(武漢船舶職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北武漢 430050)

關(guān)于伯努利方程的解法常用的有換元法、常數(shù)變易法、變量代換法、積分因子法等.

本文提出了變量代換法的一種新方法，由于變量代換法本質(zhì)上是常數(shù)變易法的擴(kuò)展應(yīng)用，所以本文先介紹常數(shù)變易法，再給出變量代換法。

方程

叫做伯努利(Bernoulli)方程，其中“P(x)、Q(x)”為x的連續(xù)函數(shù)。它既不是一階齊次，也不是一階非齊次線性微分方程。

1 常數(shù)變易法

伯努利方程

對(duì)應(yīng)的一階齊次線性微分方程

(1)

是伯努利方程的解，則

(2)

將(1)(2)代入到伯努利方程，得

即

是可分類(lèi)變量的微分方程，即

兩邊積分

(3)

將(3)式代入(1)式，則伯努利方程的通解為

設(shè)y=u(x)x4是原方程的解，將其代入原方程有

則

所以原方程的通解為

2 變量代換法

變量代換法本質(zhì)上就是常數(shù)變易法的變形解法

以下用變量代換法解伯努利方程

方法一：設(shè)y=u(x)v(x)是伯努利方程的解，則

y′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)

代入伯努利方程得

u′(x)v(x)+u(x)[v′(x)+P(x)v(x)]=

Q(x)un(x)vn(x)

(4)

令

v′(x)+P(x)v(x)=0

得

(5)

將(5)式代入(4)得

即

故伯努利方程的通解為

例2 求方程y′-3xy=xy2的通解

解：設(shè)y=uv是方程的解，則y′=u′v+uv′代入方程得

u′v+u(v′-3xv)=xu2v2

(6)

令

v′-3xv=0

得

(7)

將(7)式代入(6)得

則

所以原方程的通解為

代入伯努利方程得

u′v-u[v′-P(x)v]=Q(x)unv2-n

(8)

令

v′-P(x)v=0

得

(9)

將(9)式代入(8)得

即

故伯努利方程的通解為

(10)

令

得

(11)

將(11)式代入(10)得

則

u-3=e-x(-1-2x)+c

所以原方程的通解為

y-3=-1-2x+cex

方法三(新方法)：設(shè)y=u(x)ev(x)是伯努利方程的解，則

y′=u′ev+uevv′

代入伯努利方程得

u′+u[v′+P(x)]=Q(x)une(n-1)v

(12)

令

v′+P(x)=0

得

(13)

將(13)式代入(12)得

即

故伯努利方程的通解為

例4 求方程y′-y=xy5的通解

解：設(shè)y=u(x)ev(x)是方程的解，則y′=u′ev+uevv′代入方程得

u′+u(v′-1)=xu5e4v

(14)

令

v′-1=0

得

v=x

(15)

將(15)式代入(14)得

u-5u′=xe4x

則

3 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)伯努利方程解法的探討，對(duì)我們教育教學(xué)提供了新思路，新方法三拓展了解伯努利方程新的思路，為學(xué)生掌握相關(guān)知識(shí)提供了新方法。