張 新 趙書銀 胡金江

（河北建筑工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院，河北 張家口075000）

0 引 言

多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度是概率論課程中計(jì)算較繁瑣的部分.兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量之和的概率密度，可以用卷積運(yùn)算得到，而求解多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和的概率密度需要進(jìn)行若干次卷積運(yùn)算.本文利用傅立葉變換提供了一種算法，不僅可以計(jì)算多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和的概率密度，而且還能計(jì)算多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的任意線性組合的概率密度.

1 主要結(jié)果

定理 設(shè)X1，X2，…，Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為f1（x），f2（x），…，fn（x），隨機(jī)變量，其中a1a2…an≠0，則Y的概率密度

2 定理的證明

為了證明這個(gè)結(jié)論，先證明三個(gè)引理.

引理1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x），則Y＝aX的概率密度為

證明 設(shè)a＜0，則Y的分布函數(shù)

從而

引理2 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x），則Y＝X＋b的概率密度為

證明Y的分布函數(shù)

所以

引理3 設(shè)X1，X2，…Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為f1（x），f2（x），…，fn（x），隨機(jī)變量，則Y的概率密度

證明 當(dāng)n＝2時(shí)，

其中＊表示兩個(gè)函數(shù)的卷積運(yùn)算.由傅立葉變換的卷積性質(zhì)，有

若結(jié)論對(duì)于n＝k時(shí)成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，設(shè)，則Y＝Z＋Xn，由n＝2時(shí)的結(jié)果和n＝k時(shí)的結(jié)果，有

由歸納法假設(shè)即得（4）成立.

下面給出（1）式的證明.

設(shè)Yi＝aiXi，fYi（y）表示Yi的概率密度，fi（y）表示Xi的概率密度（i＝1，2，…，n），gn（y）表示Yn＋b的概率密度，則，于是.所以由引理3得

兩邊取傅里葉逆變換即得（1）式.

3 在中心極限定理的計(jì)算中的應(yīng)用

以獨(dú)立同分布的中心極限定理為例，設(shè)Xi具有相同的概率密度，則a1＝a2＝…＝，從而

以Xi～E（1）為例，設(shè)它們相互獨(dú)立，i＝1，2，…，n.則有

這里u（y）表示單位階躍函數(shù).

下圖顯示了當(dāng)n＝5，30，100時(shí)，相互獨(dú)立的參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的概率密度圖像和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度圖像（虛線表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖像）：

從圖像上看，相互獨(dú)立的指數(shù)分布之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的速度比較慢，當(dāng)n＝100時(shí)二者圖像仍然有明顯的差距.

下圖顯示了當(dāng)n＝3，5，14時(shí)，相互獨(dú)立的U（0，1）分布的隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量的概率密度圖像和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度圖像（虛線表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖像）：

從圖像上看，相互獨(dú)立的均勻分布之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的速度比指數(shù)分布的情形要快，當(dāng)n＝14時(shí)二者圖像的差別就不明顯了.

4 結(jié) 語

多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度的計(jì)算量非常大.使用卷積計(jì)算時(shí)，即使使用計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)，所用時(shí)間也不可忽視.筆者使用maple軟件計(jì)算100個(gè)相互獨(dú)立的指數(shù)分布隨機(jī)變量的平均值，采用卷積和傅立葉變換法來計(jì)算，分別用時(shí)21.922秒和1.188秒，前者用時(shí)是后者的18.45倍，可見，傅立葉變換在隨機(jī)變量函數(shù)的計(jì)算中是有優(yōu)勢(shì)的.但是因?yàn)楦盗⑷~變換只能處理線性問題，也就是線性組合的情況，對(duì)于非線性的情形就無能為力了，當(dāng)然卷積也處理不了非線性問題.

［1］張?jiān)?積分變換（第四版）［M］.高等教育出版社，2003

［2］孫宏凱，李香玲，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.中國電力出版社，2009

［3］李賢平.概率論基礎(chǔ)（第三版）［M］.高等教育出版社，2010

［4］張韻華.符號(hào)計(jì)算系統(tǒng)Maple教程［M］.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2007