呂歲菊，馮民權(quán)，李春光

(1 北方民族大學(xué) 數(shù)值計(jì)算與工程應(yīng)用研究所，寧夏 銀川 750021；2 西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，陜西 西安710048)

目前，由于輸水工程管線(xiàn)長(zhǎng)、管道起伏大、要求輸水保證率高，因此工程的安全運(yùn)行問(wèn)題越來(lái)越受到科研、設(shè)計(jì)、施工及運(yùn)行管理人員的重視。水錘是影響壓力輸水工程安全運(yùn)行的一個(gè)重要因素，不少工程因水錘而引起爆管，造成了嚴(yán)重的經(jīng)濟(jì)損失[1-5]。在泵系統(tǒng)中，水泵的啟動(dòng)與停機(jī)，將造成管道中流速的突然變化和壓力的急劇升高與降低，往往會(huì)導(dǎo)致水錘事故的發(fā)生[6-8]。不少學(xué)者在這方面做了大量研究[9-12]，如鄭源等[13]就有壓輸水管道系統(tǒng)安裝空氣閥對(duì)含氣水錘防護(hù)進(jìn)行了試驗(yàn)研究和數(shù)值計(jì)算，分析了空氣閥進(jìn)、排氣時(shí)流量系數(shù)對(duì)其壓力的影響；楊開(kāi)林等[14]根據(jù)南水北調(diào)北京段輸水系統(tǒng)工程布置的特點(diǎn)，研究了事故斷電條件下水力瞬變引起的液柱分離現(xiàn)象及其防止措施；張健等[15]構(gòu)建了空氣閥布置的理論分析和數(shù)值優(yōu)化框架，提出了不同工況下長(zhǎng)距離供水管線(xiàn)中設(shè)置空氣閥應(yīng)滿(mǎn)足的通用準(zhǔn)則與相關(guān)公式；王文全等[16]運(yùn)用特征線(xiàn)方法對(duì)長(zhǎng)距離有壓輸水管道系統(tǒng)的事故停泵過(guò)程進(jìn)行了計(jì)算，分析了緩閉蝶閥在不同關(guān)閉方式下各管段內(nèi)最大和最小水錘壓力及相對(duì)空化體積數(shù)?？傮w而言，泵供水系統(tǒng)水錘防護(hù)研究已取得了不少成果，但近幾年有關(guān)高揚(yáng)程、長(zhǎng)管線(xiàn)、管道起伏變化大的泵輸水系統(tǒng)水錘防護(hù)研究成果不是很多。

本研究應(yīng)用科學(xué)計(jì)算語(yǔ)言Matlab編寫(xiě)程序，對(duì)山西省莊頭支線(xiàn)泵站事故停泵水力過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行模擬計(jì)算，并通過(guò)設(shè)置蝶閥關(guān)閉時(shí)間和調(diào)整空氣閥的布設(shè)位置等進(jìn)行水錘防護(hù)研究，分析如何在水力過(guò)渡過(guò)程中使管線(xiàn)中的最大升壓和最大降壓控制在管道承壓所允許的范圍內(nèi)，進(jìn)而為該泵站管線(xiàn)的安全運(yùn)行提供參考。

1 水錘計(jì)算模型及其防護(hù)

1.1 水錘計(jì)算模型

根據(jù)流體力學(xué)原理，將有壓管道非恒定流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)性方程組成水錘基本方程[17-18]，通過(guò)其特征線(xiàn)轉(zhuǎn)化為常微分方程，再用有限差分法變?yōu)榇鷶?shù)方程進(jìn)行求解?？梢酝茖?dǎo)出水流運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)性方程為：

(1)

式中：g為重力加速度，A1為管道斷面面積，H為水頭，x為沿管軸線(xiàn)的軸向坐標(biāo)，Q為管道流量，t為計(jì)算時(shí)間，f為管壁摩擦系數(shù)，D為管道直徑，a為水錘波速。

采用特征線(xiàn)方法，將描述管道中可壓縮流動(dòng)的雙曲型偏微分方程組(1)轉(zhuǎn)化為特征線(xiàn)上的2組常微分方程。如圖1所示，以x為橫坐標(biāo)，t為縱坐標(biāo)，設(shè)A、B兩點(diǎn)間的距離為2Δx，A、B兩點(diǎn)在t0時(shí)刻的流量和水頭分別為QA、HA和QB、HB；P點(diǎn)在t0+Δt時(shí)刻的流量和水頭為QP、HP；2條直線(xiàn)1/a和-1/a表示斜率。從而可用差分形式表示A、P兩點(diǎn)及B、P兩點(diǎn)之間的流量和水頭關(guān)系，可以得到具體水錘計(jì)算的正、負(fù)特征差分方程。

對(duì)于正特征線(xiàn)AP，有：

(2)

對(duì)于負(fù)特征線(xiàn)BP，有：

(3)

圖 1 x-t坐標(biāo)中的水錘特征線(xiàn)

式(2)、(3)可簡(jiǎn)寫(xiě)成：

HP=CA-EQP。

(4)

HP=CB+EQP。

(5)

將式(4)和式(5)聯(lián)立，可得：

HP=(CA+CB)/2。

(6)

(7)

將整個(gè)計(jì)算管長(zhǎng)分成N段，得到計(jì)算水錘的特征線(xiàn)網(wǎng)格圖如圖2所示(這里N=6)，則Δx=L/N，Δt=Δx/a，H0為管道進(jìn)口測(cè)壓管水頭。當(dāng)穩(wěn)態(tài)(t=0)時(shí)各斷面的流量和水頭已知時(shí)，根據(jù)1點(diǎn)的正特征方程和3點(diǎn)的負(fù)特征方程，即可求出經(jīng)過(guò)Δt時(shí)段2′點(diǎn)的流量和水頭，以此類(lèi)推。

圖 2 計(jì)算水錘特征線(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)圖

1.2 水泵端邊界條件(上邊界條件)

對(duì)于泵出口斷面任一時(shí)刻的流量和水頭，可以根據(jù)水泵端邊界條件和負(fù)特征方程聯(lián)立求解。

1.2.1 水泵全面性能曲線(xiàn)方程 事故停泵后，水泵揚(yáng)程H、流量Q、轉(zhuǎn)速n、轉(zhuǎn)矩M用無(wú)量綱量表示，即h=H/He，ν=Q/Qe，m=M/Me，α=n/ne，其中下標(biāo)“e”表示泵的額定工況參數(shù)。則泵的全面性能曲線(xiàn)表示為[8-11]：

(8)

(9)

式中：a1、b1、a2、b2分別為揚(yáng)程和轉(zhuǎn)矩直線(xiàn)方程中的各常數(shù)項(xiàng)。

1.2.2 水泵機(jī)組轉(zhuǎn)子慣性方程 由理論力學(xué)知，機(jī)組轉(zhuǎn)子繞固定軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)矩為：

(10)

式中：M為機(jī)組轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)矩，J為機(jī)組轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，g為重力加速度，GD2為機(jī)組轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

機(jī)組失去動(dòng)力后，靠慣性減速運(yùn)轉(zhuǎn)。如果在Δt時(shí)段內(nèi)轉(zhuǎn)速由ni變?yōu)閚i+1，轉(zhuǎn)矩由Mi變?yōu)镸i+1，用有限差分離散(10)式，并將有關(guān)參數(shù)用無(wú)量綱量表示，可得：

(11)

式中：αi為i時(shí)刻無(wú)量綱轉(zhuǎn)速，αi=ni/ne；αi+1為i+1時(shí)刻無(wú)量綱轉(zhuǎn)速，αi+1=ni+1/ne；Ne為額定功率；ne為額定轉(zhuǎn)速；mi為i時(shí)刻無(wú)量綱轉(zhuǎn)矩，mi=Mi/Me；mi+1為i+1時(shí)刻無(wú)量綱轉(zhuǎn)矩，mi+1=Mi+1/Me。

1.2.3 任意時(shí)刻水頭平衡方程 如果水泵出口裝有緩閉閥，則水泵揚(yáng)程H與管道起始端(閥后)水頭HP的關(guān)系為：

HP=H+H0-Hf。

(12)

式中：HP為管道始端水頭；H為水泵揚(yáng)程；H0為水泵進(jìn)口處的測(cè)壓管水頭，其值為進(jìn)水池水面到基準(zhǔn)面的高度；Hf為閥門(mén)水力損失，Hf=cfQP|QP|，其中cf為閥門(mén)阻力參數(shù)，由閥門(mén)開(kāi)度確定。

1.2.4 流量連續(xù)性方程 在水泵和閥門(mén)之間，沒(méi)有分流和匯流，因而流過(guò)閥門(mén)的流量與水泵流量相等，即：

QP=Q。

(13)

1.2.5 管道起始斷面特征方程 當(dāng)進(jìn)水管較短時(shí)，略去其與水泵連接的特征方程。由式(5)可列出管道起始斷面處的負(fù)特征方程，即：

QP=CB+BHP。

(14)

將方程(8)、(9)、(11)、(12)、(13)和(14)聯(lián)立，可得：

(15)

(16)

1.3 下邊界及初值條件

管道出口斷面的流量和水頭根據(jù)正特征方程和出水池水位確定，初始的流量和水頭由水泵在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)的參數(shù)確定。

1.4 空氣閥邊界條件

空氣閥是一種用于防止停泵水錘過(guò)程中產(chǎn)生負(fù)壓的特殊閥門(mén)。其邊界條件通常遵循以下假定:空氣等熵的流進(jìn)流出閥門(mén)；管內(nèi)氣體的變化遵守等溫定律，且溫度接近于液體溫度；進(jìn)入管內(nèi)的氣體僅停留在空氣閥附近；液體表面的高度基本不變，而空氣的體積和管段里的液體體積相比很小?？諝馔ㄟ^(guò)進(jìn)排氣閥時(shí)的質(zhì)量流量與管外大氣的絕對(duì)壓力P0、絕對(duì)溫度T0及管內(nèi)的絕對(duì)壓力P和溫度T有關(guān)[19-20]。當(dāng)空氣以不同速度流入或流出時(shí)，空氣通過(guò)進(jìn)排氣閥的質(zhì)量流量可用以下公式表示。

空氣以亞聲速流入，有：

(17)

空氣以臨界速度流入，有：

(18)

空氣以亞聲速流出，有：

(19)

空氣以臨界速度流出，有：

(20)

式中：Ci、C0分別為空氣流入和流出空氣閥時(shí)的流量系數(shù)，二者值分別為0.65和0.975；ωi、ω0分別為空氣流入和流出時(shí)空氣閥的開(kāi)啟面積；R為氣體常數(shù)；ρ0為大氣密度，ρ0=P0/RT0,T0為大氣絕對(duì)溫度。

輸水管中的氣體在t時(shí)刻滿(mǎn)足恒定的完善氣體方程，即：

(21)

在i斷面上安裝空氣閥，根據(jù)式(4)、(5)可寫(xiě)出i斷面上C+和C-的相容性方程為：

C+:HP=CA-EQpui。

(22)

C-:HP=CB+EQpi。

(23)

壓力水頭HP與絕對(duì)壓強(qiáng)P之間的關(guān)系為：

(24)

式中：γ為液體容重，Z為空氣閥位置高程，Ha為大氣壓頭(絕對(duì)壓頭)。

將式(22)、(23)和(24)代入式(21)，可得：

(25)

將(25)式改寫(xiě)為下述形式：

(26)

由于函數(shù)F中只有壓強(qiáng)P是未知量，由牛頓-雷伏生方法，式(26)可以近似為：

F+FPΔP=0。

(27)

即：ΔP=-F/FP,

采用中心差分代替微分，即?。?/p>

(28)

2 水錘數(shù)值模擬結(jié)果與分析

2.1 工程概況

某供水工程采用水泵加壓輸水方式，設(shè)計(jì)取水流量為0.2 m3/s，取水水位755 m，泵站壓力出水管道采用兩泵一管布置，管徑0.5 m，管道全長(zhǎng)11 000 m，其管線(xiàn)縱剖面布置如圖3所示。該工程地形揚(yáng)程189 m，最大設(shè)計(jì)揚(yáng)程為217 m。泵站布置3臺(tái)機(jī)組，2臺(tái)工作1臺(tái)備用，水泵額定流量0.11 m3/s，額定揚(yáng)程217 m， 額定轉(zhuǎn)速1 480 r/min，水泵出口均安裝兩階段關(guān)閉蝶閥。結(jié)合泵站輸水的特點(diǎn)，輸水管線(xiàn)主管道總長(zhǎng)11 000 m，分為550段，時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.023 5，計(jì)算時(shí)間300 s。根據(jù)泵站布置臺(tái)數(shù)，計(jì)算分析最不利運(yùn)行工況，采用水柱分離模型和特征線(xiàn)法，對(duì)事故停泵的水力過(guò)渡過(guò)程進(jìn)行計(jì)算分析。

圖 3 某供水工程水泵加壓輸水管道縱剖面布置圖

2.2 無(wú)防護(hù)措施時(shí)的停泵水錘

圖4-A，B為模擬計(jì)算得到的泵出口無(wú)防護(hù)措施條件下，泵機(jī)組事故斷電，水泵各特征量的變化過(guò)程和管線(xiàn)最大、最小水頭線(xiàn)。其中圖4-A表示水泵相對(duì)流量、轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩的變化，圖4-B表示沿程管線(xiàn)最大、最小壓力水頭變化。由圖4可見(jiàn)，在無(wú)任何防護(hù)措施的情況下，水泵停機(jī)后引起了嚴(yán)重的倒轉(zhuǎn)倒流現(xiàn)象，水泵在1.04 s開(kāi)始倒流，在2.54 s開(kāi)始倒轉(zhuǎn)，最大倒轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速的1.41倍。由于管線(xiàn)布置起伏較大，管路中的最大、最小壓力水頭分別為214和-6.9 m。在計(jì)算時(shí)間300 s內(nèi)，最大倒泄水量達(dá)93.47 m3。水泵的倒轉(zhuǎn)、倒流及管道中的負(fù)壓會(huì)對(duì)整個(gè)管道產(chǎn)生危害，應(yīng)采取有效的水錘防護(hù)措施。

圖 4 無(wú)任何防護(hù)措施下停泵水錘的計(jì)算

2.3 有閥調(diào)節(jié)防護(hù)的停泵水錘

在泵出口安裝兩階段蝶閥，通過(guò)對(duì)蝶閥不同快關(guān)時(shí)間、快關(guān)角度、慢關(guān)時(shí)間、慢關(guān)角度進(jìn)行事故停泵水錘計(jì)算，分析管道內(nèi)最大正水錘和負(fù)水錘分布情況，確定最優(yōu)關(guān)閉程序?yàn)榭礻P(guān)9 s/70°、慢關(guān)63 s/20°，模擬計(jì)算事故停泵過(guò)程中水泵各特征量的變化及管線(xiàn)壓力包絡(luò)線(xiàn)，結(jié)果如圖5所示。

圖 5 泵出口蝶閥防護(hù)下水錘的計(jì)算

從圖5可以看出， 在事故停泵時(shí)，泵出口兩階段關(guān)閉閥按最優(yōu)的程序關(guān)閉， 水泵在1.04 s開(kāi)始倒流，在2.54 s開(kāi)始倒轉(zhuǎn)， 最大倒轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速為額定轉(zhuǎn)速的0.94倍。在計(jì)算時(shí)間300 s內(nèi)，最大倒泄水量為12.3 m3。由于泵出口閥的合理關(guān)閉，機(jī)組最大倒轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速均未超過(guò)額定轉(zhuǎn)速的1.2倍，閥出口最大水錘壓力與額定揚(yáng)程的比值也未超過(guò)1.5倍，采用兩階段關(guān)閉蝶閥對(duì)防治事故停泵機(jī)組倒轉(zhuǎn)、倒流效果較明顯，但管路中間局部“凸點(diǎn)”出現(xiàn)負(fù)壓區(qū)，因此應(yīng)采用進(jìn)排氣閥降低管線(xiàn)負(fù)壓。

2.4 設(shè)置空氣閥防護(hù)時(shí)的事故停泵水錘

經(jīng)大量分析與計(jì)算，并結(jié)合當(dāng)?shù)毓こ虒?shí)際，對(duì)該管線(xiàn)采用空氣閥防護(hù)技術(shù)方案，分別在距離水泵出口1 060，1 740，2 440，3 100，3 660，4 560，5 120，5 820，6 260，6 640，7 400，8 340，9 240，9 840和 10 420 m共15處安裝15個(gè)口徑為85 mm的空氣閥，依次用1號(hào)、2號(hào)、…、15號(hào)表示。計(jì)算取大氣環(huán)境溫度313.15 K， 氣體常數(shù)286.7，外界大氣壓強(qiáng)101 325 Pa， 水體溫度293.15 K，進(jìn)、出氣時(shí)閥的流量系數(shù)分別為0.975和0.65。此時(shí)以較合適的關(guān)閉規(guī)律快關(guān)9 s/70°、慢關(guān)63 s/20°關(guān)閉泵后閥門(mén)，相應(yīng)的數(shù)值模擬計(jì)算事故停泵水力過(guò)渡過(guò)程及沿線(xiàn) 6～15號(hào)空氣閥的進(jìn)氣量過(guò)程見(jiàn)圖6～7所示。

圖 6 泵出口蝶閥及空氣閥聯(lián)合防護(hù)下的水錘計(jì)算

圖 7 泵出口蝶閥及空氣閥聯(lián)合防護(hù)下空氣閥進(jìn)氣量的變化過(guò)程線(xiàn)

圖6為泵出口蝶閥與空氣閥聯(lián)合防護(hù)下的水錘計(jì)算結(jié)果，沿線(xiàn)最小壓力水頭為-2.0 m，說(shuō)明理論設(shè)置的空氣閥可以降低沿線(xiàn)負(fù)壓，從而保證供水系統(tǒng)安全。圖7只給出了6～15號(hào)空氣閥進(jìn)氣量的計(jì)算結(jié)果(1～5號(hào)空氣閥所在位置處沒(méi)有出現(xiàn)負(fù)壓，也就沒(méi)有進(jìn)氣量，因此沒(méi)有給出進(jìn)氣量變化圖)，可見(jiàn)由于空氣閥布設(shè)位置不同，進(jìn)氣量也不同，且各空氣閥進(jìn)氣均可有效排出，說(shuō)明該工程設(shè)置的空氣閥位置、間距合理，可有效抑制管線(xiàn)負(fù)壓過(guò)大。

3 結(jié) 語(yǔ)

對(duì)管道內(nèi)流體水力過(guò)渡過(guò)程及空氣閥設(shè)置的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了理論分析和研究，采用水柱分離模型和特征線(xiàn)法進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，得出事故停泵后，水泵機(jī)組的倒轉(zhuǎn)飛逸轉(zhuǎn)速和管道中的水錘壓力是長(zhǎng)距離輸水系統(tǒng)水力過(guò)渡過(guò)程中的主要問(wèn)題。本研究結(jié)合工程實(shí)例，首先通過(guò)編程計(jì)算，確定事故停泵時(shí)泵出口兩階段關(guān)閉蝶閥的快慢關(guān)閉時(shí)間及角度，有效減小了水泵機(jī)組的倒轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速和倒流。接著對(duì)該系統(tǒng)中空氣閥的布置進(jìn)行了分析和計(jì)算，由于泵站管線(xiàn)沿程起伏變化大，局部凸起段處壓力降幅較大，當(dāng)最小水錘壓力降至汽化壓力時(shí)，局部凸起段處水體開(kāi)始空化，因此設(shè)計(jì)中采用空氣閥門(mén)進(jìn)、排氣是合理和必要的。但從計(jì)算結(jié)果看，管內(nèi)仍存在局部空化現(xiàn)象，因此進(jìn)一步優(yōu)化空氣閥的布置密度和位置十分必要。本試驗(yàn)進(jìn)行了水力過(guò)渡過(guò)程模擬計(jì)算，調(diào)整了空氣閥的設(shè)置位置、空氣閥口徑及進(jìn)出流量系數(shù)，使得沿線(xiàn)負(fù)壓降低到管道承受范圍之內(nèi)，保證了供水工程的安全穩(wěn)定運(yùn)行。

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