馮 李

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

因果圖是從信度網(wǎng)改進(jìn)過來的，1994年張勤教授提出的動態(tài)因果圖[1](簡稱因果圖)。它是一種基于概率論的圖形分析的不確定性知識表達(dá)和推理。但是因果圖理論的工作主要是對精確的概率值進(jìn)行計(jì)算的，在實(shí)際情況中，由于很多原因使得精確的概率值很難獲得，并且大量的模糊事件存在，不確定性才是事件的本質(zhì)。將模糊集合理論引入其中，構(gòu)成一種更能反映事件本質(zhì)、更具靈活性和適應(yīng)性的模糊因果圖診斷方法。研究表明模糊因果圖可以克服因果圖分析中概率難以精確賦值的缺點(diǎn)，將因果圖理論應(yīng)用擴(kuò)大到模糊領(lǐng)域。

1 因果圖推理

因果圖推理過程分為4個(gè)步驟：

(1) 求中間事件的一階割集(簡稱T)表達(dá)式。這里割集就是一組事件(包括基本事件、連接事件、中間事件、邏輯門事件)以邏輯與的關(guān)系組合構(gòu)成的，每個(gè)割集之間的關(guān)系為邏輯或。而一階割集是只有某事件的相鄰的事件和連接事件組成。

(2) 求中間事件的最終割集(簡稱CSS-f)表達(dá)式。最終割集是沒有中間事件的割集。

(3) 求中間事件的不交化割集(簡稱DCSS-f)表達(dá)式。

(4) 計(jì)算某中間事件的概率P{Xi}或在給定證據(jù)E條件下，計(jì)算感興趣事件的后驗(yàn)概率P{V|E}。

2 模糊因果圖的分析

2.1 模糊因果圖及其結(jié)構(gòu)函數(shù)

因果圖是一種利用圖形直觀表示事物因果關(guān)系的知識表示方式。在因果圖中，對故障源不再追究原因的事件成為基本事件，其余事件稱為中間事件。事件(基本事件或中間事件)記為Vi( i=1,2,…,n)，然后通過邏輯門(與門和或門)連接成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖[2]。一般的因果圖中事件Vi只考慮失效和正常兩種狀態(tài)，把事件狀態(tài)定義為

系統(tǒng)事件的狀態(tài)用Φ來表示，則Φ必然是事件狀態(tài)wi(i=1,2,…，n)的函數(shù)：Φ=Φ(w1,w2,…，wn)。同時(shí)

(1)

式(1)中：W=(w1,w2,…，wn)；則Φ(W)稱為因果圖的結(jié)構(gòu)函數(shù)。若事件V1,V2,…，Vn以“與”關(guān)系相聯(lián)，其結(jié)構(gòu)函數(shù)為

若事件V1,V2,…，Vn以：“或”關(guān)系相聯(lián)，其結(jié)構(gòu)函數(shù)為

生活中失效既有像電路斷線、結(jié)構(gòu)件斷裂那樣的突發(fā)失效，又有像零件磨損、部件老化那樣逐漸發(fā)生的退化失效。對于后者，失效的判定往往是不明確的。對于系統(tǒng)內(nèi)部存在老化現(xiàn)象，而分析失效時(shí)卻只考慮系統(tǒng)狀態(tài)的突變現(xiàn)象，這顯然是不全面的。所以引入模糊集合理論。即將所有因果樹中的事件模糊化，并給每個(gè)模糊事件定義隸屬函數(shù)μi:W→[0,1]，表示第i個(gè)模糊事件發(fā)生的程度。部件“完全失效” 時(shí)的隸屬度為1, 部件“完好”( 即不發(fā)生故障) 時(shí)的隸屬度為0, 在兩者之間有一個(gè)連續(xù)變化的中介過渡過程。

于是模糊因果圖的結(jié)構(gòu)函數(shù)可定義為

Ψ(W)=Ψ(μ1,μ2,…，μn)

(2)

式(2)中，μ1,μ2,…，μn分別表示各個(gè)部件發(fā)生失效或故障的程度, 其中結(jié)構(gòu)函數(shù)相應(yīng)的運(yùn)算也作相應(yīng)的改變。

若事件V1,V2,…，Vn以“與”關(guān)系相聯(lián)，用合取“∧”代替“×”其結(jié)構(gòu)函數(shù)為

若事件V1,V2,…，Vn以：“或”關(guān)系相聯(lián)，用析取“∨”代替“+”其結(jié)構(gòu)函數(shù)為

可見Ψ(W)的取值也由原來的0、1變?yōu)椋?≤Ψ(W)≤1。

為事件發(fā)生的程度，也是系統(tǒng)的失效程度。另外，還可以憑借專家領(lǐng)域的知識及經(jīng)驗(yàn)，給事件定義一個(gè)閾值α,通過與α的比較, 做出相應(yīng)的決策。

2.2 基于最小割集的分析法

因果圖進(jìn)行故障分析的目的是要找出使某事件發(fā)生的各種可能的事件的組合，這對查明故障的原因，及時(shí)排除故障都有非常重要的意義。

最小割集表示導(dǎo)致頂事件發(fā)生的最起碼的基本事件的集合[3]。設(shè)因果圖中某一事件Vi由{V1,V2,…，Vn}引起故障，若有一子集Vi1,Vi2,…，Vil?{V1,V2,…，Vn}，i=1,2,…，k,k,l≤n。是導(dǎo)致Vi發(fā)生的最小割集。這里割集數(shù)量為k。一般的最小割集的求法[4]如下：

最小割集結(jié)構(gòu)函數(shù)表示為

F=C1+C1+…+Ck

Ci為最小割集，i=1,2,…,k，它為l個(gè)部件的組合，即Ci=Vi1,Vi2,…,Vil。

例如任意F=(V1+V2+V3)(V1+V4)(V3+V5)，利用布爾代數(shù)運(yùn)算的相關(guān)知識，如分配率和吸收率等就可以化簡得到F=V1V3+V1V5+V3V4+V2V4V5，則可以看出F是由4個(gè)邏輯“或”聯(lián)接的4個(gè)“與”。

對于事件是模糊事件的情況，事件發(fā)生的情況由其隸屬函數(shù)μi來衡量。設(shè)μA,μB,μC分別表示模糊事件A，B，C的隸屬函數(shù)，則：

μA∩B=μA∧μB=min{μA,μB}

μA∪B=μA∨μB=max{μA,μB}

模糊事件隸屬函數(shù)關(guān)于∧，∨運(yùn)算滿足交換律、分配率和結(jié)合律。即μA∧μB=μB∧μA，μA∨μB=μB∨μA；μA∧(μB∨μC)=(μA∧μB)∨(μA∧μC)；μA∨(μB∧μC)=(μA∨μB)∧(μA∨μC)；(μA∧μB)∧μC=μA∧(μB∧μC)；(μA∨μB)∨μC=μA∨(μB∨μC).

因此由上面的運(yùn)算規(guī)則，可以得到基于最小割集的模糊因果圖法，即模糊因果圖的結(jié)構(gòu)函數(shù)仍然可以用邏輯表達(dá)式表示，例如：

F=(μ1∨μ2∨μ3)∧(μ1∨μ4)∧(μ3∨μ5)

化簡得：

F=(μ1∧μ3)∨(μ1∧μ5)∨(μ3∧μ4)∨(μ2∧μ4∧μ5)

所以，模糊化的因果圖與普通因果圖在最小割集的求法上基本原理是一致的，但是模糊因果圖可以應(yīng)用更廣，對實(shí)際生活中遇到的各種故障診斷有更有效得到診斷。使其相關(guān)人員做出正確的決策。

3 結(jié) 語

因果圖推理既可進(jìn)行故障分析，又可以進(jìn)行故障診斷，并且還可以進(jìn)行故障預(yù)防等作用。將模糊集合理論用于因果圖的分析中，這種模糊因果圖的診斷方法克服了因果圖分析的不足，是一種簡單可行、具有很強(qiáng)的實(shí)用性。文獻(xiàn)[5]也提出了引入模糊數(shù)的模糊因果圖，與文中提出的模糊集理論因果圖都是為了使因果圖的應(yīng)用范圍更廣，提升到模糊領(lǐng)域進(jìn)行故障診斷和分析，更適用于實(shí)際生活生產(chǎn)中。

參考文獻(xiàn)：

[1]ZHANG Q.Probabilistic Reasoning based on Dynamic Causality Tree/Diagrams[J].Reliability Engineering and System Safety,1994,46:212-213

[2]梁新元,張勤.因果圖在故障分析中的應(yīng)用研究[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2004,19:186

[3]梁新元.因果圖在重大安全事故分析中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程,2005,31:175

[4]李葆文.故障診斷邏輯與數(shù)學(xué)原理[M].廣州:廣東高等教育出版社,1995

[5]王洪春,張勤.基于模糊因果圖的故障診斷[J].微電子學(xué)與計(jì)算機(jī),2005,22(6):110