伍 鳴

(金陵科技學院公共基礎課部,江蘇 南京 211169)

伯努利數是18世紀瑞士數學家雅各布·伯努利引入的一類數,它在理論上和實際中都具有重要意義。1713年,雅各布的巨著《猜度術》出版,是組合數學及概率論史的一件大事,書中給出的伯努利數有很多應用。組合數學中,伯努利數與數列和的計算有著緊密聯(lián)系,一直被數學研究者廣泛研究。不僅如此,伯努利數在數論中地位也很重要,它曾被用于費馬大定理的論證中。

近年來,有關伯努利數與伯努利多項式卷積表達式的相關研究[1-3]越來越受人們關注,其中包含等冪和的伯努利數與伯努利多項式表達成為了一個新的亮點。

1 伯努利數的基本對稱等式

伯努利數Bn由指數生成函數

(1)

與此同時,伯努利多項式Bn(x)也由指數生成函數

(2)

對任意整數k≥0,Sk(n)=0k+1k+…+nk被稱為等冪和多項式,Sk(n)與伯努利數Bn有著如下重要關系[4]:

(3)

(4)

Deeba、Rodriguez[5]和Gessel[6]分別證明了對一切正整數n和a,下述等式成立:

(5)

Tuenter[7]發(fā)現(xiàn)了一個關于伯努利數與等冪和多項式的對稱關系式,同時指出等式(5)恰好是這個對稱關系式的特例。這個對稱關系式如下:

引理1對任意正整數a,b以及n≥0,

(6)

Yang[8]證明了一個高階伯努利多項式與等冪和多項式的對稱關系式如下:

引理2對任意正整數a,b,m以及n≥0,

(7)

2 含冪和多項式的伯努利多項式對稱式

定理1對任意正整數a,b,c,m,以及n≥0,

類似于上述方法,同樣有

以及

通過對比這些展開式中tn/n!的系數,容易得出結果。 證畢。

推論1對任意正整數a,b,c,以及n≥0,

證明在定理1中,讓m=1,z=0,即得。 證畢。

很明顯,等式(6)和(7)恰好是推論1與定理1的特殊情況。

推論2對任意正整數a,b,c,m以及n≥0,

證明在定理1中,讓x=y=z=0,即得。 證畢。

定理2對任意正整數a,b,c,m以及n≥0,有

同樣可得

以及

比較最后幾個方程右端中tn/n!的系數,容易得出結果。 證畢。

3 結 語

本文在Tuenter和Yang工作的基礎上,推廣了一個關于伯努利數與等冪和多項式的對稱關系式,獲得了關于三個高階伯努利多項式與等冪和多項式的對稱等式,它將已有的結果都包含在這一等式中,并且得到了伯努利多項式乘法定理的推廣形式。

[1] Dilcher K. Sums of Products of Bernoulli numbers[J]. Journal of Number Theory,1996,60:23-41

[2] Satoh J. Sums of Products of Two q-Bernoulli Numbers[J]. Journal of Number Theory,1999,74:173-180

[3] Wu M, Pan H. Sums of Products of Bernoulli Numbers of the Second Kind[J].The Fibonacci Quarterly, 2007,45:146-150

[4] Comtet L.Advanced Combinatories[M].Reidel:Dordrecht,1974

[5] Deeba E, Rodriguez D. Stirling’s Series and Bernoulli Numbers[J].The American Mathematical Monthly,1991,98:423-426

[6] Gessel I. Solution to Problem E3237[J].The American Mathematical Monthly,1989,96:364

[7] Tuenter H J H.A Symmetry of Power Sum Polynomials and Bernoulli Numbers[J].The American Mathematical Monthly, 2001,108:258-261

[8] Yang S L. An Identity of Symmetry for the Bernoulli Polynomials[J].Discrete Mathematics,2008,308:550-554