席曉燕

(唐山學(xué)院機(jī)電工程系，河北唐山 063000)

0 引言

航空航天、磁懸浮裝置、傳感器裝置以及機(jī)電系統(tǒng)動(dòng)力裝置等工程實(shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到鐵磁彈性載流梁的振動(dòng)問(wèn)題。由于磁場(chǎng)、電場(chǎng)等多場(chǎng)耦合作用，電磁彈性相互耦合作用的非線性力學(xué)行為也備受關(guān)注。文獻(xiàn)[1-2]研究了熱載荷和磁場(chǎng)耦合作用下鐵磁板動(dòng)靜態(tài)穩(wěn)定性問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]建立了磁場(chǎng)環(huán)境下導(dǎo)電薄板的磁彈性方程，并對(duì)方程的主共振進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和分析。文獻(xiàn)[4]建立了橫向磁場(chǎng)和機(jī)械載荷共同作用下的大撓度載流矩形薄板的非線性運(yùn)動(dòng)方程，給出板的單模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程和雙模態(tài)運(yùn)動(dòng)方程，研究載流薄板模態(tài)截?cái)鄦?wèn)題。許多結(jié)構(gòu)元件常因溫度變化而處于熱脹冷縮狀態(tài)，文獻(xiàn)[5]研究了溫度應(yīng)力對(duì)MEMS 器件界面裂紋疲勞擴(kuò)展的影響規(guī)律。因此，討論溫度場(chǎng)與電磁場(chǎng)共同作用下的磁彈性載流梁的振動(dòng)問(wèn)題，研究其動(dòng)力學(xué)特性是必要的，而系統(tǒng)參數(shù)對(duì)載流梁的振動(dòng)問(wèn)題影響直接關(guān)系到載流電磁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)、運(yùn)行、精度及敏感度，文獻(xiàn)[6]通過(guò)對(duì)超薄微梁加速度敏感結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)改善了靈敏度與諧振頻率之間的矛盾。

系統(tǒng)參數(shù)的選取及控制是載流梁結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及保證運(yùn)行精度的關(guān)鍵因素。文中在磁彈性動(dòng)力學(xué)理論的基礎(chǔ)上，應(yīng)用動(dòng)力學(xué)方法建立電磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)聯(lián)合作用下的載流梁的非線性熱磁彈性理論模型，求得了系統(tǒng)受Lorentz力和溫度影響的主共振幅頻響應(yīng)曲線。研究結(jié)果揭示了電磁場(chǎng)強(qiáng)度、溫度變化、電流密度、幾何參數(shù)、不同材料等系統(tǒng)參數(shù)對(duì)載流梁振幅的影響規(guī)律，為載流電磁元器件結(jié)構(gòu)研制過(guò)程中的相應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)選擇、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及運(yùn)行穩(wěn)定性提供參考。

1 電磁場(chǎng)及溫度應(yīng)力共同作用的理論模型

考慮一長(zhǎng)度為l，截面為矩形(寬為b，高為h)的等截面兩端固定鉸約束梁，見圖1。梁在磁場(chǎng)Bz的作用下通以電流，電流密度為Il，根據(jù)梁的彎曲振動(dòng)理論和磁彈性基本理論得到了載流梁的振動(dòng)方程[7]：

(1)

式中：Fmag為L(zhǎng)orentz力；FcosΩt為均布簡(jiǎn)諧激勵(lì)；x為橫坐標(biāo)；y為橫向振動(dòng)位移；ρ為密度；EI為抗彎剛度；I為截面慣性矩；S為橫截面積；c為阻尼系數(shù)；t為時(shí)間；N為軸力。

(2)

式中：NT為熱載荷;ES為拉伸剛度。

圖1 處于磁場(chǎng)中的載流梁

1．1溫度應(yīng)力

求得溫度應(yīng)力為

(3)

式中：τ0為初始溫度；τ為溫度改變量；αs為熱膨脹系數(shù)。

其中取溫度應(yīng)力分布為拋物線型

2.4.2 藥劑防治該病除選用上述技術(shù)原則外，在發(fā)病初期常用藥劑有：50%多菌靈可濕性粉劑用種子量0.3%拌種或500～800倍液噴霧，或用70%甲基硫菌靈可濕性粉劑500倍液～800倍液。

(4)

將式(3)代入式(2)得到軸力為

(5)

1．2Lorentz力

假設(shè)材料為非極化、非磁化的良導(dǎo)體，忽略位移電流的影響，則作用在質(zhì)點(diǎn)上的Lorentz為：

fmag=[I1+Ilx]×Bz

(6)

式中：Ilx表示彈性載流梁內(nèi)感應(yīng)電流強(qiáng)度沿X軸方向的分量，

(7)

式中：σ0為電導(dǎo)率；ex為感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度。

式(7)代入式(6)，并在方程兩邊對(duì)y積分就得到Lorentz力的載荷集度為：

(8)

將式(5)、式(8)代入式(1)，假設(shè)載流梁內(nèi)通交流電流密度Il=ilcosωt，不考慮感應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度、外部簡(jiǎn)諧激勵(lì)，得到載流梁的橫向振動(dòng)微分方程

(9)

在工程實(shí)際中，一般對(duì)結(jié)構(gòu)的基頻最感興趣，根據(jù)兩端固定鉸的約束條件，設(shè)式(9)的解為

(10)

(11)

式中

(12)

式(11)為溫度場(chǎng)中載流梁的熱磁彈性振動(dòng)方程。當(dāng)激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)固有頻率ω≈ω0時(shí)，在式(11)所描述的系統(tǒng)中將會(huì)激發(fā)主共振現(xiàn)象，并表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，通過(guò)多尺度法得到系統(tǒng)主共振穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)定常解幅頻響應(yīng)曲線方程[8]

(13)

2 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)載流梁的影響規(guī)律

應(yīng)用Matlab軟件對(duì)式(13)計(jì)算，可以得到載流梁主共振的響應(yīng)曲線，分析不同系統(tǒng)參數(shù)對(duì)響應(yīng)曲線的影響。

如無(wú)特殊申明，鋁制材料特征參數(shù)為：梁長(zhǎng)l=0.5 m，橫截面積S=0.000 2 m2，寬b=0.1 m，高h(yuǎn)=0.002 m，材料的彈性模量E=70×109N/m2，密度為ρ=2 700 kg/m3，阻尼系數(shù)c=0.06 N·s/m，電流密度幅值i0=1.5×103A/m2．

溫度場(chǎng)特征參數(shù)為：τ0=20 ℃，τ=0 ℃，αs=12.5×10-6/℃．

電磁場(chǎng)的特征參數(shù)：Bz=0.001 T，電導(dǎo)率σ0=3.63×107(Ω·m)-1.

圖2～圖4是系統(tǒng)在取不同參數(shù)時(shí)得到的幅頻響應(yīng)曲線，圖2為隨磁場(chǎng)強(qiáng)度變化的曲線。

圖2 電磁場(chǎng)強(qiáng)度與振幅關(guān)系圖

圖3 電流與振幅關(guān)系圖

圖4 溫度與振幅關(guān)系圖

當(dāng)其他參數(shù)一定時(shí)，磁場(chǎng)強(qiáng)度增大即由0．001 T增大為0．001 2 T時(shí)，振幅急劇下降，由原來(lái)的0.6×10-4m降為0.2×10-4m，而且“跳躍”現(xiàn)象也不明顯，說(shuō)明系統(tǒng)振幅對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化非常敏感。圖3為隨電流密度變化的曲線，當(dāng)電流密度由2×103A/m2降為1×103A/m2時(shí)，系統(tǒng)振幅減小，而相對(duì)振幅數(shù)量級(jí)說(shuō)明電流密度對(duì)系統(tǒng)的振幅有影響不敏感。圖4為隨溫度變化的曲線，當(dāng)溫度變化從-10 ℃增加為10 ℃時(shí)，系統(tǒng)振幅增大且共振區(qū)域增大，跳躍現(xiàn)象明顯。圖5為調(diào)諧值為定值時(shí)即σ=0.1時(shí)，隨載流梁長(zhǎng)度變化的響應(yīng)曲線，由圖5可以看出，當(dāng)長(zhǎng)度在0．433 7～0．736 4 m時(shí)，振幅出現(xiàn)多值也就是會(huì)引起梁的振動(dòng)。圖6為隨阻尼變化的曲線，當(dāng)系統(tǒng)阻尼減小，振幅也降低。圖7為隨橫截面積變化的曲線，當(dāng)載流梁橫截面積增大，振幅隨之增大。

圖5 梁長(zhǎng)度與振幅關(guān)系圖

圖6 阻尼與振幅關(guān)系圖

圖7 橫截面積與振幅關(guān)系圖

圖7和圖8為載流梁橫截面尺寸變化對(duì)振幅影響的響應(yīng)曲線。圖7為隨橫截面面積變化的曲線，當(dāng)橫截面積由2×10-4m2減小為1×10-4m2時(shí)，載流梁的振幅也隨之減小。圖8為橫截面積不變時(shí)，隨橫截面高度變化的曲線，當(dāng)高度增大時(shí)，載流梁的振幅降低。

圖8 梁橫截面高度與振幅關(guān)系圖

因此，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)一定時(shí)，系統(tǒng)振幅對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度變化非常敏感，對(duì)電流密度變化有影響但不明顯，溫度變化影響振幅的大小及振幅的區(qū)域。當(dāng)系統(tǒng)的調(diào)諧值為定值時(shí)，載流梁長(zhǎng)度在一定范圍變化，系統(tǒng)振幅會(huì)出現(xiàn)多值，即出現(xiàn)共振。載流梁橫截面尺寸變化會(huì)影響梁的振幅，面積減小，振幅降低；橫截面積不變，高度增大，振幅降低。在一些傳感器等電子元器件中，正是利用引起的振動(dòng)來(lái)傳遞信號(hào)，因此在設(shè)計(jì)元器件時(shí)，應(yīng)將這些參數(shù)控制在一定范圍內(nèi)，以保證其正常工作。

圖9為不同材料時(shí)的振幅曲線，將之前鋁制材料改為鋼質(zhì)材料，其密度和彈性模量分別變?yōu)棣?7 800 kg/m3，E=200×109N/m2，此時(shí)，載流梁的振幅最大值沒有發(fā)生變化，振幅曲線變窄即鋼制載流梁的共振區(qū)間明顯減小，說(shuō)明在滿足一定參數(shù)條件下，改變材料可以改變共振區(qū)間。

圖9 不同材料與振幅關(guān)系圖

3 結(jié)束語(yǔ)

以處于溫度場(chǎng)和電磁場(chǎng)環(huán)境中的載流梁為研究對(duì)象，對(duì)其熱磁彈性主共振問(wèn)題進(jìn)行了理論創(chuàng)新研究，分析了共振幅值隨系統(tǒng)參數(shù)變化的變化規(guī)律。說(shuō)明了溫度變化、磁場(chǎng)環(huán)境、結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)、材料等因素的合理控制，能夠達(dá)到抑制或激發(fā)載流梁共振的目的，所得結(jié)論為載流電磁元器件研制中的安全性、可靠性設(shè)計(jì)及敏感度設(shè)計(jì)提供參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]WU G Y．The analysis of dynamic instability on the large amplitude vibrations of a beam with transverse magnetic fields and thermal loads．Journal of Sound and Vibration．2007．302(1-2)：167-177．

[2]WANG X Z，LEE J S，ZHENG X J．Magento-thermo-elastic instability of ferromagnetic plates in thermal and magnetic fields．International Journal of Solids and Structures，2003，40(22)：6125-6142．

[3]HU Yuda，LI Jing．Nonlinear magneto-elastic vibration equations and resonance analysis of current-conducting thin plate．International Journal of Structural Stability and Dynamics，2008，8(4)：597-613．

[4]王平，白象中．橫向磁場(chǎng)中載流薄板模態(tài)截?cái)鄦?wèn)題研究．機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2011，47(7)：73-81．

[5]劉加凱，齊杏林，王波．溫度應(yīng)力對(duì)MEMS 器件分層失效的影響規(guī)律．電子元件與材料，2013，32(3)：84-88．

[6]揣榮巖，白羽，吳美樂(lè)，等．多晶硅納米膜壓阻超薄微梁加速度敏感結(jié)構(gòu)．儀表技術(shù)與傳感器，2013(1)：1-3．

[7]王平，李曉靚，白象忠，等．導(dǎo)電梁在磁場(chǎng)中的磁彈性隨機(jī)振動(dòng)．振動(dòng)與沖擊，2007，26(3)：75-78．

[8]楊志安，席曉燕．受簡(jiǎn)諧激勵(lì)載流導(dǎo)線的主共振．工程力學(xué)，2008，25(4) ：55-58．

作者簡(jiǎn)介：席曉燕(1979—)，副教授，碩士，主要從事機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)研究方向。E-mail：xixiaoyan@163．com