樊玉環(huán) ， 馬艷芬，蔣超凡

（黑龍江工程學院數(shù)學系，黑龍江哈爾濱 150001）

關于保持問題的研究，許多學者做了大量的工作，取得了豐富的成果，文獻［1］研究了全矩陣空間上的保冪等的函數(shù)的形式，文獻［2］研究了域上上三角矩陣空間的保持冪等的函數(shù)，但關于保對合的函數(shù)的文章至今還沒有，文獻［3］及文獻［4］從不同矩陣空間上研究了保冪等的加法映射，文獻［5］研究了保逆的線性算子，文獻［6］從交換整環(huán)上研究保持問題，有關這一領域的研究資料可參看文獻［7］-文獻［14］。文獻［15］給出了冪等矩陣與對合矩陣的關系，然而利用文獻［1］及文獻［2］所給出的冪等矩陣，再利用文獻［15］所得到的對合矩陣，卻得不到函數(shù)的形式，本文重新選取特殊的對合矩陣，得到域上全矩陣空間及上三角矩陣空間的保持對合的函數(shù)的形式。

1 符號及基本概念

設F是特征不為2的域，F(xiàn)＊表示F＼｛0｝，M n（F）為F上所有n階矩陣的全體，T n（F）為F上所有n階上三角矩陣的全體，A f=f（aij）。

定義1［15］稱A是對合矩陣，如果A滿足A2=In。

定義2［14］稱函數(shù)f：F→F是域上全矩陣空間的保持對合的函數(shù)，如果f滿足

稱函數(shù)f：F→F是域上上三角矩陣空間的保持對合的函數(shù)，如果f滿足

定義3［15］稱f：F→F是同態(tài)，如果f滿足f（a＋b）=f（a）＋f（b），f（ab）=f（a）f（b）。

2 全矩陣空間上保持對合的函數(shù)

定理1 函數(shù)f是M n（F）（n≥4）上保持對合的充要條件是f=±δ，其中δ是域F上的自同構。

證明 充分性顯然，下面證明必要性。

步驟一：證明f（0）=0，f（1）=±1。

由=I n，得（）2=I n。通過計算得：

由式（2）得f（0）=0或2f（1）=（2-n）f（0）。若將f（0）=0代入式（1）得f2（1）=1。若將2f（1）=（2-n）f（0）代入式（1）得f2（0）=故分為4種情況。

情況一：f（0）=0，f（1）=1；

情況二：f（0）=0，f（1）=-1；

情況三：f（0）=

情況四：f（0）=

以下證明情況三不成立，利用類似的方法可證情況四也不成立。

通過計算得：

由式（5）得f（a）＋f（-a）=，再由（3）-（4）得f2（-a）=f2（a），故f（a）=，?a∈F，與f（1）=-1矛盾。故情況三不成立。

以下步驟二到步驟五證明情況一。即已知f（0）=0，f（1）=1。

步驟二：證明f（-a）=-f（a）。

通過計算得：

步驟三：證明f（xy）=f（x）f（y）。

通過計算得：

在式（7）中令y=1得：

在式（7）中令y=-1得：

將式（9）代入式（10）得 ：

步驟四：證明1＋f（x）=f（1＋x）。

通過計算得：

將式（8）代入式（12）得：

步驟五：證明f=δ，其中δ是域F上的自同構。

令δ=f，由式（11）得：

再由式（11）及式（13）得：

即

由式（14）及式（15）得δ是域F上的自同態(tài)，下面證明δ是單的。

由式（11）得：1=f（1）=f（aa-1）=f（a）f（a-1），?a∈F＊，

故

若δ（a）=δ（b），應用式（6）、式（15）及式（16）得a=b。故δ是域F上的自同構。

同理，類似于情況一的方法，可證情況二時，f=-δ。

3 上三角矩陣空間上保持對合的函數(shù)

定理2 函數(shù)f是T n（F）（n≥4）上的保持對合的充要條件是f=±δ，其中δ是域F上的自同構。

證明 由于f是T n（F）（n≥4）上的保持對合的函數(shù)，故對?A∈T n（F）?A f∈T n（F）?f（0）=0。

通過對定理1的證明可知，I n，C，D∈T n（F），故只需證明f（-t）=-f（t）及-2f（x）=f（-2x），可得f=±δ。

通過計算得：

在式（17）中令a=b=-1得 ：

在式（17）中令a=b=1得 ：

在式（17）中令a=-1得 ：

通過計算得：

假若f（-1）=0成立，將其代入式（19）得：f（2）=0，代入式（22）得：f（-t）=0，與f（1）=1矛盾，故f（-1）≠0。由式（18）得：f（2）≠0，代入式（21）得：f（-1）=-1。代入式（19）知f（2）=2。代入式（22）得：f（-t）=-f（t），再代入式（20）得：2f（b）=f（2b）。令b=-x代入上等式中得：f（-2x）=2f（-x）=-2f（x）。

／References：

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［2］ 樊玉環(huán)，王佩臣.域上上三角矩陣空間的保持冪等的函數(shù)［J］.河北科技大學學報，2013，34（3）：200-203.FAN Yuhuan，WANG Peichen.Function preserving idempotence of all upper triangular matrices over any field［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2013，34（3）：200-203.

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