向角度的精度，穩(wěn)定度差導(dǎo)致CEP增大，而且該算法計(jì)算量較大;融合-迭代定位算法的精度最高，這是由于它重用均值附近的測(cè)量點(diǎn)，而最小二乘法強(qiáng)調(diào)的是總體誤差最小，同時(shí)該算法計(jì)算量的增大在可接受范圍之內(nèi)。

8 結(jié)論

本文分析了Pages-Zamora定位算法、布朗定位算法、概率定位算法、模糊定位算法的原理，并計(jì)算出其運(yùn)算量，在此基礎(chǔ)上提出了基于LOB的融合-迭代定位算法，然后對(duì)這5種算法進(jìn)行了蒙特卡羅仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，比較了其定位性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:融合-迭代算法最能反映數(shù)據(jù)自身的分布規(guī)律，是可取的高性能無(wú)源定位算法。

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