謝 勇

（大理學院工程學院，云南大理 671003）

量子力學研究的主要對象是波函數(shù)，而波函數(shù)的統(tǒng)計特性使得量子力學不能像經(jīng)典物理學那樣，體系的測量不會改變它的狀態(tài)，它只有一種變化并按運動方程演進，運動方程對決定體系狀態(tài)的力學量做出確定的預言〔1〕。量子力學的數(shù)學應(yīng)用、符號運算和矩陣運算都十分抽象，所以量子力學的教學一直是我們不斷總結(jié)和探討的問題。為了能有效提高量子力學的教學效率，有的學校采用了一些現(xiàn)代化的輔助教學措施〔2-3〕，部分學校做了一些教學模式、教學方法改革的嘗試〔4-6〕，均取得一定的效果。我們也采用過一些輔助措施來改進量子力學的教學〔7-8〕，但學生除了參與有限的課堂教學互動以外，就只能被動地去學習，不利于調(diào)動學生學習的積極性。近兩年，我們利用Mathematica和Matlab兩個平臺，為我校物理本科專業(yè)的學生開設(shè)了量子力學的虛擬實驗課，取得了一定的收效。本文將從量子力學的虛擬實驗平臺和量子力學虛擬實驗設(shè)計方面介紹我們的教改思路和教改實踐，以期能對同行的教學提供一個參考。

1 量子力學的虛擬實驗平臺

能夠?qū)崿F(xiàn)虛擬實驗的平臺比較多，如遠程網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，局域網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和單機系統(tǒng)等等。由于我們的虛擬實驗是在單機上完成的，所以我們重點對單機虛擬實驗的設(shè)計平臺進行了比較研究。針對我校物理專業(yè)本科學生的實際，我們選擇了Matlab 和Mathematica兩個平臺。

1.1 Matlab 平臺經(jīng)過不斷的系統(tǒng)更新，Matlab 已經(jīng)從最初的實現(xiàn)程序庫接口功能發(fā)展成為現(xiàn)在的將高性能的數(shù)值計算和可視化集成在一起的大型數(shù)學計算軟件，已被廣泛地應(yīng)用于科學計算、控制系統(tǒng)、信息處理等領(lǐng)域的分析、仿真和設(shè)計工作〔9〕。Matlab的語法簡單，編寫容易，而且我校物理本科專業(yè)的學生在二年級就選修過Matlab，對軟件有一定的了解，所以我們選擇了部分量子力學的虛擬實驗在Matlab上完成。

1.2 Mathematica 平臺Mathematica 是一款科學計算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號計算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)，以及與其他應(yīng)用程序的高級連接。很多功能在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于世界領(lǐng)先地位，它也是迄今為止使用最廣泛的數(shù)學軟件之一。

Mathematica擁有大量的內(nèi)置函數(shù)，編程也很簡單，學生學習起來沒有太大困難。在Wolfram Research 公司的網(wǎng)站上有專門的Wolfram Demonstrations Project 和 Wolfram Library Archive 欄目，其中有大量的量子力學（Quantum Mechanics）模擬實驗或數(shù)學計算，以及相關(guān)的論文資料等，是很好的可利用資源。在教學中我們使用的是Mathematica 8.0的版本。

2 量子力學虛擬實驗教學

我們的學生沒有學過Mathematica，所以實驗之前，教師先對程序中用到的主要函數(shù)、語句和語法規(guī)則進行講解，然后讓學生自己將教師預編好的程序錄入計算機，并進行調(diào)試和運行。在程序能正確運行的情況下，按照實驗要求修改部分參數(shù)，完成實驗并記錄試驗結(jié)果。而對于Matlab 平臺的實驗，學生有一定的基礎(chǔ)，我們會要求學生設(shè)計實驗中的部分程序小段，然后調(diào)試和運行，修改實驗參數(shù)，完成實驗并記錄實驗結(jié)果。我校物理本科專業(yè)的《量子力學》開設(shè)64學時，其中我們安排了4個實驗，每個實驗2學時。下面我們挑選出2個實驗進行介紹和討論。

2.1 氫原子的電子云圖（Matlab）根據(jù)量子力學的不確定性原理，電子在空間所處的位置和動量是不能同時被準確測定的，所以，在量子力學中，電子并無嚴格的軌道概念，而只能研究其位置的分布概率。因此，我們只能利用某個點附近電子分布的概率密度來描述電子的運動，并把這種概率分布形象地稱為電子云。本實驗的主旨就是用Matlab 來模擬不同電子數(shù)、不同電子能態(tài)的電子云圖和氫原子核外電子的徑向概率分布。

實驗原理：氫原子最低的3 條能級的徑向波函數(shù)為〔10〕:

式中r為電子到原子核之間的距離，a為波爾半徑。以上波函數(shù)都應(yīng)滿足歸一化條件，而且概率密度是無量綱的，所以上面3 個波函數(shù)對應(yīng)的概率密度可表示為〔11〕：

實驗目的：①分別觀察電子數(shù)為20 000和2 000情況下1s，2s，3s能態(tài)對應(yīng)的電子云圖和徑向概率密度分布；②選擇更少的電子數(shù)，觀察3個能態(tài)電子云圖的變化，直觀感受波函數(shù)的統(tǒng)計特性。

實驗步驟：①在Matlab 的編輯器中錄入編制好的模擬實驗程序，并在程序預留的“自行設(shè)計”區(qū)域，設(shè)計計算1s，2s，3s的徑向概率密度的程序，并繪制概率分布曲線；②調(diào)試程序；③運行程序，并復制在電子數(shù)為20 000 和2 000 情況下3 個能態(tài)的電子云圖和徑向概率密度分布圖；④自由選擇電子數(shù)（少于2 000），觀察實驗結(jié)果；⑤完成實驗報告。

實驗結(jié)果：實驗結(jié)果如圖1～3 所示。由圖1 和圖3 可明顯看出電子云圖的差異，這充分顯示了波函數(shù)的統(tǒng)計特性，對電子云圖也有了更好的理解。

在實驗的最后，我們要求同學選擇更少的電子數(shù)（2 000 以下）來查看電子云圖的分布，加深學生對波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的理解。

圖1 電子數(shù)為20 000時的電子云圖

圖2 1s，2s，3s態(tài)的電子徑向概率分布

圖3 電子數(shù)為2 000時的電子云圖

2.2 估測一維諧振子的能量本征值（Mathematica）粒子處在勢場中的能量本征方程是量子力學的基本方程之一。求解能量本征方程的目的就是要找出能量本征值和能量本征函數(shù)。通常，一維諧振子的能量本征值是通過解Hermite 方程或者使用升降算符的代數(shù)解法得到的〔12-14〕。解Hermite 方程的過程很復雜，學生接受起來很吃力。代數(shù)解法雖然相對容易些，但我們教學中使用的是曾謹言編著的《量子力學教程》第二版，代數(shù)解法安排在第九章，而一維諧振子是第二章的內(nèi)容〔15〕。為了幫助學生更好地理解能量本征方程的意義，我們在Mathematica 平臺上為學生設(shè)計了一個用打靶法（shooting method）〔16〕解一維諧振子能量本征值的虛擬實驗。

實驗原理：一維諧振子的能量本征方程為

式中μ為經(jīng)典諧振子的質(zhì)量，w0是其自然頻率。為了便于求數(shù)值解，我們將方程（1）標度化，可得

式中ε為標度方程（2）的本征值。

束縛態(tài)的波函數(shù)是有界的，所以解方程（2）的邊界條件是ψ(±∞)→0 。按照shooting method 的思路，我們可以在ε=1，3等點的左右附近求出ψ～z的分布圖，根據(jù)圖形的變化情況以及曲線的交叉點數(shù)來確定ε=1，3是否是標度方程（2）的本征值。

實驗目的：①熟悉利用NDSolve 函數(shù)求解標度方程的數(shù)值積分；②進一步熟悉Mathematica 的使用；③熟悉shooting method的解題方法。

實驗步驟：①將教師編制好的程序錄入計算機，并調(diào)試至正常運行；②估算基態(tài)的本征值：首先猜解ε=0.99，繪出ψ～z曲線，然后再猜解ε=1.01，繪出ψ～z曲線，觀察曲線是否出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)。最后驗證ε=1 是否就是標度方程的本征值；③求ε=3 的數(shù)值解并繪出ψ～z曲線，觀察曲線是否有而且僅有一個交叉點（node）；④將ε=1、3的波函數(shù)歸一化。

實驗結(jié)果：如預期的一樣，在ε=0.99和ε=1.01兩個點的ψ～z曲線出現(xiàn)了翻轉(zhuǎn)；ε=3 時，ψ～z曲線上有且僅有一個交叉點。結(jié)果如圖4～9所示。

圖4 ε=0.99

圖5 ε=1.01

圖6 ε=1.0

圖7 ε=3.0

圖8 ε=1.0歸一化波函數(shù)

圖9 ε=3.0歸一化波函數(shù)

3 總結(jié)

在本校物理本科專業(yè)的量子力學教學中，我們進行了虛擬實驗的教學嘗試，共設(shè)計了電子雙縫衍射、估測一維諧振子的能量本征值、隧道效應(yīng)，以及氫原子的電子云圖等4個實驗。為了鍛煉學生的動手能力，我們并沒有使用Matlab 的GUI 模塊對實驗進行封裝，而是采用完全開放的實驗方式。教學中我們發(fā)現(xiàn)，學生對虛擬實驗的熱情很高。為了做好實驗，不少學生還在網(wǎng)絡(luò)上查閱相關(guān)的文獻資料，在實驗中也能提出一些平時不關(guān)心的專業(yè)問題。在期末考試我們發(fā)現(xiàn)，與虛擬實驗相關(guān)的內(nèi)容，學生的正答率很高。

量子力學是一門與經(jīng)典物理學大相徑庭、抽象、數(shù)學依賴性很強的課程，其教學一直是個難點。虛擬實驗教學的引入，可以幫助調(diào)整學生學習的心理和學習態(tài)度，開闊學生的視野，對量子力學的教學起到了較好的促進作用。

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