馮 瑞

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067)

ARIMA模型全稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model)，簡(jiǎn)記ARIMA，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)提出的著名時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法，又稱為Box-Jenkins模型、博克思-詹金斯法.其中ARIMA(p，d，q)稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型，AR是自回歸，p為自回歸項(xiàng)，MA為移動(dòng)平均，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù).所謂ARIMA模型，是指將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量?jī)H對(duì)它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型.ARIMA模型根據(jù)原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所含部分的不同，包括移動(dòng)平均過程(MA)、自回歸過程(AR)、自回歸移動(dòng)平均過程(ARMA)以及ARIMA過程[1].

GDP是國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算的核心指標(biāo)，也是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況和發(fā)展水平的重要指標(biāo).從價(jià)值形態(tài)看，它是所有常住單位在一定時(shí)期內(nèi)所生產(chǎn)的全部貨物和服務(wù)價(jià)值超過同期投入的全部非固定資產(chǎn)貨物和服務(wù)價(jià)值的差額，即所有常住單位的增加值之和；從收入形態(tài)看，它是所有常住單位在一定時(shí)期內(nèi)所創(chuàng)造并分配給常住單位和非常住單位的初次分配收入之和；從產(chǎn)品形態(tài)看，它是最終使用的貨物和服務(wù)減去進(jìn)口貨物和服務(wù).國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP是核算體系中一個(gè)重要的綜合性統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，也是中國(guó)新國(guó)民經(jīng)濟(jì)核算體系中的核心指標(biāo).它反映一國(guó)(或地區(qū))的經(jīng)濟(jì)實(shí)力和市場(chǎng)規(guī)模.一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的經(jīng)濟(jì)究竟處于增長(zhǎng)抑或衰退階段，從這個(gè)數(shù)字的變化便可以觀察到.當(dāng)GDP的增長(zhǎng)數(shù)字處于正數(shù)時(shí)，即顯示該地區(qū)經(jīng)濟(jì)處于擴(kuò)張階段；反之，如果處于負(fù)數(shù)，即表示該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)進(jìn)入衰退時(shí)期了.國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值是指一定時(shí)間內(nèi)所生產(chǎn)的商品與勞務(wù)的總量乘以“貨幣價(jià)格”或“市價(jià)”而得到的數(shù)字，即名義國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值，而名義國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)率等于實(shí)際國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)率與通貨膨脹率之和.一般情況，GDP會(huì)呈現(xiàn)強(qiáng)烈的趨勢(shì)特征[2].這些具有趨勢(shì)特征的經(jīng)濟(jì)變量，當(dāng)發(fā)生經(jīng)濟(jì)震蕩或者沖擊后，一般會(huì)出現(xiàn)兩種情形，一是受到震蕩后，經(jīng)濟(jì)變量逐漸又回到它們的長(zhǎng)期趨勢(shì)，二是這些經(jīng)濟(jì)變量沒有回到原有軌跡，而呈現(xiàn)游走狀態(tài)[3].若研究的經(jīng)濟(jì)變量遵從一個(gè)非平穩(wěn)過程，運(yùn)用最小二乘法理論是不成立的.然而GDP常作為模型的重要變量,許多預(yù)測(cè)模型依賴于GDP數(shù)據(jù),GDP的預(yù)測(cè)有非常重要的意義.基于以上的原因,許多研究者致力于對(duì)GDP的估計(jì).此處用ARIMA模型對(duì)全國(guó)的GDP進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)[4],希望對(duì)關(guān)注中國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的人們有所借鑒.

1 ARIMA(p,d,q)模型建立過程

1.1 數(shù)據(jù)來源與平穩(wěn)性檢驗(yàn)

通過查閱《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》,得到1979-2012年，以當(dāng)年價(jià)格表示的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)序列，如表1所示.

1978年我國(guó)實(shí)行的改革開放政策對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生了至關(guān)重要的影響，1979年是改革之后的一年，改革的影響效果更能直接反應(yīng)到GDP上，所以選擇1979-2012年的數(shù)據(jù)，并對(duì)上述數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)得到1979-2012年GDP的對(duì)數(shù)值log(GDP)，畫出log(GDP)的趨勢(shì)如圖1.

從圖1可以看出，對(duì)數(shù)GDP曲線呈直線上升的趨勢(shì)；對(duì)數(shù)GDP序列具有一定的非線性趨勢(shì)性.因此從圖形可以初步判斷該序列是非平穩(wěn)的.對(duì)對(duì)數(shù)GDP的平穩(wěn)性進(jìn)行進(jìn)一步ADF檢驗(yàn)(表2).

從表2中可以看出，在1%，5%，10%3個(gè)顯著性水平下，單位根檢驗(yàn)的臨界值分別為-3.679 32，-2.967 77，-2.622 99,T統(tǒng)計(jì)量的值為-1.270 35，大于相近臨界值，從而無法拒絕原假設(shè),表明對(duì)數(shù)GDP的差分序列存在單位根.因此,該時(shí)間序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列,即使采用傳統(tǒng)法擬合直線或指數(shù)曲線等趨勢(shì)模型都存在自相關(guān),預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際情況存在很大的差距.

表1 1979-2012國(guó)民總收入億元

年份國(guó)民總收入年份國(guó)民總收入19794 062.579199670 142.4919804 545.624199778 060.8519814 889.461199883 024.2819825 330.451199988 479.1519835 985.552200098 000.4519847 243.7522001108 068.219859 040.7372002119 095.7198610 274.382003134 977198712 050.622004159 453.6198815 036.822005183 617.4198917 000.922006215 904.4199018 718.322007266 422199121 826.22008316 030.3199226 937.282009340 320199335 260.022010399 759.5199448 108.462011468 562.4199559 810.532012516 282.1

為消除時(shí)間序列的非平穩(wěn)性影響，將對(duì)數(shù)GDP的一階差分值記為Dlog(GDP)，表3為對(duì)數(shù)GDP的一階差分的ADF檢驗(yàn)[5].

從表3中可以看出,在1%，5%，10%3個(gè)顯著性水平下，單位根檢驗(yàn)的臨界值分別為-3.679 32,-2.967 77,-2.622 99,T統(tǒng)計(jì)量的值為-3.656 84，基本小于相近臨界值，并且P值小于0.05，從而拒絕原假設(shè),表明對(duì)數(shù)GDP的差分序列不存在單位根.因此,該時(shí)間序列是平穩(wěn)的時(shí)間序列.通過上述的檢驗(yàn)表明對(duì)數(shù)GDP是一階單整的，即對(duì)數(shù)GDP的一階差分DlogGDP～I(xiàn)(1).

表2 對(duì)數(shù)GDP的ADF檢驗(yàn)

表3 對(duì)數(shù)GDP一階差分ADF檢驗(yàn)

1.2 ARIMA模型p，q值的確立

既然對(duì)數(shù)GDP的一階差分是平穩(wěn)的時(shí)間序列,則階數(shù)d=1，現(xiàn)在確定ARIMA(p，d，q)中的p，q值，利用Eviews畫出對(duì)數(shù)GDP的自相關(guān)圖(圖2)：

圖1 log(GDP)的趨勢(shì)圖

圖2 對(duì)數(shù)GDP的自相關(guān)函數(shù)圖

從圖2中可以看到，對(duì)數(shù)GDP的自相關(guān)圖形與偏相關(guān)圖形均呈現(xiàn)拖尾的勢(shì)態(tài)(從圖形上看,自相關(guān)與偏自相關(guān)的波動(dòng)逐漸減小并沒有突然收斂到臨界值水平范圍內(nèi);從數(shù)值上看,自相關(guān)與偏自相關(guān)的數(shù)值慢慢減少)，觀察自相關(guān)與偏自相關(guān)的波動(dòng)圖形可知對(duì)數(shù)GDP的自相關(guān)函數(shù)一階都是顯著的(超過圖中虛線部分)，并且從第二階開始下降，數(shù)值也不太顯著，因此先設(shè)定q值為1.對(duì)數(shù)GDP的偏自相關(guān)函數(shù)也是一至四階都較顯著，從第五階開始下降很大，此后一直收斂在臨界值水平范圍內(nèi).因此先設(shè)定p的值為1～4.因?yàn)槭且浑A差分所以d取1.

模型參數(shù)估計(jì)一般分兩步進(jìn)行,首先找出參數(shù)的初步估計(jì),又稱矩估計(jì),然后在初步估計(jì)的基礎(chǔ)上,根據(jù)一定準(zhǔn)則,求得參數(shù)在某種意義下的精確估計(jì).通常用尤利-沃克方程作參數(shù)的矩估計(jì),用最小二乘法和極大似然估計(jì)法作參數(shù)的精確估計(jì).

表4 不同p、q取值下的ARIMA模型

由重新擬合的時(shí)間序列方程，可以看出AIC統(tǒng)計(jì)量數(shù)值為-4.985 13，較低，ARIMA(p，d，q)在p取0，q取1的時(shí)候較優(yōu)，而且方程的T統(tǒng)計(jì)量也通過檢驗(yàn)，可決系數(shù)R也基本滿足要求，現(xiàn)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，對(duì)殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)(圖3).

由圖3可知，Q統(tǒng)計(jì)量的P值均是大于0.05的，所以時(shí)間序列殘差項(xiàng)通過白噪聲檢驗(yàn)，因此最終建立的模型是ARIMA(0,1,1).對(duì)數(shù)GDP的ARIMA模型如下：

Dlog GDP=0.063 573 429 782 3+εt-0.769 158 166 187*εt-1

1.3 ARIMA模型預(yù)測(cè)

通過模型進(jìn)行預(yù)測(cè),用Eviews測(cè)算出評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)的一些標(biāo)準(zhǔn)，如表5所示.可以看到，希爾不相等系數(shù)為0.19，表明模型的預(yù)測(cè)能力比較好，而它的方差比例較大，說明實(shí)際序列的波動(dòng)較大，而模擬序列的波動(dòng)較小，這可能是由于預(yù)測(cè)時(shí)間過長(zhǎng).

通過模型預(yù)測(cè)，預(yù)計(jì)2013年GDP為550 404.4億元，2013年實(shí)際GDP為568 845.21億元，相差3.24%，誤差較小，模型擬合較好.

圖3 殘差白噪聲檢驗(yàn)

表5 ARIMA模型預(yù)測(cè)效果

觀測(cè)樣本/年1979-2013觀測(cè)值個(gè)數(shù)33均方根誤差0.025 704平均絕對(duì)誤差0.020 911平均絕對(duì)誤差比例39.001 68希爾不等系數(shù)0.194 255

2 結(jié) 語

經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模過程中，通常假定經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，而且主要以某種經(jīng)濟(jì)理論或?qū)δ撤N經(jīng)濟(jì)行為的認(rèn)識(shí)來來確定計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的模型理論的關(guān)系式，借用此形式進(jìn)行數(shù)據(jù)收集.然而在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中許多時(shí)間序列數(shù)據(jù)不是由平穩(wěn)過程產(chǎn)生的，此處研究的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP隨時(shí)間的位移而持續(xù)增長(zhǎng)，由于在實(shí)際中遇到的時(shí)間序列數(shù)據(jù)很可能是非平穩(wěn)序列，而平穩(wěn)性在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)建模中又具有重要的地位，因此此處對(duì)對(duì)數(shù)GDP時(shí)間序列進(jìn)行了單位根檢驗(yàn)，確定了模型的平穩(wěn)性，得到了對(duì)數(shù)GDP的差分階數(shù)，由此建立了ARIMA模型，并根據(jù)對(duì)數(shù)GDP時(shí)間序列的自相關(guān)確定了ARIMA中p，q的值，最終得到對(duì)數(shù)GDP的ARIMA(0,1,1)模型，并對(duì)ARIMA(0,1,1)進(jìn)行了白噪聲檢驗(yàn)，確定模型殘差項(xiàng)的信息已提取完全，證實(shí)了模型調(diào)整后的平穩(wěn)性與模型自回歸影響的持久性.

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