孫 穎,何子述,劉 娜,李 軍,林 華

(1.電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院,四川成都611731;2.中國(guó)工程物理研究院電子工程研究所,四川綿陽(yáng)621900)

0 引言

MIMO雷達(dá)是近年來(lái)的研究熱點(diǎn)。其中波形設(shè)計(jì)問(wèn)題又是雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基石[1-3]?，F(xiàn)有的MIMO雷達(dá)正交波形設(shè)計(jì)的相關(guān)文獻(xiàn)主要考慮的是自相關(guān)旁瓣,互相關(guān)以及多普勒容忍性。從第1節(jié)的分析可知發(fā)射信號(hào)的和的模糊函數(shù)等于信號(hào)成分經(jīng)匹配濾波和等效發(fā)射波束形成的輸出。因此對(duì)于MIMO雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)而言,我們期望和信號(hào)的模糊函數(shù)具有盡可能低的旁瓣。然而,具有良好的自相關(guān)水平和互相關(guān)水平并不能保證波形在接收端經(jīng)常規(guī)處理之后還能獲得高主副比。這一點(diǎn)可以從后文的仿真中看出。因此在設(shè)計(jì)MIMO雷達(dá)正交信號(hào)時(shí)除了自相關(guān)和互相關(guān),還應(yīng)當(dāng)考慮和信號(hào)模糊函數(shù)的旁瓣性能。值得注意的是,由于MIMO波形嚴(yán)格正交性[4-5]對(duì)于波形設(shè)計(jì)也具有重要意義,因此波形設(shè)計(jì)時(shí)還引入了嚴(yán)格正交性的約束。

另一方面,在一些實(shí)際應(yīng)用中,僅對(duì)發(fā)射信號(hào)在其自相關(guān)主瓣附近若干距離單元內(nèi)(稱為零相關(guān)區(qū))的性能提出要求,而對(duì)遠(yuǎn)區(qū)旁瓣不作約束。研究具有零相關(guān)區(qū)域的正交波形優(yōu)化設(shè)計(jì)[6-8]問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)意義。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于遺傳算法的類零相關(guān)多相碼設(shè)計(jì)方法。該方法使發(fā)射信號(hào)在零相關(guān)區(qū)域具有較低的自相關(guān)旁瓣和低互相關(guān)。

本文提出了一種具有嚴(yán)格正交性的類零相關(guān)多相碼設(shè)計(jì)方法。應(yīng)用該方法設(shè)計(jì)的具有嚴(yán)格正交性的波形在零相關(guān)區(qū)域不但具有低自相關(guān)旁瓣和低互相關(guān),而且在經(jīng)匹配濾波和等效發(fā)射波束形成之后具有高主副比及良好的多普勒容忍性。本文同時(shí)以最小化零相關(guān)區(qū)域的自相關(guān)旁瓣水平、互相關(guān)水平,等效發(fā)射波束形成輸出的距離-多普勒二維平面的主副比作為優(yōu)化準(zhǔn)則,并且約束其嚴(yán)格正交性,采用序列二次規(guī)劃的方法優(yōu)化得到發(fā)射信號(hào)的連續(xù)相位,并對(duì)連續(xù)相位進(jìn)行量化得到離散的正交相位編碼。該方法產(chǎn)生的波形足夠獲得超低的自相關(guān)和互相關(guān),相對(duì)于文獻(xiàn)[8]提高了5.8 dB。并且在接收端等效發(fā)射波束形成之后的主副比相對(duì)于文獻(xiàn)[8]更是提高了13.44 d B。

1 信號(hào)模型

假設(shè)MIMO雷達(dá)收發(fā)陣列為均勻線陣,發(fā)射陣元數(shù)為M,接收陣元數(shù)為N。陣元間距均為半波長(zhǎng)(d=λ/2)。每個(gè)陣元發(fā)射一個(gè)脈沖寬度為Tp的信號(hào),信號(hào)的子碼個(gè)數(shù)為L(zhǎng),則子碼寬度等于Tp/L。第m個(gè)發(fā)射天線發(fā)射的相位編碼波形可以表示為

式中,m=1,2,…,M,

以及φm(l)是第m發(fā)射信號(hào)的第l個(gè)子脈沖的相位,對(duì)于多相碼而言,φm(l)的可能取值為,其中P為相位數(shù),也就是發(fā)射的信號(hào)是正交P相碼。

在遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶假設(shè)下,發(fā)射信號(hào)經(jīng)環(huán)境傳播在目標(biāo)處疊加,由目標(biāo)后向散射再經(jīng)環(huán)境傳播到達(dá)雷達(dá)的接收端。本文分析的發(fā)射波形設(shè)計(jì)問(wèn)題與接收陣列的口徑無(wú)關(guān),因此本文僅考慮一個(gè)接收陣元接收的情況,即N=1。則該接收陣元接收到的回波信號(hào)可以表示為

式中,λ和θt分別表示雷達(dá)工作波長(zhǎng)和目標(biāo)方位,2π(l-1)dsinθt/λ為第l個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元到目標(biāo)的波程差引入的相位差;fd為動(dòng)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的多普勒頻率;n(t)為零均值的加性高斯白噪聲,αt為目標(biāo)回波復(fù)幅度,τ對(duì)應(yīng)目標(biāo)的時(shí)延。這里為了簡(jiǎn)化,不失一般性,令αt=1,τ=0。令各發(fā)射信號(hào)在目標(biāo)方位處的疊加得到的信號(hào)為

則式(3)可簡(jiǎn)化為

將回波信號(hào)分別與各發(fā)射信號(hào)的共軛倒相進(jìn)行匹配,匹配分離出M個(gè)信號(hào)。那么回波信號(hào)與濾波器脈沖響應(yīng)的匹配輸出為

式中,(t)為經(jīng)過(guò)匹配濾波和等效發(fā)射波束形成之后的輸出噪聲。注意到式(7)中的第一項(xiàng)是x s(u)的模糊函數(shù),即

從式(4)可以看出x s(t)是發(fā)射信號(hào)的加權(quán)和。為了簡(jiǎn)化分析,我們關(guān)注θt=0°的情況。目標(biāo)在其他方位上的情況將在后續(xù)研究中考慮。此時(shí)x s(t)即代表發(fā)射信號(hào)的和信號(hào)。式(7)和式(8)說(shuō)明和信號(hào)的模糊函數(shù)即為信號(hào)成分等效波束形成的輸出。因此和信號(hào)模糊函數(shù)具有低旁瓣在MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)中也是很重要的。然而后文的仿真顯示具有良好自相關(guān)和互相關(guān)性能的相位編碼波形集并不能保證它們的和信號(hào)仍然具有高的主副比。因此,在波形設(shè)計(jì)時(shí),我們需要同時(shí)約束和信號(hào)的模糊函數(shù),自相關(guān)和互相關(guān)。

2 波形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

一些實(shí)際應(yīng)用僅對(duì)發(fā)射信號(hào)在其自相關(guān)主瓣附近若干距離單元內(nèi)(稱為零相關(guān)區(qū))的性能提出了要求,而對(duì)遠(yuǎn)區(qū)旁瓣不作約束。為了方便描述,我們首先定義零相關(guān)區(qū)。設(shè)定主瓣附近2K(K＜N-1)個(gè)距離單元為零相關(guān)區(qū)域,即需優(yōu)化的距離單元是[-K,-1]∪[1,K];假定需優(yōu)化的多普勒范圍為(-F D,F D),將該多普勒范圍按雷達(dá)的速度分辨率1/Tp劃分使得該多普勒范圍內(nèi)包含2D-1個(gè)多普勒單元。根據(jù)模糊函數(shù)的對(duì)稱性,我們只需要優(yōu)化距離-多普勒平面的第一象限即可。即僅需要優(yōu)化K×D的零相關(guān)距離-多普勒區(qū)域,該區(qū)域?qū)?yīng)的距離單元范圍為[1,K],多普勒單元范圍為[0,D-1],這些多普勒單元對(duì)應(yīng)的多普勒頻率分別為fd=0.5d/Tp,d=0,2,…,D-1。MIMO雷達(dá)的非周期自相關(guān)函數(shù)和非周期互相關(guān)函數(shù)分別定義如下：

將和信號(hào)的模糊函數(shù)式(8)寫成離散時(shí)間的形式：

式中,k=1,2,…,K;fd=0.5d/Tp,d=0,1,…,D-1。

因此本節(jié)任務(wù)是設(shè)計(jì)能同時(shí)滿足自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)以及和信號(hào)的模糊函數(shù)要求的具有嚴(yán)格正交性的類零相關(guān)多相碼。除了嚴(yán)格正交的約束外,還需最小化如下的三個(gè)指標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)：

(1)零相關(guān)區(qū)內(nèi)發(fā)射信號(hào)的非周期自相關(guān)函數(shù)的峰值旁瓣,即A(φm,k),k=-K,…,K,且k≠0;m=1,2,…,M;

(2)零相關(guān)區(qū)內(nèi)發(fā)射信號(hào)的非周期互相關(guān)函數(shù)峰值,即C(φp,φq,k),k=-K,…,K;p,q=1,2,…,M;

(3)零相關(guān)區(qū)內(nèi)和信號(hào)的模糊函數(shù)的峰值旁瓣,即|χ(k,fd)|2,k=1,2,…,K,fd=0.5d/Tp,d=0,1,…,D-1。

則發(fā)射波形的優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)可以寫為

式中,Φ為L(zhǎng)N×1維的相位向量,Φ的每個(gè)元素的取值范圍為[0,2π);為正交波形的自相關(guān)峰值旁瓣(記為APSL),為正交波形的互相關(guān)峰值(記為CP),為模糊函數(shù)在K×D的零相關(guān)距離-多普勒區(qū)域的峰值;μ1和μ2分別為互相關(guān)、和信號(hào)模糊函數(shù)權(quán)值。引入一個(gè)輔助變量z將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式約束。首先約束零相關(guān)區(qū)域內(nèi)的自相關(guān)、互相關(guān)、K×D的零相關(guān)距離-多普勒區(qū)域內(nèi)和信號(hào)模糊函數(shù)的旁瓣,令它們均小于等于輔助變量z,這樣的整體約束使得自相關(guān)旁瓣和互相關(guān),以及在K×D的零相關(guān)距離-多普勒區(qū)域內(nèi)旁瓣幅度分布更均勻;而后極小化變量z,即極小化均勻分布的自相關(guān)旁瓣、互相關(guān)、指定距離-多普勒區(qū)域模糊函數(shù)旁瓣。通過(guò)這樣的手段使得設(shè)計(jì)的波形具有低自相關(guān)旁瓣、互相關(guān),和信號(hào)的模糊函數(shù)具有高主副比和良好的多普勒容忍性。因此式(12)轉(zhuǎn)換為如下多約束的非線性規(guī)劃的優(yōu)化問(wèn)題：

式中,z為約束的輔助變量,同時(shí)也是目標(biāo)函數(shù)。

利用最優(yōu)化算法中的序列二次規(guī)劃(SQP,sequential quadratic programming)[9]可以求解式(13)中的優(yōu)化問(wèn)題。SQP是針對(duì)非線性優(yōu)化的一種迭代算法。它求解的是一系列的優(yōu)化子問(wèn)題,每個(gè)子問(wèn)題對(duì)有約束的目標(biāo)函數(shù)的二次模型進(jìn)行優(yōu)化。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)和約束均為二次連續(xù)可微時(shí),就可以采用SQP方法進(jìn)行求解。因此初始相位向量Φ0以及優(yōu)化結(jié)果Φopt均為連續(xù)相位。該算法在M ATLAB中也有相應(yīng)的程序包。采用M ATLAB優(yōu)化工具包中的fmincon函數(shù)即可求解式(13)中的優(yōu)化問(wèn)題,此時(shí)fmincon函數(shù)調(diào)用了SQP算法。值得注意的是相位向量Φ的初始化問(wèn)題,即Φ0的每個(gè)元素都應(yīng)服從[0,2π)的均勻分布。

另外,實(shí)際應(yīng)用中,優(yōu)化得到的連續(xù)相位還需進(jìn)行相應(yīng)的量化轉(zhuǎn)化為離散的正交相位編碼波形。根據(jù)發(fā)射機(jī)所能提供的相位編碼相位數(shù)P,按照下式能方便地將優(yōu)化的連續(xù)相位量化為P相的正交相位編碼：

3 仿真結(jié)果

假設(shè)MIMO雷達(dá)的發(fā)射通道數(shù)M=3,每個(gè)通道發(fā)射相位編碼的子碼個(gè)數(shù)L=128,脈沖寬度Tp=25.6μs,雷達(dá)工作波長(zhǎng)λ=0.25 m。 零區(qū)域取與主瓣相鄰的40個(gè)距離單元,即K=20;取多普勒域范圍為[-2/Tp,2/Tp],該多普勒范圍對(duì)應(yīng)的目標(biāo)徑向速度范圍為[-9765 m/s,9765 m/s]。按速度分辨率0.5/Tp采樣,則正多普勒軸[0,2/Tp]包含了D=5個(gè)多普勒單元。令μ1=μ2=1,采用序列二次規(guī)劃算法求解式(13)描述的優(yōu)化問(wèn)題,優(yōu)化得到的連續(xù)相位按式(14)量化為128相碼。表1為本文方法得到的128相碼的相位序列,其中p,p∈(0,1,2,…,127)代表的分別代表的相位。

表1 本文方法得到的128相碼

則按照表1中的相位序列產(chǎn)生的3個(gè)發(fā)射波形自相關(guān)和互相關(guān)歸一化曲線如圖1所示。

圖2為圖1中零相關(guān)區(qū)域的放大圖。圖1和圖2中的實(shí)線代表的是按本文方法設(shè)計(jì)的波形的自相關(guān)和互相關(guān);虛線為文獻(xiàn)[8]中的波形設(shè)計(jì)結(jié)果的自相關(guān)和互相關(guān)。從圖2的互相關(guān)曲線可以看出,實(shí)線在零點(diǎn)處(即k=0),其互相關(guān)幅值為0。即滿足嚴(yán)格正交性。本文方法在零相關(guān)區(qū)域內(nèi)的APSL和CP分別為-24.55 dB和-24.52 dB。而在相同條件下,即相同的序列個(gè)數(shù)和序列長(zhǎng)度,文獻(xiàn)[8]中主瓣附近的旁瓣峰值為0.1154(-18.75 dB)。本文方法對(duì)比文獻(xiàn)[8]改善了近5.8 dB。需要說(shuō)明的一點(diǎn)是,文獻(xiàn)[8]中基于遺傳算法設(shè)計(jì)得到的四相碼正交相位編碼,它隨相位數(shù)P的增大并不會(huì)有多大改變[10]。

下面對(duì)發(fā)射波形經(jīng)匹配濾波和等效發(fā)射波束形成之后的輸出進(jìn)行仿真分析。本文方法產(chǎn)生的波形和信號(hào)的模糊函數(shù)圖以及文獻(xiàn)[8]的波形的和信號(hào)模糊函數(shù)分別如圖3和圖4所示。

對(duì)比圖3和圖4可以看出,本文方法產(chǎn)生的和信號(hào)其在K×D的零相關(guān)距離-多普勒區(qū)域內(nèi)旁瓣峰值為-29.27 d B,文獻(xiàn)[8]在K×D的零相關(guān)距離-多普勒區(qū)域內(nèi)旁瓣峰值為-15.83 dB。相對(duì)于文獻(xiàn)[8],本文方法在距離維上的主副比改善13.44 dB。從文獻(xiàn)[8]的仿真結(jié)果也可以看出,僅僅優(yōu)化發(fā)射信號(hào)的自相關(guān)旁瓣和互相關(guān),并不能保證在接收端經(jīng)匹配濾波和等效發(fā)射波束形成之后能獲得期望的主副比。實(shí)際上在接收端經(jīng)處理后,文獻(xiàn)[8]的旁瓣性能惡化了2.92 dB。因此采用本文方法同時(shí)優(yōu)化自相關(guān)旁瓣、互相關(guān)以及和信號(hào)的模糊函數(shù)是很有必要的。

圖1 本文優(yōu)化方法得到128相碼的自相關(guān)和互相關(guān)

圖2 零相關(guān)區(qū)域的自相關(guān)和互相關(guān)曲線

圖3 本文方法設(shè)計(jì)波形的和信號(hào)的模糊函數(shù)

圖4 文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)波形的和信號(hào)的模糊函數(shù)

4 結(jié)束語(yǔ)

MIMO雷達(dá)相關(guān)文獻(xiàn)大多關(guān)注的是使用正交波形的情況。這些正交波形經(jīng)由目標(biāo)反射被接收天線接收,在接收端經(jīng)過(guò)一組匹配濾波器將它們分離后再進(jìn)行等效發(fā)射波束形成。根據(jù)第1節(jié)的推導(dǎo)可知和信號(hào)的模糊函數(shù)等于信號(hào)成分等效波束形成的輸出。因此,我們期望和信號(hào)的模糊函數(shù)具有高的主副比。然而,具有良好的自相關(guān)水平和互相關(guān)水平并不能保證波形在接收端經(jīng)常規(guī)處理之后還能獲得高主副比。在波形設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)同時(shí)優(yōu)化和信號(hào)的模糊函數(shù),自相關(guān)和互相關(guān)。另一方面,一些實(shí)際應(yīng)用僅對(duì)發(fā)射信號(hào)在其自相關(guān)主瓣附近若干距離單元內(nèi)的性能提出了要求,而對(duì)遠(yuǎn)區(qū)旁瓣不作約束。因此,本文提出了一種基于序列二次規(guī)劃算法的具有嚴(yán)格正交性的類零相關(guān)多相碼設(shè)計(jì)方法,該方法能同時(shí)滿足低自相關(guān)旁瓣,低互相關(guān)以及和信號(hào)模糊函數(shù)具有高主副比的性能以及嚴(yán)格正交約束的要求。值得注意的是,采用序列二次規(guī)劃算法得到的編碼為屬于[0,2π)的連續(xù)相位。為了便于實(shí)際的工程應(yīng)用,我們將連續(xù)相位量化,最終得到正交P相碼波形。實(shí)際應(yīng)用中能提供的相位寄存器位數(shù)越高,即P越大,越能逼近連續(xù)相位對(duì)應(yīng)的正交波形所取得自相關(guān)旁瓣、互相關(guān)、和信號(hào)模糊函數(shù)主副比性能。

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